Bernoullische Annahmen

Die Bernoullischen Annahmen sind Vereinfachungen der physikalischen Balkentheorie, die sich als Teilgebiet der Technischen Mechanik mit dem Verhalten belasteter Balken beschäftigt. Sie werden auch als Bernoulli-Hypothese oder Bernoullische Hypothese oder Normalenhypothese von Bernoulli bezeichnet und sind benannt nach Jakob I Bernoulli, von dem sie aufgestellt und dann in die Theorie übertragen wurden.

Inhalt der Annahmen

Vorausgesetzt wird, dass der Balken schlank ist. Seine Länge ist wesentlich größer als seine Querschnittsabmessungen.

Bernoulli geht von einem schubstarren Balken $G\cdot {\tilde {A}}=\infty$ aus. Dabei steht $G$ für das Schubmodul, ${\tilde {A}}$ für die Querschnittsfläche. Es tritt also ausschließlich Biegung auf und die Schubverformung hat keinen weiteren Einfluss.

1. Bernoulli’sche Hypothese: Senkrechtbleiben der Querschnitte

Balkenquerschnitte, die vor der Verbiegung senkrecht auf der Balkenachse standen, stehen auch nach der Verbiegung senkrecht auf der deformierten Balkenachse. (Aus dem Winkelerhalt folgt, dass Schubstarrheit $G\cdot {\tilde {A}}=\infty$ gefordert wird.)

2. Bernoulli’sche Hypothese: Ebenbleiben der Querschnitte

Die Querschnitte bleiben auch nach der Verbiegung in sich eben und verwölben sich nicht. (Unter Berücksichtigung von Gleichgewicht folgt die Forderung nach Schubstarrheit $G\cdot {\tilde {A}}=\infty$.)

Anwendung

→ Hauptartikel: Balkentheorie

In der schubstarren Balkentheorie 1. Ordnung gibt es unter den Bernoullischen Annahmen folgende Differentialgleichungen für die Queranteile:

• ${\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}=-q(x)$

• ${\frac {\mathrm {d} M(x)}{\mathrm {d} x}}=V(x)+m(x)$

• ${\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}=-\left[{\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}+\kappa ^{e}(x)\right]$

• ${\frac {\mathrm {d} w(x)}{\mathrm {d} x}}=\varphi (x)$

mit

• der Laufkoordinate x entlang der Balkenachse
• dem Elastizitätsmodul E
• dem Flächenträgheitsmoment I(x)
• V(x) der Querkraft
• q(x) der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit)
• M(x) dem Biegemoment

• m(x) dem Streckenmoment (Biegebelastung pro Längeneinheit)
• φ(x) der Verdrehung
• κ^e(x) der eingeprägten Krümmung
• w(x) der Durchbiegung.