Holomorpher Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher

Werkzeug zur Untersuchung kommutativer C-Banachalgebren
(Weitergeleitet von Schilowscher Idempotentensatz)

Der holomorphe Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher wird in der Mathematik zur Untersuchung kommutativer -Banachalgebren eingesetzt. Dieser Funktionalkalkül erlaubt die Anwendung einer holomorphen Funktion mehrerer Veränderlicher auf ein Tupel bestehend aus Elementen der Banachalgebra. Dies verallgemeinert den holomorphen Funktionalkalkül, der sich auf holomorphe Funktionen einer Veränderlichen bezieht.

Motivation

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Die einfachsten holomorphen Funktionen mehrerer Veränderlicher sind Polynome   mit  .

Ein Einsetzen von Elementen   einer  -Algebra in ein solches Polynom führt zu  .

Um   sinnvoll definieren zu können, benötigt man zunächst ein Einselement 1 in der Banachalgebra. Ist   die Menge der Polynome in   Veränderlichen, so erhält man eine Abbildung  . Damit diese Abbildung ein Homomorphismus wird, müssen die Elemente   untereinander kommutieren, denn   ist ja ein kommutativer Ring und daher muss

 
 

sein. Deshalb muss man sich auf kommutative  -Banachalgebren mit Einselement beschränken. Hat man kein Einselement, so kann man eines adjungieren.

Der Kalkül

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Der holomorphe Funktionalkalkül einer Veränderlichen für ein Element   befasst sich mit holomorphen Funktionen, die in einer Umgebung des Spektrums   definiert sind. In der hier betrachteten Situation liegen   Elemente   einer kommutativen Banachalgebra mit 1 vor und man betrachtet holomorphe Funktionen in   Veränderlichen, die in einer Umgebung des gemeinsamen Spektrums   definiert sind. Ist   der Gelfand-Raum von  , so ist

 

eine kompakte Teilmenge des  . Mit Methoden der Funktionentheorie zeigt man

  • Sei   eine kommutative  -Banachalgebra mit 1,   und sei   eine in einer Umgebung von   definierte holomorphe Funktion. Dann gibt es ein Element   mit
  für alle  

Das Element   aus obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, denn es kann durchaus verschiedene Elemente   in   geben mit   für alle  . Aber dann gilt   für alle  . Da die Kerne der Homomorphismen aus   aber genau die maximalen Ideale von   sind (siehe Artikel Banachalgebra), liegt   im Durchschnitt aller maximalen Ideale, das heißt im Jacobson-Radikal von  . Wenn also das Jacobson-Radikal   ist (das heißt, wenn die Banachalgebra halbeinfach ist), so kann man auf   schließen. In diesem Fall ist also das   aus obigem Satz eindeutig bestimmt. Man erhält dann folgenden Satz:

  • Sei   eine halbeinfache, kommutative  -Banachalgebra mit 1,   und sei   eine offene Umgebung des gemeinsamen Spektrums  . Ist   die Menge aller in   definierten holomorphen Funktionen, so gibt es zu jedem   genau ein Element   mit
  für alle  .

Dieses eindeutig bestimmte Element bezeichnet man mit  . In der Situation obigen Satzes gilt dann weiter

  • Die Abbildung   ist ein Homomorphismus, der die Einsetzung   fortsetzt.

In diesem Sinne kann man Elemente halbeinfacher, kommutativer  -Banachalgebren mit 1 in holomorphe Funktionen, die in einer Umgebung des gemeinsamen Spektrums definiert sind, einsetzen.

Diese Sätze wurden unter der zusätzlichen Annahme, dass die Banachalgebra endlich erzeugt ist, von Schilow bewiesen. Der allgemeine Fall wurde dann von Arens und Calderón gezeigt; weitere Versionen finden sich im unten genannten Bourbaki-Band.

Der Schilowsche Idempotentensatz

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Die bekannteste Anwendung dieser Methoden geht auf Schilow selbst zurück. Der Schilowsche Idempotentensatz macht eine Aussage über die Existenz von idempotenten Elementen in kommutativen Banachalgebren mit 1:

  • Sei   eine kommutative  -Banachalgebra mit Einselement und der Gelfand-Raum sei eine disjunkte Vereinigung   nicht-leerer kompakter Teilmengen   und  . Dann gibt es ein idempotentes Element   mit   für alle   und   für alle  
 
Zur Beweisskizze des Schilowschen Idempotentensatzes

Zum Beweis, der hier nur grob angedeutet werden kann, verschafft man sich geeignete Elemente  , so dass deren gemeinsames Spektrum ebenfalls eine disjunkte Vereinigung kompakter Mengen   und   ist. Dann gibt es disjunkte offene Umgebungen   und   von   bzw.  . Die Funktion  , die auf   gleich 0 und auf   gleich 1 ist, ist holomorph in einer Umgebung des gemeinsamen Spektrums. Ist   zusätzlich halbeinfach, so ist   das gesuchte Element. In einem weiteren Beweisschritt befreit man sich von der zusätzlichen Voraussetzung der Halbeinfachheit.

Eine weitere wichtige Anwendung ist

  • Eine halbeinfache, kommutative  -Banachalgebra   hat genau dann ein Einselement, wenn der Gelfand-Raum   kompakt ist.

Literatur

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  • F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2
  • Bourbaki: Élements de mathématique, XXXII, Theories spectrales, Paris: Hermann 1967
  • Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965
  • Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Mathematical Library 1973