Ecke

Die Ecke, auch der Eckpunkt, ist in der Geometrie ein besonders ausgezeichneter Punkt der Grenzlinie oder -fläche eines Gebietes.

Die Ecken von zweidimensionalen Polygonen (Vielecken) sind die Punkte, an denen die begrenzenden Linien, die Seiten, aufeinandertreffen. Im Falle der dreidimensionalen Polyeder (Vielflächner) bezeichnet man die Punkte, an denen (mindestens) drei der begrenzenden Flächen aufeinandertreffen, als Ecken. Die Ecken von Polyedern sind Endpunkte der Kanten, das heißt der Verbindungslinien zwischen jeweils zwei benachbarte Ecken.

Im Falle eines konvexen n-dimensionalen Polytopes ist eine Ecke dadurch charakterisiert, dass sie nicht als echte Konvexkombination zweier verschiedener Punkte des Polytopes dargestellt werden kann (Extremalpunkt).

Für dreidimensionale Polyeder gibt es eine Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen den Ecken, Kanten und Flächen eines beliebigen konvexen Polyeders beschreibt, den eulerschen Polyedersatz.

Ein regelmäßiges Fünfeck hat 5 Ecken und 5 Seiten.
Ein regelmäßiges Dodekaeder hat 12 Flächen (daher sein Name), 20 Ecken und 30 Kanten.
Ein nichtkonvexes Polyeder
Ein nichtkonvexes Polyeder mit 12 Ecken, 36 Kanten und 32 Flächen, für das der eulersche Polyedersatz nicht gilt

Ecken in der Linearen Optimierung

Ecken spielen eine wichtige Rolle in der linearen Optimierung, da sich zeigen lässt, dass der optimale Funktionswert immer in einer Ecke der Restriktionsmenge angenommen wird. Dies macht sich insbesondere der Simplex-Algorithmus zunutze, indem er systematisch von Ecke zu Ecke läuft, bis er den optimalen Funktionswert gefunden hat. Die zulässigen Basislösungen, die hierbei verwendet werden, sind genau die Ecken des Polyeders.

Unterscheidung von Ecken

Zur Unterscheidung von meist rechtwinkligen Ecken spricht man von Innen- und Außenecken. Bei einem konvexen Polygon sind die Winkel der Ecken von innen betrachtet immer kleiner als 180° und von außen betrachtet immer größer als 180°. Eine Ecke bezeichnet man als Innenecke, wenn ihr Winkel kleiner als 180° ist. Anderenfalls ist es eine Außenecke. Bei Räumen sind damit Ecken, in die man hineinschaut, Innenecken, und Ecken, die hervorspringen, Außenecken. Die Betrachtung ist relativ, das heißt in Bezug zu dem Objekt. Der Fußboden eines Raumes liegt mit seinen Außenecken in den Innenecken des Raumes. Diese Innenecken liegen entsprechend an den Außenecken des Fußbodens.

Unterschied zwischen Ecke und Spitze

Bei speziellen geometrischen Körpern wird zwischen Ecken und Spitzen unterschieden.

Spitze als Gegenstück zur Grundfläche

Während eine Ecke durch das Ende einer Kante definiert ist, beschreibt eine Spitze meist den einzigen höchsten Punkt eines stehenden Körpers oder einen lokalen höchsten Punkt eines stehenden Körpers, an dem die Differenzierbarkeit nicht gegeben ist. Die Spitze ist somit quasi das punktförmige Gegenstück eines auf seiner Grundfläche stehenden Körpers.

Deshalb ist die Spitze einer Pyramide zugleich eine Ecke, während die Spitze eines Kegels keine Ecke ist. Die an der Grundfläche der Pyramide auftretenden Ecken wären nach dieser Definition keine Spitzen.

Spitze als Generalisierung von Ecken

Zitrone als mathematischer Körper

Wie bei Ecken ist auch bei Spitzen die Differenzierbarkeit nicht gegeben. Bei dieser Definition sind alle Ecken zugleich auch Spitzen. Andererseits gibt es Spitzen die keine Ecken sind. Beispiel hierfür sind die Spitzen einer Zitrone.

Siehe auch

In der Graphentheorie gibt es das verwandte Konzept der „Knoten“,
in der projektiven Geometrie werden Punkte in allgemeiner Lage als Ecken bezeichnet. Sie bestimmen dort wichtige Figuren wie zum Beispiel das vollständige Viereck.

Literatur

Johannes Böhm, Erhard Quaisser: Schönheit und Harmonie geometrischer Formen. Sphäroformen und symmetrische Körper. Akademischer Verlag, Berlin 1991, ISBN 3-05-500704-2.
Dieter Grillmayer: Im Reich der Geometrie. Teil I: Ebene Geometrie. Books on Demand, Norderstedt 2009, ISBN 978-3-8370-2335-0.
Erwin Gureczny: Polyeder. Bemerkungen über verschiedene Zugänge zu allgemeinen, regulären und halbregulären Polyedern, deren Existenz und Möglichkeiten der Konstruktion. Technische Universität Wien, Wien 1993.
Mario Holzbauer: Vierdimensionale Polytope. Diplomarbeit. Technische Universität Wien, Wien 2007 (Mit umfangreichem Literaturverzeichnis).