Charakteristische Zahl

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie werden charakteristische Zahlen durch Anwendung von Kombinationen charakteristischer Klassen auf die Fundamentalklasse einer Mannigfaltigkeit definiert. Von Bedeutung sind vor allem Pontrjagin-Zahlen und Stiefel-Whitney-Zahlen.

Stiefel-Whitney-Zahlen

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und $TM$ ihr Tangentialbündel. Zu jeder Partition von $n$ (d. h. jeder Zerlegung $n=n_{1}+\ldots +n_{k}$ als Summe positiver ganzer Zahlen) hat man eine Stiefel-Whitney-Zahl

$\langle w_{n_{1}}(TM)\cap \ldots \cap w_{n_{k}}(TM),\,\left[M\right]\rangle \in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$,

wobei $w_{i}(TM)\in H^{i}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ die $i$-te Stiefel-Whitney-Klasse des Tangentialbündels, $\cap$ das Cup-Produkt, $\left[M\right]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ die $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$-Fundamentalklasse sowie $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ die Kronecker-Paarung bezeichnet.

Pontrjagin-Zahlen

Es sei $M$ eine orientierbare, $4n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und $TM$ ihr Tangentialbündel. Zu jeder Partition von $n$ hat man eine Pontrjagin-Zahl

$\langle p_{n_{1}}(TM)\cap \ldots \cap p_{n_{k}}(TM),\,\left[M\right]\rangle \in \mathbb {Z}$,

wobei $p_{i}(TM)\in H^{4i}(M;\mathbb {Z} )$ die $i$-te Pontrjagin-Klasse des Tangentialbündels, $\cap$ das Cup-Produkt, $\left[M\right]\in H_{4n}(M;\mathbb {Z} )$ die Fundamentalklasse sowie $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ die Kronecker-Paarung bezeichnet.

Literatur

• John Milnor, James Stasheff: Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974.