Vektorwertige Funktion

Funktion mit mehrdimensionalen Ergebnis
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Eine vektorwertige Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, deren Zielmenge ein mehrdimensionaler Vektorraum ist. Vektorwertige Funktionen werden insbesondere in der mehrdimensionalen Analysis, der Differentialgeometrie und der Funktionalanalysis untersucht.

Definition

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Eine Funktion

 

heißt vektorwertig, wenn ihre Zielmenge   ein Vektorraum ist. Insbesondere ist die Struktur der Definitionsmenge   nicht relevant, nur die der Zielmenge.

In vielen Fällen wird als Vektorraum der   verwendet, solche Funktionen heißen dann auch reell-vektorwertig. Ist der Vektorraum der  , so heißen die Funktionen analog komplex-vektorwertig.

Beispiele

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  • Die Abbildung  , definiert durch
 
ist eine reell-vektorwertige Funktion.
  • Die Parameterdarstellung einer Kurve in zwei oder mehr Dimensionen ist eine reell-vektorwertige Funktion von   nach  .
  • Eine vektorwertige Funktion   wird im Fall   auch Vektorfeld genannt.

Grenzwerte

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Eine vektorwertige Funktion   nähert sich dem Betrag und der Richtung des Vektors   an, wenn der Grenzwert der Funktion für   gleich   ist, das heißt:  . Dies bedeutet, dass für jeden Wert von   ein   existiert, sodass für alle   mit   gilt:

 .

Der Grenzwert einer vektorwertigen Funktion wird durch die Grenzwerte ihrer einzelnen Komponenten bestimmt. Wenn eine vektorwertige Funktion   durch   reelle Funktionen   definiert ist, deren Grenzwerte von   existieren, dann ist der Grenzwert von   der Vektor, dessen  -te Komponente den Grenzwert von   ist. In anderen Worten:  . Der Grenzwert einer vektorwertigen Funktion wird dementsprechend als ein Tupel von Grenzwerten ihrer einzelnen Komponenten dargestellt.

Der Grenzwert der vektorwertigen Funktion   lautet:  

Differenzialrechnung

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Die Ableitung einer vektorwertigen Funktion   ist definiert als:  

Die Ableitung einer vektorwertigen Funktion wird durch die Ableitungen ihrer einzelnen Komponenten bestimmt. Wenn eine vektorwertige Funktion   durch   reelle Funktionen   definiert ist, deren Ableitungen existieren, dann ist die Ableitung von   der Vektor, dessen  -te Komponente die Ableitung von   ist. In anderen Worten:  . Die Ableitung einer vektorwertigen Funktion wird dem unterliegend als ein Tupel von Grenzwerten ihrer einzelnen Komponenten dargestellt. Sei   eine vektorwertige Funktion, die jedem Punkt im  -dimensionalen Raum einen  -dimensionalen Vektor   zuordnet. Die Ableitung   ist dementsprechend eine   ×   Matrix, welche die Änderungsrate von   im Punkt   beschreibt.

Die Ableitung der vektorwertigen Funktion   lautet:  

Der Einheits-Tangentenvektor   von der vektorwertigen Funktion  , welcher den Betrag   hat und die Richtung der Vektorfunktion   angibt, lässt sich darstellen durch  

Literatur

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Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im  , gewöhnliche Differentialgleichungen. 10., verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02356-0, doi:10.1007/978-3-658-02357-7.