Hydromechanik

Graphische Darstellung des Liénard-Wiechert-Potentials

Liénard-Wiechert-Potential eines sich mit 91 Prozent der Lichtgeschwindigkeit in x-Richtung bewegenden Elektrons.

Die graphische (2D)-Darstellung des Liénard-Wiechert-Potentials (aus ) setzt eine gegebene Bahnlinie ${\vec {R}}(t)$ und die Geschwindigkeit des Teilchens ${\dot {\vec {R}}}(t)$ voraus. Im ersten Schritt muss ein Zeichenraster erstellt werden, dessen Knoten ${\vec {r}}=(x_{ij},y_{ij})$ die Punkte bilden, an denen das Potential berechnet wird. Dafür ist für jeden dieser Knoten die retardierte Zeit $t_{\mathrm {ret} }=t-{\frac {1}{c}}|{\vec {r}}-{\vec {R}}(t_{\mathrm {ret} })|$ und der Ort ${\vec {R}}(t_{\mathrm {ret} })$, an dem sich das Teilchen befand, iterativ zu berechnen. Schließlich kann die Geschwindigkeit zur retardierten Zeit bestimmt werden und alles in die Formel für das Potential eingesetzt werden.

Das folgende MATLAB-Programm zeichnet das Liénard-Wichert-Potential eines sich in x-Richtung bewegenden Elektrons:

function LienardWiechertFastElectron
eps0=8.854e-12; qe=-1.6e-19; c=297e6;
v0=0.91*c; % Velocity of the electron

% Meshgrid
T=1e-4; 
dx=c*T/50;  % Distance of the points x-direction
dy=c*T/50;
x=-c*T:dx:c*T;
y=-c*T:dy:c*T;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %

    for i=1:length(x)
        for j=1:length(y)
            r=[X(i,j) Y(i,j)];
            phi(i,j)=LWP(r,qe,-1/4/pi/eps0,c,T/2);
        end
    end
    
    % Drawing the figure
    colormap jet
    phimax=-1e-12;
    surfc(X/1000,Y/1000,max(phi,phimax));
    grid on
    xlabel('x [km]','FontWeight','bold','FontSize',13)
    ylabel('y [km]','FontWeight','bold','FontSize',13)
    zlabel('\phi [J/C]','FontWeight','bold','FontSize',13)
    view([-11.7 15.5789781021898]);


    function phi=LWP(r,ms,gamma,c,t)
        rsr=location(t); 
        dt=sqrt((rsr-r)*(rsr-r)')/c;
        for ii=1:1000 % Iteration for retarded time
            dtn=dt;
            rsr=location(t-dt);
            dr=r-rsr;
            absdr=sqrt(dr*dr');
            dt=absdr/c;
            if abs(dt-dtn)<1e-8
                break
            end
        end
        vsr=velociy(t-dt);
        drvs=dr*vsr';
        phi=-gamma*ms/(absdr-drvs/absdr/c);
    end

    function rs=location(t)
        rs=[v0 0]*t;
    end
    function vs=velociy(t)
        vs=[v0 0];
    end
end