Eine alternierende Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die schiefsymmetrisch ist und deren Hauptdiagonaleinträge alle gleich null sind. In einem Körper mit Charakteristik ungleich zwei folgt die zweite Bedingung aus der ersten, weshalb alternierende Matrizen häufig mit schiefsymmetrischen Matrizen gleichgesetzt werden. Alternierende Matrizen werden in der linearen Algebra zur Charakterisierung alternierender Bilinearformen verwendet. Die Determinante einer alternierenden Matrix gerader Größe kann mit Hilfe ihrer pfaffschen Determinante angegeben werden.

Definition

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Eine quadratische Matrix   mit Einträgen aus einem beliebigen Körper   heißt alternierend, wenn

 

für   und

 

für   gilt.[1] Eine alternierende Matrix ist demnach eine schiefsymmetrische Matrix, deren Hauptdiagonaleinträge alle gleich null sind. Ist die Charakteristik des Körpers ungleich zwei, dann folgt die zweite Bedingung aus der ersten, in einem Körper mit Charakteristik zwei gilt dies jedoch nicht.[2]

Beispiele

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In den folgenden Beispielen sei   der endliche Körper der Restklassen modulo  , wobei   die Restklasse der geraden Zahlen, und   die Restklasse der ungeraden Zahlen repräsentiere. In diesem Körper gilt  , er hat also die Charakteristik  . Die beiden alternierenden Matrizen der Größe   mit Einträgen aus diesem Körper sind

 

und die insgesamt acht alternierenden Matrizen der Größe   sind

 .

In diesem Körper sind die schiefsymmetrischen Matrizen gerade die symmetrischen Matrizen, die auch Einsen auf der Diagonale aufweisen dürfen.

Eigenschaften

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Bilinearformen

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Die Bilinearform   zu einer alternierenden Matrix   ist alternierend, das heißt,

 

für alle  . Umgekehrt ist in einem endlichdimensionalen Vektorraum   die Darstellungsmatrix

 

einer alternierenden Bilinearform   bezüglich einer beliebigen Basis   stets eine alternierende Matrix.[3]

Der Rang   einer alternierenden Matrix   ist stets gerade. Weiter existiert eine reguläre Matrix  , sodass nach Kongruenztransformation

 

gilt, wobei   die Einheitsmatrix der Größe   ist.[3] Eine alternative Normaldarstellung ist

 

mit genau   Blöcken der Form  .[3]

Determinante

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Ist   gerade, dann kann die Determinante einer alternierenden Matrix   mit Hilfe der pfaffschen Determinante   durch

 

angegeben werden.[4] Ist   ungerade, dann gilt stets

 .

Für weitere Eigenschaften alternierender Matrizen siehe Schiefsymmetrische Matrix#Eigenschaften.

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Erich Lamprecht: Lineare Algebra 2. Springer, 2013, S. 77.
  2. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: Unter Einschluss der linearen Algebra. 2. Band. Vieweg, 1988, S. 365.
  3. a b c Leslie Hogben (Hrsg.): Handbook of Linear Algebra. CRC Press, 2006, S. 12-5.
  4. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: Unter Einschluss der linearen Algebra. Band 2. Vieweg, 1988, S. 391.