Involution (Mathematik)

Bijektion, welche ihre eigene Inverse ist
(Weitergeleitet von Selbstinvers)

Involution bedeutet in der Mathematik eine selbstinverse Abbildung. Die Bezeichnung leitet sich von dem lateinischen Wort involvere „einwickeln“ ab.

Definition

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Eine Abbildung   mit übereinstimmender Definitions- und Zielmenge   heißt genau dann eine Involution, wenn für alle   gilt:  .

Diese Forderung lässt sich auch kompakter formulieren als   oder  . Dabei bezeichnet   die Identität auf  .

Eigenschaften

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  • Jede Involution ist eine Bijektion und es gilt  .
  • Wenn   und   Involutionen sind, dann ist ihre Komposition   genau dann selbst eine Involution, wenn   gilt.
  • Ist   eine Involution und   eine Bijektion, dann ist die Komposition   ebenfalls eine Involution. Mit dieser Eigenschaft können neue Involutionen erzeugt werden.
  • Ist   eine Bijektion der endlichen Menge   (also ein Element der symmetrischen Gruppe  ), dann ist   genau dann involutorisch, wenn es sich als Produkt aus lauter disjunkten Vertauschungen schreiben lässt. Man spricht in diesem Fall von einer selbstinversen Permutation.
  • Der Graph einer Involution in den Reellen Zahlen ist symmetrisch zur Winkelhalbierenden, die selbst der Graph der trivialen Involution ist. Daraus folgt, dass eine Verschiebung einer Involution entlang der Winkelhalbierenden ebenfalls eine Involution ergibt. Die Involution   ist also invariant unter der Abbildung   mit  , dies ist ein Spezialfall der Komposition einer Bijektion mit der Involution und ihrer Inversen.

Involutionen auf Vektorräumen

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Sei   ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper  .

  • Eine (lineare) Selbstabbildung   ist genau dann involutorisch, wenn das Minimalpolynom von   die Form  ,   oder   hat. Das bedeutet insbesondere:
    • Ist die Charakteristik des Grundkörpers   von 2 verschieden, so ist jeder involutorische Endomorphismus diagonalisierbar und alle seine Eigenwerte liegen in  .
    • Jede Involution   ist eine Darstellung der Gruppe Z/2Z in der allgemeinen linearen Gruppe GL(V).
    • Über Körpern   mit der Charakteristik 2 gibt es nicht diagonalisierbare involutorische Endomorphismen. So ist im zweidimensionalen Vektorraum   durch die Matrix   eine Involution gegeben, die nicht diagonalisierbar ist.

Beispiele

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Negatives und Kehrwert

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Die Abbildungen

 

und

 

sind Involutionen, denn es gilt

  für alle  

und

  für alle  .

Ist allgemein   eine abelsche Gruppe, so ist die Abbildung   (bei additiver Schreibweise) bzw.   (bei multiplikativer Schreibweise) ein Gruppenautomorphismus und eine Involution. Für eine nichtabelsche Gruppe ist diese Abbildung zwar auch eine Involution, aber kein Gruppenhomomorphismus (gleichwohl ein Gruppen-Antihomomorphismus).

Die Negation in der klassischen Logik ist ebenfalls eine Involution, denn es gilt:

 

Die komplexe Konjugation

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Beim Rechnen mit komplexen Zahlen ist das Bilden der konjugiert-komplexen Zahl eine Involution: Für eine komplexe Zahl   mit   ist die konjugiert-komplexe Zahl

 

Nochmalige Ausführung der Konjugation liefert  .

Die Quaternionen-Konjugation

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Zur Quaternion

 

mit   wird die konjugierte Quaternion durch

 

gebildet. Wegen der Umkehrung der Reihenfolge (wichtig bei nicht-kommutativen Ringen!) der Faktoren bei der Multiplikation

 

wird diese Konjugation als Antiautomorphismus bezeichnet.

Nochmalige Ausführung der Konjugation liefert

 

Sie ist also eine Involution.

Beide Eigenschaften zusammen ergeben einen involutiven Antiautomorphismus.

Das Transponieren von Matrizen

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In der Menge   der quadratischen Matrizen über einem Ring   ist das Transponieren

 ,  

eine Involution. Da   ein Ring ist, sogar ein involutiver Antiautomorphismus.

Aus dieser Eigenschaft folgt zusammen mit der Selbstinversität der komplexen Konjugation, dass das Adjungieren einer Matrix eine Involution ist.

Rechnen in F2

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In der additiven Gruppe des Restklassenkörpers   ist die Abbildung   eine Involution:

 

Geometrie

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In der Geometrie sind Punkt- und Geradenspiegelungen Involutionen.

Involutorische Chiffren

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Involutorische Chiffren weisen die Eigenart auf, dass der Algorithmus zum Verschlüsseln und zum Entschlüsseln identisch ist. Sie sind damit besonders bequem zu handhaben. Ein einfaches Beispiel aus der Kryptologie ist die Verschiebechiffre ROT13, bei der zur Verschlüsselung jeder Buchstabe durch den um 13 Stellen im Alphabet verschobenen Buchstaben ersetzt wird. Die zweimalige Anwendung dieser Methode ergibt eine Verschiebung um 26 Buchstaben und damit wieder den ursprünglichen Klartext. In der Geschichte gab es aber auch wesentlich komplexere involutorische Verschlüsselungsverfahren. Das wohl bekannteste Beispiel ist die deutsche Verschlüsselungsmaschine ENIGMA, die im Zweiten Weltkrieg im Nachrichtenverkehr des deutschen Militärs verwendet wurde.

Die logische Funktion Exklusives Oder ist ebenfalls selbstinvers und wird daher unter anderem in Verschlüsselungsalgorithmen wie One Time Pad eingesetzt.

Körperinvolution

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Unter einer Körperinvolution versteht man üblicherweise eine Involution, die zugleich ein Körperautomorphismus ist.

Von einer Körperinvolution   über einem Körper   fordert man also

 

sowie für alle  

 

und

 

Die bekannteste nichttriviale Körperinvolution ist die Konjugation über den komplexen Zahlen. Aus diesem Grund benutzt man für eine Körperinvolution oft die gleiche Schreibweise wie für die komplexe Konjugation: Anstelle von   wird häufig   geschrieben.

Ein anderes Beispiel ist der Automorphismus des Körpers

 

der durch

 

definiert ist. Man beachte, dass er im Unterschied zur komplexen Konjugation den Betrag nicht erhält:

  aber  

Literatur

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