Salinon

Das Salinon (griechisch vermutlich für „Salzfässchen“^[1]) ist eine aus vier Halbkreisen gebildete, spiegelsymmetrische geometrische Figur. Sie wurde erstmals vermutlich durch Archimedes in seinem Buch der Lemmata beschrieben.

Konstruktion

$O$ sei der Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Auf der $x$ -Achse liegen außen die beiden Punkte $A$ und $B$ (jeweils mit gleichem Abstand zu $O$ ) und innen die Punkte $D$ und $E$ (ebenfalls mit gleichem Abstand zu $O$ ); damit ist ${\overline {AD}}={\overline {EB}}$ . Man errichte einen Halbkreis über $AB$ , sowie zwei kleinere, gleich große Halbkreise über $AD$ und $EB$ . Schließlich zeichne man einen vierten Halbkreis unter $DE$ . Das Salinon ist die durch diese vier Halbkreise begrenzte Figur (blau in der Abbildung). Sie schneidet die $y$ -Achse in den Punkten $C$ und $F$ .

Eigenschaften

Salinon

Arbelos

Archimedes beschrieb die Eigenschaften des Salinon als Satz 14 in seinem Buch der Lemmata unter Bezug auf Euklids Elemente, Buch 2, Proposition 10.

Bezeichnet man den Radius des großen Halbkreises ( ${\frac {\overline {AB}}{2}}={\overline {AO}}$ ) mit $R$ und den des kleinen, mittleren Halbkreises ( ${\frac {\overline {DE}}{2}}={\overline {DO}}$ ) mit $r$ , so gilt für die Fläche $A$ des Salinon:

A={\frac {1}{4}}\pi \left(R+r\right)^{2}.

Beweis:

Aus dem Ansatz

A={\frac {\pi r^{2}}{2}}+{\frac {\pi R^{2}}{2}}-\pi \left({\frac {R-r}{2}}\right)^{2}

folgt nach einigen elementaren Termumformungen die obige Aussage.

Weiterhin lässt sich hieraus folgern, dass der Kreis mit dem Durchmesser ${\overline {CF}}$ (rot in der Abbildung) denselben Flächeninhalt hat wie das Salinon.

Beweis:

Der Durchmesser dieses Kreises ist die Summe aus dem Radius

R

des Halbkreises über

AB

und dem Radius

r

des Halbkreises über

DE

, also beträgt sein Radius

{\frac {R+r}{2}}

und somit seine Flächenmaßzahl

\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}\pi \left(R+r\right)^{2}

.

Darüber hinaus hat das Salinon folgende weiteren Eigenschaften:

Die Punkte auf den vier Halbkreisen mit dem jeweils größten Abstand zur $x$ -Achse (darunter $C$ und $F$ ) bilden ein Quadrat.
Wenn der Durchmesser des Halbkreises unter $DE$ zu Null wird (die Punkte $D$ und $E$ also in $O$ zusammenfallen), geht das Salinon in einen zur $y$ -Achse spiegelsymmetrischen Arbelos über, eine weitere Figur aus Halbkreisen, deren Untersuchung Archimedes zugeschrieben wird.

Siehe auch

Arbelos

Literatur

Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie – Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 156/157

Weblinks

Commons: Salinon – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Eric W. Weisstein: Salinon. In: MathWorld (englisch).
Alexander Bogomolny: Salinon: From Archimedes’ Book of Lemmas. In: Cut The Knot (englisch)
Jürgen Köller: Salinon. In: Mathematische Basteleien

Einzelnachweise

↑ Zur Namensherkunft vgl. Archimedes’ Werke. Mit modernen Bezeichnungen hrsg. von Sir Thomas L. Heath. Deutsch von Dr. Fritz Kliem. Berlin: Häring, 1914, S. 21–23, Anm. 3.

[1] Zur Namensherkunft vgl. Archimedes’ Werke. Mit modernen Bezeichnungen hrsg. von Sir Thomas L. Heath. Deutsch von Dr. Fritz Kliem. Berlin: Häring, 1914, S. 21–23, Anm. 3.

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