Triviale Topologie

Die triviale Topologie^[1], indiskrete Topologie^[2], chaotische Topologie^[3] oder Klumpentopologie^[4] ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur für eine Menge, die diese zu einem topologischen Raum macht.

Definition

Sei $X$ eine Menge. Die triviale Topologie auf $X$ ist die Topologie, bei der nur die Menge $X$ und die leere Menge $\emptyset$ offen sind.^[4]

Sei $X$ ein topologischer Raum versehen mit der trivialen Topologie.

Alle Punkte in $X$ sind topologisch ununterscheidbar.
Entsprechend der Definition sind nur die leere Menge und die ganze Menge $X$ abgeschlossen.
Der Raum $X$ ist kompakt und somit insbesondere parakompakt, lindelöf und lokalkompakt.
Der Raum $X$ ist wegzusammenhängend, denn jede Abbildung eines topologischen Raums nach $X$ ist stetig, und somit auch zusammenhängend.
Die triviale Topologie ist die gröbste aller Topologien auf einer gegebenen Menge, insbesondere ist jede Abbildung von einem topologischen Raum in eine triviale Topologie stetig.
Die triviale Topologie besitzt alle üblichen Trennungseigenschaften, sofern sie nicht T₀ voraussetzen, und ist pseudometrisierbar durch die Pseudometrik, die beliebigen zwei Punkten den Abstand 0 zuordnet.
Jeder Filter konvergiert in der trivialen Topologie gegen jeden Punkt, dies charakterisiert die triviale Topologie.

↑ Triviale Topologie. In: Guido Walz (Red.): Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2002, ISBN 3-8274-0437-1.
↑ Lothar Tschampel: BUCHMAT. 3.A: Topologie 1. Allgemeine Topologie. Version 2. Buch-X-Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-934671-60-7.
↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. 13., durchgesehene Auflage. Band 2. Teubner, Stuttgart u. a. 2004, ISBN 3-519-62232-7, S. 210.
↑ ^a ^b Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4, S. 9.