Higman-Sims-Gruppe

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Higman-Sims-Gruppe eine einfache Gruppe mit 44352000 Elementen.

Konstruktion

Der Blockplan $S(22,6,3)$ besteht aus 22 Punkten und 77 Blöcken. Sei $M^{0}$ die Menge der Punkte und $M^{1}$ die Menge der Blöcke. Der Higman-Sims-Graph ist der Graph $\Gamma$ mit Knoten $\left\{*\right\}\cup M^{0}\cup M^{1}$, wobei

• $*$ mit jedem Element aus $M^{0}$ durch eine Kante verbunden ist,
• $m\in M^{0}$ mit $b\in M^{1}$ genau dann durch eine Kante verbunden ist, wenn $m\in b$,
• $b_{1},b_{2}\in M^{1}$ genau dann durch eine Kante verbunden sind, wenn $b_{1}\cap b_{2}=\emptyset$,

und es keine weiteren Kanten gibt. Der Higman-Sims-Graph hat also 100 Knoten und 1100 Kanten.

Die Higman-Sims-Gruppe $HS:=Aut^{+}(\Gamma )$ ist definiert als Gruppe derjenigen Graphautomorphismen von $\Gamma$, die eine gerade Permutation der Knoten von $\Gamma$ induzieren.

Der Stabilisator von $*$ ist isomorph zur Mathieu-Gruppe $M_{22}$.

Literatur

• Oleg Bogopolski: Introduction to Group Theory. EMS Textbooks in Mathematics. Zürich: European Mathematical Society 2008, ISBN 978-3-03719-041-8/hbk