Anosov-Diffeomorphismus

In der Mathematik sind Anosov-Diffeomorphismen, benannt nach Dmitri Wiktorowitsch Anossow, ein gut verstandenes Beispiel chaotischer Dynamik. Sie zeigen einerseits alle typischen Effekte chaotischen Verhaltens, sind andererseits aber einer mathematischen Behandlung gut zugänglich.

Definition

Ein Diffeomorphismus $f\colon M\to M$ einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ heißt Anosov-Diffeomorphismus, wenn es eine stetige, $f$-invariante Zerlegung

$TM=E^{s}\oplus E^{u}$

des Tangentialbündels $TM$ gibt, so dass $E^{s}$ bzw. $E^{u}$ durch $Df$ gleichmäßig kontrahiert bzw. expandiert werden, d. h., es gibt $0<\lambda <1,C>0$ mit

$\|Df^{m}(v^{s})\|\leq C\lambda ^{m}\|v^{s}\|\quad \forall v^{s}\in E^{s},m\in \mathbb {N}$

$\|Df^{-m}(v^{u})\|\geq C\lambda ^{m}\|v^{u}\|\quad \forall v^{u}\in E^{u},m\in \mathbb {N}$.

Die Unterbündel $E^{s}$ und $E^{u}$ heißen stabiles und instabiles Bündel.

Beispiel

→ Hauptartikel: Arnolds Katzenabbildung

Das Bild zeigt, wie die Abbildung mit der Matrix $\left({\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}}\right)$ das Einheitsquadrat verformt und wie die Stücke modulo 1 neu arrangiert werden. Die gestrichelten Linien geben die Richtungen maximaler Streckung und Stauchung an, sie entsprechen den Eigenvektoren der Matrix.

Die durch

$F(x,y)=(2x+y,x+y)\mod 1$

oder in Matrixnotation

$F\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mod 1={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mod 1$

definierte Selbstabbildung des Torus $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ ist ein Anosov-Diffeomorphismus: die Matrix $\left({\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}}\right)$ hat zwei Eigenwerte $\lambda _{1}>1$ und $\lambda _{2}<1$, die Eigenvektoren liefern eine Zerlegung

$T_{x}T^{2}=E_{x}^{u}\oplus E_{x}^{s}$

in jedem Punkt $x\in T^{2}$, wobei $E_{x}^{u}$ und $E_{x}^{s}$ nach der kanonischen Identifizierung

$T_{x}T^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}$

den Eigenvektoren zu $\lambda _{1}$ und $\lambda _{2}$ entsprechen. Die Projektionen der zu den Eigenvektoren parallelen Geraden auf den Torus sind die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Abbildung.

Existenz

Eine Vermutung von Smale besagt, dass es Anosov-Diffeomorphismen nur auf Mannigfaltigkeiten gibt, die zu einer Infranilmannigfaltigkeit homöomorph sind. Auf Infranilmannigfaltigkeiten $G/\Gamma$ sind Anosov-Diffeomorphismen stets zu affinen (d. h. von einem Homomorphismus $G\to G$ induzierten) Abbildungen konjugiert. Es gibt aber Anosov-Diffeomorphismen auf Mannigfaltigkeiten, die zu einer Infranilmannigfaltigkeit nur homöomorph (und nicht diffeomorph) sind.

Literatur

Stephen Smale: Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc. 73 1967 747–817 pdf