Airy-Prozess

Der Airy-Prozess ist eine Familie von stationären stochastischen Prozessen, die als Grenzwerte in der Theorie der Zufallsmatrizen und der statistischen Physik auftauchen. Es wird vermutet, dass die Airy-Prozess die langzeit, groß-skalierte räumliche Fluktuation der Modelle in der (1+1) KPZ-Universalitätsklasse (das heißt eine 1 Zeit- und 1 Raum-Dimension) für viele Anfangsbedingungen beschreiben. Der Name der Prozesse leitet sich von der Airy-Funktion ab.

Der Airy₂-Prozess wurde 2002 von den Mathematikern Michael Prähofer und Herbert Spohn eingeführt. Sie bewiesen, dass die Höhenfunktion eines zufälligen Wachstumsmodelles – dem PNG-Droplet – unter einer bestimmten Skalierung und Anfangsbedingung gegen den Airy₂-Prozess konvergiert. Des Weiteren bewiesen sie, dass der Prozess stationär ist und fast sicher stetig Pfade hat.

Der Airy₂-Prozess wird über seine endlichdimensionale Verteilung definiert, welche eine Fredholm-Determinante des erweiterten Airy-Kerns ist. Betrachtet man nur einen Zeitpunkt (die Einpunkt-Verteilung) so folgt der Airy₂-Prozess der Tracy-Widom-Verteilung des GUE.

Der Airy$_{1}$-Prozess wurde von Tomohiro Sasomoto eingeführt und seine Einpunkt-Verteilung ist die Tracy-Widom-Verteilung des GOE. Es existiert auch ein Airy_stat-Prozess.

Airy₂-Prozess

Seien $t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}$ in $\mathbb {R}$.

Der Airy₂-Prozess $A_{2}(t)$ ist der stochastische Prozess, so dass

$P(A_{2}(t_{1})<\xi _{1},\dots ,A_{2}(t_{n})<\xi _{n})=\det(1-f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2})_{L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )}$

wobei

$f(t_{j},\xi ):=1_{\{(\xi _{j},\infty )\}}(\xi )$

und der erweiterte Airy-Kern als Matrixkern durch

$K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y):={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{falls}}\;t_{i}\geq t_{j}\\{\displaystyle -\int _{-\infty }^{0}e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{falls}}\;t_{i}<t_{j}\end{cases}}$

definiert ist.

Erläuterungen

• Im Fall $t_{i}=t_{j}$ wird der erweiterte Airy-Kern zum Airy-Kern und es gilt

$P(A_{2}(t)\leq \xi )=F_{2}(\xi ),$

wobei $F_{2}(\xi )$ die Tracy-Widom-Verteilung des gaußschen unitären Ensembles ist. Unter einer bestimmten Skalierung konvergiert somit der größte Eigenwert des GUEs zu dem Airy-Prozess in Verteilung.

• $f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2}$ ist ein Spurklasseoperator auf $L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )$ mit Zählmaß auf $\{t_{1},\dots ,t_{n}\}$ und Lebesgue-Maß auf $\mathbb {R}$. Der Integralkern ist $f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y)f^{1/2}$.