Multilinearform

Eine $p$-Multilinearform $\omega$ ist in der Mathematik eine Funktion, die $p$ Argumenten $v_{i}\in V_{i},\;i\in \{1,\ldots ,p\}$ aus $K$-Vektorräumen $V_{1},\ldots ,V_{p}$ einen Wert $\omega (v_{1},\ldots ,v_{p})\in K$ zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und Zielräume Moduln sind, spricht man von einer multilinearen Abbildung.

Definition

Eine Abbildung

${\begin{aligned}\omega :\ V_{1}\times \cdots \times V_{p}&\rightarrow K\\(v_{1},\ldots ,v_{p})\ &\mapsto \omega \left(v_{1},\dots ,v_{p}\right)\end{aligned}}$

heißt Multilinearform, wenn für alle $v_{j}\in V_{j},j\in \{1,\ldots ,p\}$ und alle $i\in \{1,\ldots ,p\}$ folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle $\lambda \in K$ gilt

$\omega \left(v_{1},\ldots ,\lambda \;v_{i},\ldots ,v_{p}\right)=\lambda \;\omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{p}\right)$

und für alle $w\in V_{i}$

$\omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i}+w,\ldots ,v_{p}\right)=\omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{p}\right)+\omega \left(v_{1},\ldots ,w,\ldots ,v_{p}\right)$.

Die Menge aller multilinearen Abbildungen ${\mathcal {J}}^{p}(V_{1},\ldots ,V_{p})$ bildet einen $K$-Vektorraum. Im Fall $V_{1}=\cdots =V_{p}=:V$ schreibt man ${\mathcal {J}}^{p}(V):={\mathcal {J}}^{p}(V,\ldots ,V)$.

Alternierende Multilinearformen

Eine Multilinearform $\omega \in {\mathcal {J}}^{p}(V)$ heißt alternierend, falls sie null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d. h.

$\omega \left(\dots ,v,\dots ,v,\dots \right)=0$

für alle $v\in V$.

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, also

$\omega \left(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{j},\dots ,v_{p}\right)=-\omega \left(v_{1},\dots ,v_{j},\dots ,v_{i},\dots ,v_{p}\right)$

für alle $v_{k}\in V,\;k\in \{1,\ldots ,p\}$ und $i,j\in \{1,\ldots ,p\},\;i\neq j$. Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn die Charakteristik von $K$ nicht 2 ist, also zum Beispiel für $K=\mathbb {R}$.

Ist allgemeiner $\pi \in S_{p}$ eine beliebige Permutation der Indizes, dann gilt

$\omega \left(v_{\pi (1)},\dotsc ,v_{\pi (p)}\right)=\operatorname {sign} (\pi )\cdot \omega \left(v_{1},\dotsc ,v_{p}\right)$,

wobei $\operatorname {sign} (\pi )$ das Signum der Permutation bezeichnet.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen $\Omega ^{p}(V)$ ist ein Untervektorraum von ${\mathcal {J}}^{p}(V)$. Wichtig ist der Spezialfall $\ p=\dim V$. Dann ist $\Omega ^{p}(V)$ ein eindimensionaler Unterraum von ${\mathcal {J}}^{p}(V)$, und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

Auf dem durch alle $\Omega ^{p}(V),p=0,1,2,\ldots$ erzeugten Vektorraum lässt sich die Struktur einer Algebra definieren. Diese Algebra heißt Graßmann-Algebra.

Beispiele

1. Linearformen sind genau die 1-Multilinearformen.
2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von $K$ nicht 2 ist).
3. Bildet man aus $n$ Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also $\omega$ definiert durch
   $\omega \left(v_{1},v_{2},v_{3}\right):=\det {\begin{pmatrix}v_{1x}&v_{2x}&v_{3x}\\v_{1y}&v_{2y}&v_{3y}\\v_{1z}&v_{2z}&v_{3z}\end{pmatrix}}$
   eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren $v_{1},v_{2},v_{3}$ folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
   $v_{1}={\begin{pmatrix}v_{1x}\\v_{1y}\\v_{1z}\end{pmatrix}},\quad \quad v_{2}={\begin{pmatrix}v_{2x}\\v_{2y}\\v_{2z}\end{pmatrix}},\quad \quad v_{3}={\begin{pmatrix}v_{3x}\\v_{3y}\\v_{3z}\end{pmatrix}}$.
4. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume $V_{i}$ identisch sind (also $V_{i}=V$), ist die $p$-Multilinearform auch ein kovarianter Tensor $p$-ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden $p$-Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren $p$-ter Stufe.
5. Eine Differentialform ordnet einem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigen Tangentialraum zu.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. De Gruyter, Berlin 2003, ISBN 978-3-11-017963-7.