Hahn-Jordan-Zerlegung

In der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt, beschreibt die Hahn-Jordan-Zerlegung, wie man ein signiertes Maß in einen negativen und einen positiven Teil zerlegen kann. Teilweise wird die Zerlegung auch als zwei separate Aussagen angegeben, man nennt sie dann den Hahnschen Zerlegungssatz und den Jordanschen Zerlegungssatz. Die beiden Sätze sind eng miteinander verbunden. Der Hahnsche Zerlegungssatz wurde von Hans Hahn 1921 bewiesen, die Benennung des Jordanschen Zerlegungssatzes bezieht sich auf Marie Ennemond Camille Jordan, der 1881 gezeigt hat, dass sich eine Funktion beschränkter Variation als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellen lässt.

Hahnscher Zerlegungssatz

Aussage

Sei $(X,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und $\mu$ ein signiertes Maß auf diesem Messraum.

Dann existiert eine Partition der Grundmenge $X$ in eine positive Menge $P$ und eine negative Menge $N$, also $X=P\cup N$ und $P\cap N=\emptyset$.

Bemerkung

Die Zerlegung des Grundraumes ist bis auf eine $\mu$-Nullmenge eindeutig. Ist also $P^{*},N^{*}$ eine weitere Hahn-Zerlegung, so ist $P\triangle P^{*}=N\triangle N^{*}$ und $\mu (P\triangle P^{*})=\mu (N\triangle N^{*})=0$. Dabei bezeichnet $\triangle$ die symmetrische Differenz.

Variation

Mittels des Hahnschen Zerlegungssatzes lassen sich die Variation, die positive Variation und die negative Variation definieren. Die Variation wird teils auch Totalvariation oder totale Variation genannt. Diese Bezeichnung ist jedoch zweideutig, da sie teilweise auch für die aus der Variation konstruierte Norm, die Totalvariationsnorm, verwendet wird.

Definition

Ist $\mu$ ein signiertes Maß mit Hahn-Zerlegung $N,P$, so heißt

$\mu ^{+}(A):=\mu (A\cap P)$

die positive Variation von $\mu$,

$\mu ^{-}(A):=-\mu (A\cap N)$

die negative Variation von $\mu$ und

$|\mu |(A):=\mu ^{+}(A)+\mu ^{-}(A)$

die Variation von $\mu$.

Bemerkungen

• $\mu ^{+}$, $\mu ^{-}$ und $|\mu |$ sind Maße auf $(X,{\mathcal {A}})$.
• Da die Hahn-Zerlegung bis auf Nullstellen eindeutig ist, hängen die obigen Definitionen nicht von der Wahl der Zerlegung ab.
• Die Kennzahl $|\mu |(X)$ heißt auch die Totalvariationsnorm eines signierten Maßes.
• Die positive Variation und die negative Variation sind singulär zueinander.

Jordanscher Zerlegungssatz

Der Jordansche Zerlegungssatz fasst noch einmal die Zerlegung des signierten Maßes zusammen. Er lautet: ist $\mu$ ein signiertes Maß, so ist

$\mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}$

und $\mu ^{+}$ und $\mu ^{-}$ sind singulär zueinander, also $\mu ^{+}\perp \mu ^{-}$.

Beispiel zur Hahn-Jordan-Zerlegung eines signierten Maßes

Gegeben sei der signierte Maßraum $(\Omega ,2^{\Omega },\mu )$ mit $\Omega =\{1,2\}$ und mit $\mu (\{1\})=3$ und $\mu (\{2\})=-4$. Es ist $P=\{1\}$ und $N=\{2\}$.

$A$	$\mu (A)$	$|\mu (A)|$	$\mu ^{+}(A)$	$\mu ^{-}(A)$	$|\mu |(A)$
$\emptyset$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$\{1\}$	$3$	$3$	$3$	$0$	$3$
$\{2\}$	$-4$	$4$	$0$	$4$	$4$
$\{1,2\}=\Omega$	$-1$	$1$	$3$	$4$	$7$

$\mu$ ist ein signiertes Maß; $\mu ^{+},\mu ^{-}$ und $|\mu |$ sind Maße. Die Mengenfunktion $|\mu (\cdot )|$ ist nicht additiv und darf nicht mit der Totalvariation $|\mu |(\cdot )$ verwechselt werden. Die Totalvariationsnorm des signierten Maßes $\mu$ ist $|\mu |(\Omega )=7$.

Literatur

• Camille Jordan: Sur la Série de Fourier. In: Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. Bd. 92, Nr. 5, 1881, ISSN 0001-4036, S. 228–230, Digitalisat.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6. 
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 

Weblinks

• Beweis der grundlegenden Aussagen zur Hahn-Jordan-Zerlegung (pdf, englisch; 62 kB)