Reeb-Vektorfeld

In der Mathematik sind Reeb-Vektorfelder (benannt nach Georges Reeb) ein Konzept der Kontaktgeometrie. Eigenschaften von Reeb-Vektorfeldern sind bei der Suche nach periodischen Bahnen nützlich.

Definition

Sei $\alpha$ eine Kontaktform auf einer Mannigfaltigkeit $M$. Das Reeb-Vektorfeld der Kontaktform ist das eindeutig bestimmte Vektorfeld $R$ auf $M$, welches die beiden Bedingungen

• $d\alpha (R(p),X(p))=0$ für jedes Vektorfeld $X$ und jedes $p\in M$
• $\alpha (R(p))=1$ für jedes $p\in M$

erfüllt.

Der Fluss des Reeb-Vektorfeldes wird als Reeb-Fluss bezeichnet, seine Bahnen als Reeb-Orbiten.

Beispiele

• Für die Standard-Kontaktform $\alpha =xdy+dz$ auf $M=\mathbb {R} ^{3}$ ist das Reeb-Vektorfeld $R={\tfrac {\partial }{\partial z}}$.
• Für die Standard-Kontaktform $\alpha ={\tfrac {i}{2}}(ud{\overline {u}}-{\overline {u}}du+vd{\overline {v}}-{\overline {v}}dv)$ auf der 3-Sphäre $S^{3}=\left\{(u,v)\in \mathbb {C} ^{2}\colon \vert u\vert ^{2}+\vert v\vert ^{2}=1\right\}$ ist das Reeb-Vektorfeld $R=iu{\tfrac {\partial }{\partial u}}-i{\overline {u}}{\tfrac {\partial }{\partial {\overline {u}}}}+iv{\tfrac {\partial }{\partial v}}-i{\overline {v}}{\tfrac {\partial }{\partial {\overline {v}}}}$. Seine Bahnen sind die Fasern der Hopf-Faserung.
• Für die kanonische Kontaktform auf dem Einheits-Kotangentialbündel $ST^{*}M$ einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ entspricht das Reeb-Vektorfeld unter dem durch die Metrik gegebenen Isomorphismus $ST^{*}M\simeq STM$ dem Vektorfeld des geodätischen Flusses.

Literatur

• H. Geiges: An introduction to contact topology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2008