Dirichletscher Approximationssatz

Der dirichletsche Approximationssatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist ein mathematischer Satz über die Qualität der Approximation (Annäherung) reeller Zahlen durch rationale Zahlen.

Der Satz lautet: Zu jedem $\alpha \in \mathbb {R}$ und jedem $N\in \mathbb {N}$ existieren ein $q\in \mathbb {N} ,1\leq q\leq N$ und ein $p\in \mathbb {Z}$, so dass

$\left|q\alpha -p\right|\leq {\frac {1}{N+1}}.$

Dieser Satz kann mithilfe des Schubfachprinzips bewiesen werden.

Aus dem Satz folgt nach Division durch $q$ und Beachtung von $q<N+1$, dass es zu jedem reellen $\alpha$ unendlich viele Paare $(p,q)$ ganzer Zahlen gibt, die

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$

erfüllen. Für rationale Zahlen $\alpha ={\tfrac {a}{b}}$ haben fast alle solche Approximationen die Form $p=ka,q=kb$, interessant ist die Unendlichkeitsaussage also nur für irrationale Zahlen. Der Satz von Hurwitz verbessert die Ungleichung noch um den Faktor ${\sqrt {5}}$.

Beispiel: Sei $\alpha ={\sqrt {2}}$ und $N=10$. Dann ist nach dem dirichletschen Approximationssatz (mindestens) eine der Zahlen ${\sqrt {2}},2{\sqrt {2}},\dotsc ,10{\sqrt {2}}$ um höchstens $1/11$ von einer ganzen Zahl entfernt. Tatsächlich ist

$\left|5{\sqrt {2}}-7\right|=\left|7,07106\dotso -7\right|=0.07106\dotso \leq 0.090909\dotso ={\frac {1}{11}}.$

Literatur

• Hans Rademacher, Otto Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Kapitel 15: „Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale“, Springer 1930 und zahlreiche Neuauflagen.