Überdeckungssatz von Vitali

Der Überdeckungssatz von Vitali ist ein Satz der Maßtheorie, eines Teilgebiets der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Längen-, Flächen- und Volumenbegriffen beschäftigt. Der Satz ist ein Hilfsmittel für den Beweis, dass für das Lebesgue-Stieltjes-Maß die Radon-Nikodým-Ableitung (bezüglich des Borel-Maßes) und die gewöhnliche Ableitung übereinstimmen. Der Satz ist nach Giuseppe Vitali benannt, der ihn 1908 bewies.

Rahmenbedingungen

Es bezeichnen $\lambda$ das Lebesgue-Maß und $\eta$ das äußere Lebesgue-Maß, also das äußere Maß, das von dem Lebesgueschen Prämaß erzeugt wird. Eine Mengenfamilie ${\mathcal {V}}$ von offenen, abgeschlossenen oder halboffenen Intervallen $I$ mit $\lambda (I)>0$ heißt eine Vitali-Überdeckung einer (nicht notwendigerweise messbaren) Menge $A\subset \mathbb {R}$, wenn für alle $x\in A$ und alle $\varepsilon >0$ ein $I\in {\mathcal {V}}$ existiert, so dass $x\in I$ und $\lambda (I)<\varepsilon$.

Aussage

Ist für eine beliebige Menge $A\subset \mathbb {R}$ mit $\eta (A)<\infty$ eine Vitali-Überdeckung ${\mathcal {V}}$ gegeben, so gibt es für jedes $\varepsilon >0$ eine endliche Anzahl von disjunkten Intervallen $I_{1},I_{2},\dots ,I_{n}$ in ${\mathcal {V}}$, so dass

$\eta \left(A\setminus \bigcup _{i=1}^{n}I_{n}\right)<\varepsilon$

gilt.

Siehe auch

• Überdeckungssatz von Besicovitch
• Überdeckungslemma von Wiener

Weblinks

• I.A. Vinogradova: Vitali theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.