Größter gemeinsamer Teiler

mathematische Funktion
(Weitergeleitet von Gekürzter Bruch)

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist ein mathematischer Begriff. Sein Pendant ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Beide spielen unter anderem in der Arithmetik und der Zahlentheorie eine Rolle.

Der ist die größte natürliche Zahl, durch die sich zwei ganze Zahlen ohne Rest teilen lassen. Der zweier ganzer Zahlen und ist eine ganze Zahl mit der Eigenschaft, dass sie Teiler sowohl von als auch von ist und dass jede ganze Zahl, die ebenfalls die Zahlen und teilt, auch Teiler von ist.[1] Beim Ring der ganzen Zahlen (der eine Totalordnung > besitzt) normiert man den auf die größte ganze solche Zahl .

Der Begriff „groß“ in korreliert hochgradig mit der üblichen Ordnungsrelation > der ganzen Zahlen. Es gibt allerdings eine wichtige Ausnahme: Da die Vielfaches einer jeden ganzen Zahl ist, ist in Teilbarkeitsfragen an „Größe“ nicht zu überbieten. Diese Auffassung ist in Einklang mit der Verbandsvorstellung (und der Idealtheorie) und vereinfacht einige der unten aufgeführten Rechenregeln.

Die englische Bezeichnung gcd (greatest common divisor) für ist in mathematischen Texten ebenfalls verbreitet.[2]

Oft wird auch als Kurzschreibweise für verwendet.[3]

Beispiel

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  • 12 ist durch die folgenden Zahlen ohne Rest teilbar: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  • 18 hat diese Teiler: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
  • Die gemeinsamen Teiler von 12 und 18 sind also 1, 2, 3, 6 und der größte von diesen ist 6 – in Zeichen:
 

Berechnung

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Berechnung über die Primfaktorzerlegung

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Man kann den   über die Primfaktorzerlegung der beiden gegebenen Zahlen bestimmen. Beispiel:

  •  
  •  

Für den   nimmt man die Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen, und als zugehörigen Exponenten den jeweils kleineren der Ausgangsexponenten:[4]

  •  

Euklidischer Algorithmus

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Die Berechnung der Primfaktorzerlegung großer Zahlen und damit auch die Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers über die Primfaktorzerlegungen ist sehr aufwändig. Mit dem euklidischen Algorithmus existiert jedoch auch ein effizientes Verfahren, um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu berechnen.

Der klassische euklidische Algorithmus berechnet den größten gemeinsamen Teiler, indem er nach einem gemeinsamen „Maß“ für die Längen zweier Linien sucht.[5] Dazu wird die kleinere zweier Längen von der größeren mehrfach abgezogen, bis ein Ergebnis übrig bleibt, das kleiner als die kleinere ist (erste zwei Schritte im Beispiel). Bei einer Differenz von 0 ist man fertig und die kleinere Länge das Ergebnis. Andernfalls wiederholt man dieses Abziehen – jetzt aber mit der kleineren Länge anstelle der größeren und der letzten Differenz anstelle der kleineren Länge (im Beispiel die Schritte drei bis sieben mit dem Rest 13 als der kleineren Länge und 65 als der jetzt größeren). Beispiel für den größten gemeinsamen Teiler von 143 und 65:

 

Der größte gemeinsame Teiler von 143 und 65 ist somit 13.

Beim modernen euklidischen Algorithmus wird in aufeinanderfolgenden Schritten jeweils eine Division mit Rest durchgeführt, wobei im nächsten Schritt der Divisor zum neuen Dividenden und der Rest zum neuen Divisor wird. Der Divisor, bei dem sich Rest 0 ergibt, ist der größte gemeinsame Teiler der Ausgangszahlen. Beispiel für die Ausgangszahlen 3780 und 3528:

 

Somit ist 252 der größte gemeinsame Teiler von 3780 und 3528.[6]

In der Programmiersprache C wird der Algorithmus wie folgt formuliert:

int GreatestCommonDivisor(int a, int b)
{
    int h;
    if (a == 0) return abs(b);
    if (b == 0) return abs(a);

    do {
        h = a % b;
        a = b;
        b = h;
    } while (b != 0);

    return abs(a);
}

Eine Variante mit Rekursion ist wie folgt formuliert:

int GreatestCommonDivisor(int a, int b) {
  if (a == 0)
    return b;
  if (b == 0)
    return a;
  if (a < b)
    return GreatestCommonDivisor(b, a);
  return GreatestCommonDivisor(b, a % b);
}

Steinscher Algorithmus

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Der steinsche Algorithmus ist eine Variation des euklidischen Algorithmus. Ob er eine Verbesserung darstellt, hängt von der jeweiligen Bewertungsfunktion und „Maschinerie“ ab, die den jeweiligen Algorithmus ausführt.

Der ggT von mehreren Zahlen

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Man verwendet alle Primfaktoren, die in jeder der Zahlen vorkommen, mit der jeweils kleinsten vorkommenden Potenz, zum Beispiel:

 
 
 

also:[7]

 

Man könnte auch zunächst   berechnen und danach   denn als eine zweistellige Verknüpfung auf den natürlichen Zahlen ist der   assoziativ:

 

Dies rechtfertigt die Schreibweise  .[8]

Rechenregeln

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Für ganze Zahlen   gilt – mit   als dem Betrag von  :

    (Kommutativgesetz)
   
   
   
   
     
   
    (Assoziativgesetz)
    (Distributivgesetz)
Ist   ein gemeinsamer Teiler von   und  , dann gilt:
    teilt       und
     
für    
Ist     (  und   sind kongruent modulo  ), dann gilt:
     

Aus der genannten Rechenregel   ergibt sich speziell  . Dies ergibt sich auch daraus, dass jede ganze Zahl   (sogar die 0 selbst) wegen   Teiler der 0 ist, während umgekehrt 0 keine von 0 verschiedene Zahl teilt.

Hält man eines der beiden Argumente fest, dann ist   eine multiplikative Funktion, denn für teilerfremde Zahlen   und   gilt:

 

Lemma von Bézout

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Nach dem Lemma von Bézout lässt sich der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen   und   als Linearkombination von   und   mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen:

  •   mit  [9]

Beispielsweise besitzt der größte gemeinsame Teiler von   und   die folgende Darstellung:

  •  

Die Koeffizienten   und   können mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus berechnet werden.

Sonderfälle

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Für gerades  , ungerades   sowie ganzes   gilt:

 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 , falls   und   gerade.
 , falls   gerade und   ungerade.
 , falls   und   ungerade.

Setzt man eine Primzahl aus zwei echten Summanden zusammen, gilt für diese stets Teilerfremdheit:

Aus   folgt  .

Anwendungen

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Bruchrechnung

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Beim Kürzen wird ein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner eines Bruches entfernt, wobei sich der Wert des Bruches nicht ändert, z. B.  . Kürzt man mit dem größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, entsteht ein Bruch, der nicht weiter kürzbar ist.[10] Zum Beispiel ist  , also

 

Ein Bruch mit Zähler   und Nenner  , bei dem   ist, ist nicht weiter kürzbar. Er wird voll gekürzt[11] oder auch vollständig oder maximal gekürzter Bruch genannt.

Zusammenhang zwischen ggT und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen

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Beweis: Nachweis für positive ganze Zahlen   und  , alle anderen Fälle lassen sich analog behandeln. Sei  , dann ist   auch Teiler des Produkts  . Die Zahl   enthalte dagegen alle Primfaktoren des Produkts  , die   nicht enthält. Betrachtet man, wie der   aus der Primfaktordarstellung des Produkts aus   und   berechnet wird, dann folgt  . Daraus ergibt sich die obige Gleichung.[12]

Weitere algebraische Strukturen mit ggT

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Der Begriff des   baut auf dem Begriff der Teilbarkeit auf, wie er in Ringen definiert ist. Man beschränkt sich bei der Diskussion des   auf nullteilerfreie Ringe, im kommutativen Fall sind das die Integritätsringe.

Ein Integritätsring, in dem je zwei Elemente einen   besitzen, heißt ggT-Ring oder ggT-Bereich. (In einem  -Ring haben je zwei Elemente auch ein  .)

In Allgemeinen besitzen solche Ringe keine Halbordnung, die antisymmetrisch ist, wie die ganzen oder die natürlichen Zahlen eine haben. Häufig ist die Teilbarkeitsrelation, die eine Quasiordnung ist, die einzige Ordnungsrelation. Deshalb lässt sich der   gegebenenfalls nicht mehr eindeutig als nicht-negativ normieren, sondern nur bis auf Assoziiertheit bestimmen. Zwei Elemente   und   sind assoziiert, in Zeichen  , wenn es eine Einheit   mit   gibt.

Wir erweitern den Begriff des   auf die Menge aller größten gemeinsamen Teiler der Elemente einer Teilmenge   eines Ringes  , formal:

 .

In Worten: Die Teiler von   sind genau die Elemente aus  , die alle Elemente aus   teilen. Die   sind untereinander assoziiert.

Polynomringe

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Man kann den   z. B. auch für Polynome bilden. Statt der Primfaktorzerlegung nimmt man hier die Zerlegung in irreduzible Faktoren:

 

Dann ist

 

Der Polynomring   in einer Variablen   ist euklidisch. Dort gibt es zur Berechnung des   eine Division mit Rest.

Gaußscher Zahlenring

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Im gaußschen Zahlenring   ist der größte gemeinsame Teiler von   und   gerade  , denn   und  . Genau genommen ist   nur ein größter gemeinsamer Teiler, da alle zu dieser Zahl assoziierten Zahlen ebenfalls größte gemeinsame Teiler sind. (Die Einheiten sind  .)

Integritätsringe

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Im Integritätsring   haben die Elemente

 

keinen  : Die Elemente   und   sind zwei maximale gemeinsame Teiler, denn beide haben den gleichen Betrag, aber diese zwei Elemente sind nicht zueinander assoziiert. Also gibt es keinen   von   und  .

Die genannten Elemente   und   haben aber ihrerseits einen  , nämlich  . Dagegen haben sie kein  , denn wenn   ein   wäre, dann folgt aus der „ggT-kgV-Gleichung“, dass   assoziiert zu   sein muss. Das gemeinsame Vielfache   ist jedoch kein Vielfaches von  , also ist   kein   und die beiden Elemente haben gar kein  .

Ist   ein Integritätsring und haben die Elemente   und   ein  , dann haben sie auch einen  , und es gilt die Gleichung:

 

Ein euklidischer Ring ist ein Hauptidealring, der ein faktorieller Ring ist, der schließlich ein ggT-Ring ist. Ebenso ist jeder Hauptidealring ein Bézoutring, der wiederum stets ein ggT-Ring ist.

Ein Beispiel für einen nicht-kommutativen ggT-Ring sind die Hurwitzquaternionen.

Analytische Zahlentheorie

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In der elementaren Zahlentheorie gehört der größte gemeinsame Teiler   von zwei ganzen Zahlen   zu den wichtigsten Grundkonzepten. Man schreibt dort regelmäßig   und meint damit dann den positiven  , geht also von   aus.

In der analytischen Zahlentheorie kann die ggT-Funktion   in einer Variablen für festes   analytisch zu einer ganzen Funktion fortgesetzt werden. → Siehe Ramanujansumme.

Einzelnachweise

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  1. Schüler-Duden: Die Mathematik I. Dudenverlag Mannheim, 1990, ISBN 3-411-04205-2, S. 167.
  2. Calvin T. Long: Elementary Introduction to Number Theory. D. C. Heath and Company, Boston, 1972, ISBN 978-0-669-62703-9, S. 33.
  3. Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76490-8, S. 15.
  4. Schüler-Duden: Die Mathematik I. Dudenverlag Mannheim, 1990, ISBN 3-411-04205-2, S. 354.
  5. Lambacher Schweizer: Mathematik für Gymnasien 5 Niedersachsen. Klett Verlag, Stuttgart 2006, ISBN 978-3-12-734551-3, S. 197.
  6. Schüler-Duden: Die Mathematik I. Dudenverlag Mannheim, 1990, ISBN 3-411-04205-2, S. 100
  7. Schüler-Duden: Die Mathematik I. Dudenverlag Mannheim, 1990, ISBN 3-411-04205-2, S. 168.
  8. Harald Scheid: Einführung in die Zahlentheorie. Klett Verlag, Stuttgart, 1972, ISBN 3-12-983240-8, S. 78.
  9. Lemma von Bézout.
  10. Lutz Engelmann (Hrsg.): Kleiner Leitfaden Mathematik. Paetec, Berlin 1997, ISBN 3-89517-150-6, S. 51/2.
  11. Schüler-Duden: Die Mathematik I. Dudenverlag, Mannheim. Leipzig, Wien, Zürich 1990, ISBN 3-411-04205-2, S. 48.
  12. § 4. ggT und kgV. In: math-www.uni-paderborn.de. S. 14.

Literatur

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