Candido-Identität

Die Candido-Identität, benannt nach dem italienischen Mathematiker Giacomo Candido (1871–1941), ist eine Identität für reelle Zahlen. Sie besagt, dass für zwei beliebige reelle Zahlen $x$ und $y$ die folgende Gleichung gilt:

Geometrische Deutung der Candido-Identität für aufeinander Fibonacci-Zahlen. Die weiße Fläche entspricht der grauen Fläche und beide jeweils genau der halben Fläche des äußeren Quadrats.

$\left[x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}\right]^{2}=2[x^{4}+y^{4}+(x+y)^{4}]$

Die Identität ist nicht auf reelle Zahlen beschränkt, sondern gilt auch in jedem kommunativen Ring.

Candido stellte die Identität auf, um sie zum Beweis der folgenden Identität für Fibonacci-Zahlen zu verwenden:

$(f_{n}^{2}+f_{n+1}^{2}+f_{n+2}^{2})^{2}=2(f_{n}^{4}+f_{n+1}^{4}+f_{n+2}^{4})$

Beweis

Einen algebraischen Beweis der Identität erhält man durch vollständiges Ausmultiplizieren der beiden Gleichungsseiten. Die Gleichung lässt sich aber auch geometrisch deuten und besagt dann, dass die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge $x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}$ der doppelten Summe der Flächen der Quadrate mit den Seitenlängen $x^{2}$, $y^{2}$ und $(x+y)^{2}$ entspricht. Diese geometrische Deutung ermöglicht dann den folgenden auf Roger B. Nelson zurückgehenden Beweis:

Die (weißen) Quadrate mit den Seitenlängen $x^{2}$ und $y^{2}$ treten direkt doppelt auf und die farbigen Flächen entsprechen der Fläche des (weißen) Quadrates mit der Seitenlänge $(x+y)^{2}$,. somit ist die doppelte Summe der Flächen der drei Quadrate gleich der Fläche des äußeren Quadrats.

Literatur

• Thomas Koshy: Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley, 2001, ISBN 9781118031315, S. 92, 299–300
• S. Melham: YE OLDE FIBONACCI CURIOSITY SHOPPE REVISITED. In: Fibonacci Quarterly, 2004, 2, S. 155–160
• Zvonko Cerin: ON CANDIDO LIKE IDENTITIES. In: Fibonacci Quarterly, Band 55, Nr. 5, 2017, S. 46–51
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: On Candido's Identity. In: Mathematics Magazine, Band 80, Nr. 3 (Juni, 2007), S. 226–228 (JSTOr)
• Roger B. Nelsen: Proof without Words: Candido's Identity. In: Mathematics Magazine, Band 78, Nr. 2 (April, 2005), S. 131 (JSTOR)

Weblinks

Commons: Candido's identity – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Candido's identity auf cut-the-knot.org