Riemannsche Zahlenkugel

komplexen Ebene vereinigt mit einem Punkt der Unendlichkeit
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In der Mathematik ist die Riemannsche Zahlenkugel die Riemannsche Fläche, die sich aus der Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit zu der komplexen Ebene ergibt. Anschaulich gesehen wird die Ebene der komplexen Zahlen an einem Punkt zu einer Kugel zusammengeklebt. Sie ist der erste nichttriviale komplexe projektive Raum und geht zurück auf Bernhard Riemann.

Auf der riemannschen Zahlenkugel sind die komplexen Zahlen einschließlich darstellbar.
stereographische Rückprojektionen der komplexen Zahlen und auf die Punkte und der riemannschen Zahlenkugel

Topologie und komplexe Struktur

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Die Topologie auf   wird folgendermaßen erzeugt: Man bezeichnet mit   die stereographische Projektion durch den Nordpol und bildet zusätzlich   auf den Nordpol ab, d. h.

 

  ist invertierbar, da die stereographische Projektion invertierbar ist und man   hat. Die Funktion  , gegeben durch

 

definiert eine Metrik auf   und heißt chordale Metrik. Durch die von der Metrik erzeugten Topologie sind   und   stetig. Daher ist   homöomorph zu  , woher die Bezeichnung Zahlenkugel rührt.

Die komplexe Struktur der Riemannschen Zahlenkugel wird durch zwei Karten gegeben. Die erste ist auf   definiert und ist die Identität. Die zweite ist auf der Umgebung   des unendlich fernen Punkts definiert durch

 

Eigenschaften und Anwendungen

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Siehe auch

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Literatur

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  • Otto Forster: Riemannsche Flächen, Springer Berlin Heidelberg, 1977.
  • Klaus Lamotke: Riemannsche Flächen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009.
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Einzelnachweise

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  1. Jürgen Jost: Compact Riemann Surfaces. An Introduction to Contemporary Mathematics. 2. Auflage, Springer Berlin Heidelberg, 2002, S. 234 ff.
  2. Forster, S. 120