Geodätische Hauptaufgabe

Als geodätische Hauptaufgaben versteht man in der Geodäsie zwei wichtige Arten der Koordinatentransformation, nämlich jene von rechtwinkligen in Polarkoordinaten und umgekehrt.

Erste und zweite Hauptaufgabe

Die 1. Hauptaufgabe (polar ⇒ rechtwinklig) entspricht der Übertragung von Messungen (Richtung und Distanz) auf das ebene Koordinatensystem eines Plans oder einer Karte.

Als rechtwinklige Koordinaten sind neben den ebenen Koordinaten einer Landkarte (x, y) auch die geografischen bzw. geodätischen Koordinaten auf dem Erdellipsoid zu verstehen, weil sich diese Koordinatenlinien (Breite und Länge) auf der Erdoberfläche rechtwinkelig schneiden.

Die 2. Hauptaufgabe (rechtwinklige ⇒ Polarkoordinaten) entspricht z. B. der Berechnung von Richtung und Distanz zwischen zwei Vermessungspunkten.

Die Position von Vermessungs- oder anderen Fixpunkten werden im Regelfall als Gauß-Krüger- bzw. als UTM-Koordinaten in Metern angegeben (x, y bzw. Northern, Eastern).

Punktentfernungen und Genauigkeit

Sind die gegenseitigen Distanzen D zweier Punkte -- bzw. ihre Koordinatendifferenzen dx, dy -- nicht größer als etwa 5 km, dann können sie direkt in die jeweils andere Koordinatenart umgerechnet werden:

$\mathrm {d} x=D\cos(R),\mathrm {d} y=D\sin(R)$

mit der Distanz $D$ und dem Richtungswinkel (Azimut) $R$.

Bis Entfernungen von einigen Kilometern ist dies etwa cm-genau. Bei größeren Strecken muss die Projektionsverzerrung berücksichtigt werden, und ab etwa 20 km muss man auf kompliziertere Formeln übergehen:

Je nach Komplexität der verwendeten Rechenfläche (Ebene, Kugel, Referenzellipsoid, Geoid) muss daher die mathematische Formulierung der Hauptaufgaben unterschiedlich konzipiert werden. In der Ebene – wie sie etwa für die Vermessung von Grundstücken und für großmaßstäbliche Landkarten genügt – beschränkt sie sich auf ebene Winkelfunktionen, wie im obigen Formelbeispiel.

Die analoge Aufgabe auf der Erdkugel benötigt bereits einige Formelzeilen aus der sphärischen Trigonometrie, während die exakte Lösung der Aufgabe auf dem Erdellipsoid sogar einen Formelapparat von etwa 1 Seite erfordert. In der Geodäsie, Geophysik oder Langstrecken-Navigation sind solche Berechnungen auf zweifach gekrümmten Flächen unumgänglich. Dieselbe Aufgabe auf dem Geoid oder auf komplizierter geformten Himmelskörpern wie Mars oder manche Kleinplaneten ist sogar nur iterativ lösbar. Mehrere geodätisch tätige Mathematiker der letzten Jahrhunderte (beispielsweise Gauß, Bessel, Legendre, Laplace, Hilbert) oder jüngst Grafarend und andere haben dafür entsprechende Lösungen erarbeitet.

Literatur

• Charles F. F. Karney: Algorithms for geodesics. In: J Geod (2013) 87:43–55.