Satz von Cauchy (Geometrie)

Der Satz von Cauchy (auch Cauchy-Theorem, Cauchy`s Oberflächenformel) ist ein Resultat der Integralgeometrie, das auf den französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy zurückgeht und besagt, dass für jeden konvexen Körper der gemittelte Flächeninhalt seiner Parallelprojektionen in die Ebene stets ein Viertel seiner Oberfläche beträgt.

Anders formuliert: der Erwartungswert bei zufällig gewählter Projektionsrichtung für das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt der Projektion und dem Inhalt der Oberfläche des Ursprungskörpers beträgt $1/4$ .

Der Satz wurde von Cauchy 1841 und 1850 für $n=2,3$ bewiesen^[1]^[2] und im allgemeinen Fall von T. Kubota,^[3] Hermann Minkowski^[4] und Tommy Bonnesen.^[5]^[6]^[7]

Beispiele

Für eine Kugel ist die Gültigkeit trivial zu zeigen: das Abbild einer Kugel vom Radius $r\,$ bei paralleler Projektion in die Ebene ist stets ein Kreis vom gleichen Radius. Damit ist der Flächeninhalt jedes Bildes $\pi r^{2}\,$ und damit genau ein Viertel der Kugeloberfläche $4\pi r^{2}\,$ .

Die folgenden beiden Beispiele sollen lediglich den Sachverhalt verdeutlichen (die Werte in der rechten Spalte schwanken jeweils um den Wert $1/4$ ):

Das Bild eines Würfels mit Kantenlänge $a$ ist je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Würfeloberfläche $6a^{2}\,$
parallel zu einer Kante	ein Quadrat mit Seitenlänge $a\,$	$a^{2}\,$	$1:6\,$
parallel zu einer Flächendiagonale	ein Rechteck mit Seitenlängen $a\,$ und $a{\sqrt {2}}$	$a^{2}{\sqrt {2}}$	$1:3{\sqrt {2}}\approx 1:4{,}2$
parallel zu einer Raumdiagonale	ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge ${\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}$	$a^{2}{\sqrt {3}}$	$1:2{\sqrt {3}}\approx 1:3{,}5$
andere Richtungen	unregelmäßige (aber punktsymmetrische) Sechsecke	unterschiedlich	unterschiedlich

Ebenso ist das Bild eines regelmäßigen Tetraeders mit Kantenlänge $a$ je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Tetraederoberfläche ${a^{2}}{\sqrt {3}}$
entlang einer Kante	ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basis $a\,$ und Höhe ${\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}$	${\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {2}}$	$1:2{\sqrt {6}}\approx 1:4{,}90$
parallel zu einer Höhe	ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $a\,$	${\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {3}}$	$1:4\,$
normal zu zwei windschiefen Kanten	ein Quadrat mit Seitenlänge ${\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}$	${\frac {a^{2}}{2}}$	$1:2{\sqrt {3}}\approx 1:3{,}46$
andere Richtungen	unregelmäßige Dreiecke oder Vierecke	unterschiedlich	unterschiedlich

Verallgemeinerung

Im Fall eines konvexen Körpers im $n$ -dimensionalen euklidischen Raum ist der Faktor 4 durch ${\frac {nv_{n}}{v_{n-1}}}$ zu ersetzen, wenn $v_{n}$ das Volumen der $n$ -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Siehe auch

Dispersitätsanalyse

Einzelnachweise

↑ Cauchy, Note sur divers théorèmes à la rectification des courbes et à la quadrature des surfaces, Compte Rendu Acad. Sci., Band 13, 1841, S. 1060–1065
↑ Cauchy, Mémoire sur la rectification des courbes et la quadrature des surfaces courbes, Mém. Acad. Sci., Band 22 (3), 1850
↑ Kubota, Über konvex-geschlossene Mannigfaltigkeiten im n-dimensionalen Raum, Sci. Rep. Tohoku University, Band 14, 1925, S. 85–99
↑ Minkowski, Theorie der konvexen Körper, insbesondere Begründung ihres Oberflächenbegriffs, Gesammelte Abhandlungen, Band 2, S. 131–229
↑ Bonnesen, Les problèmes des isopérimètres et isoepiphanes, 1929
↑ Ein Beweis findet sich zum Beispiel in Gian-Carlo Rota, Daniel Klain: Introduction to geometric probability, Cambridge UP 1997
↑ Tsukerman, Veomett, A simple proof of Cauchy's surface area formula, Arxiv 2016

[1] Cauchy, Note sur divers théorèmes à la rectification des courbes et à la quadrature des surfaces, Compte Rendu Acad. Sci., Band 13, 1841, S. 1060–1065

[2] Cauchy, Mémoire sur la rectification des courbes et la quadrature des surfaces courbes, Mém. Acad. Sci., Band 22 (3), 1850

[3] Kubota, Über konvex-geschlossene Mannigfaltigkeiten im n-dimensionalen Raum, Sci. Rep. Tohoku University, Band 14, 1925, S. 85–99

[4] Minkowski, Theorie der konvexen Körper, insbesondere Begründung ihres Oberflächenbegriffs, Gesammelte Abhandlungen, Band 2, S. 131–229

[5] Bonnesen, Les problèmes des isopérimètres et isoepiphanes, 1929

[6] Ein Beweis findet sich zum Beispiel in Gian-Carlo Rota, Daniel Klain: Introduction to geometric probability, Cambridge UP 1997

[7] Tsukerman, Veomett, A simple proof of Cauchy's surface area formula, Arxiv 2016

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