Dirac-Spinor

Ein Dirac-Spinor ist ein Begriff aus der Mathematik, der nach Paul Dirac benannt ist. Dirac-Spinoren sind Elemente der fundamentalen Darstellung $\Delta$ der komplexifizierten Clifford-Algebra $\mathrm {Cliff} (p,q)$ und somit eine bestimmte Gattung von Spinoren (Vektoren). Sie sind ein nützliches Konzept der Quantenphysik.

Häufig als Dirac-Spinoren bezeichnet werden auch Lösungen der Dirac-Gleichung. Diese sind Dirac-Spinorfelder, d. h. jedem Punkt der Raumzeit wird ein vierdimensionaler Dirac-Spinor zugeordnet.

Mathematische Konstruktion

Sei $n=p+q$.

Die komplexifizierte Clifford-Algebra $\mathrm {Cliff} (p,q)$ ist

• isomorph zur Matrizenalgebra $Mat_{2^{k}}(\mathbb {C} )$, falls $n=2k$ gerade ist, oder
• isomorph zur Matrizenalgebra $Mat_{2^{k-1}}(\mathbb {C} )\oplus Mat_{2^{k-1}}(\mathbb {C} )$, falls $n=2k-1$ ungerade ist.

In jedem Fall hat sie eine kanonische $2^{k}$-dimensionale Darstellung, die also für alle Signaturen $(p,q)$ mit $n=p+q$ existiert und auch eine Darstellung der Spin-Gruppe $\mathrm {Spin} (p,q)$ ist. Diese Darstellung heißt Spinor-Darstellung, die Vektoren dieses Darstellungsraumes werden als Dirac-Spinoren bezeichnet.

In geraden Dimensionen $n=2k$ ist die Spinor-Darstellung, als Darstellung von $\mathrm {Spin} (p,q)$ betrachtet, reduzibel. Sie kann zerlegt in zwei Weyl-Spinoren der Dimension $2^{k-1}$ werden, es gibt also zwei Darstellungsräume, so dass $\Delta _{2k}=\Delta _{2k}^{+}\oplus \Delta _{2k}^{-}$. Die Darstellungen mit den Darstellungsräumen $\Delta _{2k}^{+},\Delta _{2k}^{-}$ und auch für ungerade Dimensionen $n=2k+1$ mit dem Raum $\Delta _{2k+1}$ sind irreduzibel.

Anwendung in der Elementarteilchenphysik

Dirac-Spinoren in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen, also zu $\mathrm {Cliff} (3,1)$, dienen in der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen. In diesem Fall sind die Dirac-Spinoren vierdimensional, gehören zu einer Darstellung der Lorentzgruppe und sind Lösungen der Dirac-Gleichung. In String- und Branentheorien werden auch Dirac-Spinoren in höheren Dimensionen betrachtet.

Dagegen wurden Majorana-Fermionen bisher nicht gefunden, aber von manchen vereinheitlichten Feldtheorien vorhergesagt. Sie entsprechen reellen Darstellungen der Cliffordalgebren.

Literatur

• Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.
• Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory. Addison-Wesley, 1995, ISBN 978-0-201-50397-5 (englisch). 
• Pierre Ramond: Field Theory. A Modern Primer. Addison-Wesley, 1990, ISBN 978-0-201-54611-8 (englisch).