Allgemeine lineare Lie-Algebra

Begriff aus der linearen Algebra

Die allgemeine lineare Lie-Algebra wird in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren untersucht, sie ist gewissermaßen der Prototyp einer Lie-Algebra. Zu jedem Vektorraum gehört die allgemeine lineare Lie-Algebra .

Definitionen

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Es sei   ein Vektorraum über einem Körper   und   die K-Algebra der K-linearen Abbildungen  , der sogenannten Endomorphismen auf  . Für zwei Endomorphismen   definiert man den Kommutator durch

 .

Dann ist   eine bilineare Abbildung auf   und es gilt

  für alle Endomorphismen  
  für alle Endomorphismen  

Die letzte Gleichung heißt Jacobi-Identität; es ist lehrreich, sie kurz zu bestätigen.

 
 

Das erste Gleichheitszeichen verwendet nur die Definition des Kommutators und das zweite das Distributivgesetz. Zum letzten Gleichheitszeichen stelle man fest, dass unter den 12 Produkten jede der 6 möglichen Permutationen der   genau zweimal vorkommt, jeweils mit unterschiedlichem Vorzeichen und unterschiedlicher Klammerung. Es ist also ganz wesentlich das Assoziativgesetz in der Algebra  , das zur Gültigkeit der Jacobi-Identität führt.

Man nennt einen Vektorraum   mit einer bilinearen Abbildung  , die die beiden oben genannten Eigenschaften hat, eine Lie-Algebra. Wir haben daher nachgewiesen, dass   zusammen mit dem Kommutator   eine solche Lie-Algebra ist. Um sie von der assoziativen Algebra   zu unterscheiden, nennt man sie  , die genaue Begründung dieser Benennung erfolgt unten.

Besonders wichtig ist der Fall  , man schreibt dann  . Stellt man die Endomorphismen als Matrizen bzgl. der Standardbasis des   dar, so erhält man Lie-Algebren von Matrizen.

Allgemein kann man jede assoziative Algebra mit der hier beschriebenen Konstruktion mittels Kommutator-Bildung zu einer Lie-Algebra machen.[1]

Die Lie-Algebra der allgemeinen linearen Gruppe

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Die Benennung allgemeine lineare Lie-Algebra   stammt aus der Theorie der Lie-Gruppen. Bekanntlich bezeichnet   die Gruppe der invertierbaren Endomorphismen auf  , die sogenannte allgemeine lineare Gruppe (englisch: General Linear Group), und diese ist eine Lie-Gruppe. Jeder Lie-Gruppe wird auf eine bestimmte Weise eine Lie-Algebra zugeordnet, die sogenannte Lie-Algebra der Lie-Gruppe, und es ist allgemein üblich, für diese den Namen der Gruppe in kleinen Frakturbuchstaben zu verwenden.

Bei dieser Zuordnung wird die Gruppe auf den Tangentialraum am neutralen Element mit einem gewissen Lie-Produkt abgebildet. Ist  , so sei

 

mit dem Matrixexponential  . Dann ist   das neutrale Element und daher   ein Element des Tangentialraums am neutralen Element, also ein Element der zugehörigen Lie-Algebra. Indem man   mit   identifiziert, erhält man die Menge   als Tangentialraum; zusammen mit dem Kommutator als Lie-Produkt ergibt das die gesuchte Lie-Algebra.[2] Daher ist die allgemeine lineare Lie-Algebra   die Lie-Algebra der allgemeinen linearen Gruppe  , was ihren Namen erklärt.

Lineare Lie-Algebren

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Die Unter-Lie-Algebren der allgemeinen linearen Lie-Algebra heißen lineare Lie-Algebren, viele wichtige Lie-Algebren können leicht als Unter-Lie-Algebra der   beschrieben werden.

 ,

die Lie-Algebra der oberen Dreiecksmatrizen.

 ,

die nilpotente Lie-Algebra der strikten, oberen Dreiecksmatrizen.

 ,

die Lie-Algebra zur speziellen linearen Gruppe.

 ,

die symplektische Lie-Algebra, wobei   mit Einheitsmatrix   sei und   die Transponierte von   bezeichne.

Im unten angegebenen Lehrbuch[3] finden sich weitere Beispiele. Mittels der universellen einhüllenden Algebra kann man zeigen, dass jede Lie-Algebra isomorph zu einer linearen Algebra ist.

Eigenschaften

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Das Zentrum der allgemeinen linearen Lie-Algebra   ist  . Das ist ein Spezialfall des Lemmas von Schur, kann aber auch leicht direkt durch Inspektion der Kommutatoren mit den Standardmatrizen   nachgewiesen werden.

Auflösbarkeit

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Die allgemeine lineare Lie-Algebra   ist nicht auflösbar. Es gilt

  und
 ,

so dass die absteigende Kette der abgeleiteten Algebren bei   hängen bleibt.

Die allgemeine lineare Lie-Algebra   ist nicht halbeinfach, sie zerfällt in eine direkte Summe  , wobei der erste Summand einfach und der zweite auflösbar ist. Das Radikal der   ist  .[4]

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. N. Jacobson: Lie Algebras. John Wiley & Sons, 1962, S. 6.
  2. V. V. Gorbatsevich, A. L. Onishchik, E. B. Vinberg: Foundations of Lie Theory and Lie Transformation Groups. Springer-Verlag, 1997, ISBN 3-540-61222-X, S. 31.
  3. J. E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer-Verlag, 1972, ISBN 0-387-90052-7, S. 2 und 3
  4. V. V. Gorbatsevich, A. L. Onishchik, E. B. Vinberg: Foundations of Lie Theory and Lie Transformation Groups. Springer-Verlag, 1997, ISBN 3-540-61222-X, S. 58, Beispiel 2