Monotone Zahlenfolge

Eine monotone Zahlenfolge ist eine spezielle Folge, bei der Anforderungen an das Wachstumsverhalten der Folge gestellt werden. Werden die Folgeglieder immer größer oder zumindest nicht kleiner, so heißt die Folge eine monoton wachsende Folge oder monoton steigende Folge; werden sie immer kleiner oder zumindest nicht größer, so heißt sie eine monoton fallende Folge. Eine Verschärfung der Anforderungen liefert den Begriff der streng monoton wachsenden Folge und streng monoton fallende Folge, bei der die Folgenglieder (echt) größer bzw. kleiner werden. Die Monotonie einer Folge ist ein wichtiges Mittel, um die Konvergenz von Folgen zu zeigen und lässt sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition

Eine Folge $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )$ reeller Zahlen heißt

• monoton wachsend oder monoton steigend, wenn $a_{n+1}\geq a_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt;
• streng monoton wachsend oder streng monoton steigend, wenn $a_{n+1}>a_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt;
• monoton fallend, wenn $a_{n+1}\leq a_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt;
• streng monoton fallend, wenn $a_{n+1}<a_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt;
• monoton, wenn sie monoton wachsend oder monoton fallend ist;
• streng monoton, wenn sie entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist.

Beispiele

• Die alternierende Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=(-1,1,-1,1,-1,1,\dotsc )$ ist weder monoton wachsend noch fallend, also auch nicht monoton.
• Die Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left({\tfrac {1}{1}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}}\dotsc \right)$ ist streng monoton fallend, denn die Differenz $a_{k}-a_{k+1}={\tfrac {1}{k(k+1)}}$ zweier aufeinander folgender Folgenwerte ist immer echt positiv, demnach gilt allgemein $a_{k}>a_{k+1}$. Damit ist diese Folge insbesondere auch monoton fallend und damit auch monoton.
• Die Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left(1,2,3,4\ldots \right)$ ist streng monoton wachsend und damit auch monoton.
• Die Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=(1,1,2,3,4,\dots )$ ist monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend, da bereits ein Wert doppelt vorkommt.

Eigenschaften

• Eine Folge ist genau dann eine konstante Folge, wenn sie zugleich monoton wachsend und monoton fallend ist.
• Jede monotone Folge konvergiert oder divergiert bestimmt.
• Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Genauer konvergiert nach dem Monotoniekriterium eine beschränkte, monoton fallende Folge gegen das Infimum ihrer Folgeglieder; entsprechend konvergiert eine beschränkte, monoton wachsende Folge gegen das Supremum ihrer Folgeglieder. Ebenso liefert dies die Existenz von Grenzwerten für unendliche Kettenbrüche.
• Jede Folge besitzt eine monotone Teilfolge.
• Der Begriff der Monotonie von Zahlenfolgen ist ein Spezialfall des Begriffs der Monotonie von Abbildungen. Dazu betrachtet man die beiden geordneten Mengen $(\mathbb {N} ,\leq )$ und $(\mathbb {R} ,\leq )$. Dann ist die Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ genau dann monoton wachsend (fallend), wenn die Abbildung $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$ definiert durch $f(k)=a_{k}$ monoton wachsend (fallend) ist.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. 6. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2004, ISBN 978-3-540-40371-5
• Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023. ISBN 978-3-658-40129-0
• Stefan Hildebrandt: Analysis 1. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-25368-6, S. 50–51.