Gergonne-Gerade

Die Gergonne-Gerade, benannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Gergonne, ist eine spezielle Gerade eines Dreiecks.

Gergonne-Gerade g (rot) durch die (Dobbs-)Punkte G_a, G_b, G_c (rot), Gergonne-Punkt G (rot), Mittelpunkt des Inkreises M, Gergonne-Dreieck F_aF_bF_c, Soddy-Gerade s (blau), Fletcher-Punkt F (blau)

Definitionen

In einem Dreieck $ABC$ werden die Berührungspunkte des Inkreises mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ mit $F_{a}$, $F_{b}$ und $F_{c}$ bezeichnet. Die drei Schnittpunkte $G_{a}$, $G_{b}$ und $G_{c}$, die man erhält, wenn man jede verlängerte Dreiecksseite mit der Geraden durch die beiden nicht auf ihr liegenden Berührungspunkte schneidet, liegen auf einer gemeinsamen Geraden; diese Gerade wird als Gergonne-Gerade bezeichnet.

Das von den Berührungspunkten gebildete Dreieck $F_{a}F_{b}F_{c}$ heißt Gergonne-Dreieck und $G_{a}$, $G_{b}$ und $G_{c}$ nennt man auch Nobbs-Punkte.

Beziehungen und Eigenschaften

Dass die Nobbs-Punkte $G_{a}$, $G_{b}$ und $G_{c}$ auf einer gemeinsamen Geraden liegen, ergibt sich auch als Grenzfall des Satzes von Pascal. Dieser besagt, dass bei einem Sehnensechseck die Schnittpunkte der gegenüberliegenden verlängerten (nicht parallelen) Seiten auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Man kann nun das Dreieck $G_{a}G_{b}G_{c}$ als ein entartetes Sechseck $G_{a}G_{a}G_{b}G_{b}G_{c}G_{c}$ auffassen, dessen verlängerte gegenüberliegende Seitenpaare $G_{a}G_{a}$ und $G_{b}G_{c}$, $G_{b}G_{b}$ und $G_{a}G_{c}$ sowie $G_{c}G_{c}$ und $G_{a}G_{b}$ sind. Die Gergonne-Gerade entspricht dann der Pascal-Geraden des auf dem Inkreis liegenden entarteten Sehnensechsecks.

Auf Grund des Satzes von Ceva und der Längengleichheit von Tangentenabschnitten gilt zudem, dass sich die drei Verbindungsgeraden der Ecken mit den ihnen gegenüberliegenden Berührungspunkten des Inkreises in einem gemeinsamen Punkt, dem Gergonne-Punkt, schneiden. Zwischen dem Gergonne-Punkt und der Gergonne-Geraden besteht bezogen auf den Inkreis eine Pol und Polare-Beziehung, das heißt die Gergonne-Gerade ist die Polare des Gergonne-Punktes.

Das Ausgangsdreieck $ABC$ und das Gergonne-Dreieck $F_{a}F_{b}F_{c}$ sind perspektivisch, mit dem Gergonne-Punkt als Zentrum und der Gergonne-Geraden als Achse. Damit folgt die Aussage, dass die Punkte $G_{a}$, $G_{b}$ und $G_{c}$ auf einer gemeinsamen Geraden liegen, auch aus dem Satz von Desargues.

Die Gergonne-Gerade ist senkrecht zur Soddy-Geraden und ihr Schnittpunkt mit dieser wird als Fletcher-Punkt bezeichnet. Die Gergonne-Gerade bildet zusammen mit der Euler-Geraden und Soddy-Geraden das sogenannte Euler-Gergonne-Soddy-Dreieck.

Literatur

• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 22, 26, 78.
• Zuming Feng: Why Are the Gergonne and Soddy Lines Perpendicular? A Synthetic Approach. In: Mathematics Magazin, Band 81, Nr. 3, Juni 2008, S. 211–214 (JSTOR)
• Roger Alperin: The Gergonne and Soddy lines. In: Elemente der Mathematik,. Band 70, Nr. 1, 2015, S. 1–6 (Digitalisat)
• Adrian Oldknow: The Euler-Gergonne-Soddy Triangle of a Triangle. In: The American Mathematical Monthly, Band 103, Nr. 4 (Apr., 1996), S. 319–329 (JSTOR)
• Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan: Another Look at the Euler-Gergonne-Soddy Triangle. In: Mathematics Magazine, Band 76, Nr. 5 (Dezember, 2003), S. 385–390 (JSTOR)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Gergonne Line. In: MathWorld (englisch).
• Gergonne-Gerade und Nobbs-Punkte auf cut-the-knot.org (englisch)
• Die Gergonne-Gerade eines Dreiecks – interaktive Illustration