Diskussion:0,999…

Elementare "Beweise"

Diese sogenannten elementaren "Beweise" sind keine Beweise. Bevor man etwas beweisen kann, muss man erst mal klare Begriffe haben. Was soll ein nichtabbrechender Dezimalbruch eigentlich vorstellen? Endliche Dezimalbrüche sind bekanntlich gemäß 74,193 = 74+1/10+9/100+3/1000 erklärt. Wenn ich das auf einen nichtabbrechenden Dezimalbruch übertrage, dann soll ich da offensichtlich jetzt eine Summe aus unendlich vielen Summanden bilden. Das aber ist effektiv unmöglich. Bevor dieser Missstand nicht behoben wird, man also eine Definition gibt, wie der Wert eines nichtabbrechenden Dezimalbruchs ermittelt werden soll, ist 0,999… nur eine Zeichenkette ohne weitere Bedeutung. Insbesondere gibt es dann auch nichts zu beweisen. In diesem Sinne sind die elementaren "Beweise" für 0,999…=1 aus dem Artikel reiner Humbug, ein inhalts- und verstandloses Hantieren mit einer undefinierten Zeichenkette, auf die man unreflektiert Rechenregeln überträgt, die man für endliche Dezimalbrüche irgendwann mal "gelernt" hat, und von denen man glaubt, sie werden schon weitergelten.

--141.2.38.35 19:26, 27. Mär. 2015 (CET)

Natürlich kann man eine Summe aus unendlich vielen Summanden bilden: Reihe (Mathematik). --Quartl (Diskussion) 19:35, 27. Mär. 2015 (CET)

Also erst mal kann man keine Summe aus unendlich vielen Summanden bilden, da man ja mit dem Summieren nie fertig wird und also auch nie zum einem Endergebnis kommt. Von Reihensummen als Grenzwert der Partialsummen etwa steht bei den elementaren "Beweisen" nichts. Es wird sogar ganz im Gegenteil suggeriert, man könne das auch ohne Analysis mit elementarer Schulmathematik "herleiten" und verkauft dann ein sinnloses und wirres Spiel mit Zeichen als elementare "Beweise". --141.2.38.35 (22:41, 27. Mär. 2015 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Mit der Argumentation kann man auch 0,999… nicht bilden, weil man ja mit dem Aufschreiben nie fertig wird. Dass diese Beweise nicht ganz rigoros sind, wird ja gesagt. Sie finden sich aber durchaus auch in der Literatur. --Quartl (Diskussion) 12:50, 28. Mär. 2015 (CET)

Mit der Beschränkung auf das potentiell Unendliche (vs. das aktual Unendliche) kann ich 0,999… schon (und zwar z.B. genau so) aufschreiben. Ich kompensiere das "nie fertig werden" durch die Ellipse, weil ich ja das Bildungsgesetz (lauter 9er) kenne. Damit kann ich es als potentiell unendliche Zeichenkette akzeptieren. Eine Bedeutung etwa als Zahl kommt dieser Zeichenkette damit noch lange nicht zu. Vgl. Potentielle und aktuale Unendlichkeit ---80.226.24.10 04:07, 5. Apr. 2015 (CEST)

Auflösen nach einer Unbekannten

Das ist ja wohl ein Witz, oder?

Ich fange an mit x=Marsmensch und erhalte am Ende x=1. Aha.

Alternativ fange ich mit x=1 an und erhalte am Ende wieder x=1. Eine Tautologie?

Vom "Auflösen nach einer Unbekannten" kann man da nur ganz schwer reden. Ich würde es eine kreative Umformung nennen!

--80.226.24.6 05:42, 28. Mär. 2015 (CET)

Ich bin der Autor des Artikels. Genauer gesagt basiert er zu einem großen Teil auf der englischen Version (siehe Versionsgeschichte), aber ich habe die Inhalte nicht blind übernommen, sondern mir beim Schreiben durchaus etwas gedacht. Die elementaren Beweise gehen von Prämissen aus, die akzeptiert werden können oder eben auch hinterfragt. Axiomatisch werden sie üblicherweise nicht hingenommen, das wird aber im Abschnitt Diskussion klargestellt. Die Beweise dienen einfach dazu, aufzuzeigen, dass die Vorstellung von einer Verschiedenheit zur Folge hat, gewisse Rechenwege, die sonst vielleicht als allgemeingültig hingenommen werden, abzulehnen (so in der Art: „OK, dass 0,999… nicht kleiner als 1 ist, widerspricht einer Regel, die von der Neunerperiode abgesehen stets akzeptable Ergebnisse liefert, aber dafür müsstest du diese Rechnung ablehnen, wenn du davon ausgehst, dass die Zahlen nicht gleich sind:“) und gehen nicht in die Tiefe („Das ist die eigentliche Philosophie hinter dem Ganzen:“); dafür gibt es die analytischen Beweise. Quartl hat den Abschnitt mit der schriftlichen Division entfernt, mit der Begründung Abschnitt ist Unsinn: bei der schriftlichen Division 1/1 wird nicht mit 0 begonnen: Ja, üblicherweise ist das so, daher der Satz dabei jedoch mit 0 begonnen, der auf eine Abweichung von der Norm hinweist. Die Variante liefert aber stets richtige Ergebnisse (siehe das Beispiel mit 1/3) und macht es somit „unschmackhaft“, das Ergebnis 1/1 = 0,999… als Ausnahme, wo der Rechenweg nicht funktioniert, abzulehnen. So wie die restlichen elementaren Beweise ist das natürlich kein Beweis, der von dem ausgeht, was in der Mathematik üblicherweise axiomatisch hingenommen wird; ich weiß das und verweise erneut auf den Abschnitt Diskussion. Allerdings dürften sich für den Beweis nur schwer Literaturbelege finden (ich habe mir das, glaube ich, selbst ausgedacht und nur einige Internetbelege gefunden). -- IvanP (Diskussion) 12:33, 27. Mai 2015 (CEST)

Der Abschnitt zur schriftlichen Division findet sich nicht in der englischen Wikipedia, aber wir müssen hier ohnehin auf Literaturbelege bestehen. Außerdem gilt auch hier der Grundsatz ex falso quodlibet: wenn man falsch anfängt kann irgendwas rauskommen. Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:59, 27. Mai 2015 (CEST)

Wie gesagt, ich habe nichts gegen die Löschung einzuwenden, weil ich keine guten Belege vorzuweisen habe. Falsch war der Abschnitt dennoch nicht, die Variante liefert keine falschen Ergebnisse. -- IvanP (Diskussion) 12:28, 27. Mai 2015 (CEST)

Zahlensysteme, in denen die Gleichung nicht gilt

Zahlensysteme dienen zur Zahlendarstellung, und so etwas ist hier ja wohl nicht gemeint, sondern irgendwelche mathematischen Strukturen. --Röhrender Elch (Diskussion) 21:28, 21. Jun. 2015 (CEST)

Fußnoten, Referenzen, Literatur, Weblinks ...

Könnte es sein, dass der Artikel vielleicht eine Idee überreferenziert ist, oder täuscht das? ;-) Im Ernst, hier sollte wirklich mal jemand mit ein bisschen Überblick deutlich „ausmisten“, da findet sich ja kein Leser mehr zurecht. -- HilberTraum (d, m) 17:53, 12. Feb. 2016 (CET)

Grenzwertig

Obwohl oder indem er's mit Grenzwerten zu tun hat, ist der Artikel selbst grenzwertig. Auf die Begriffe Metrik oder Topologie, ohne die es Grenzwerte bei Zahlen – bei Artikeln zwar schon – nicht gibt, wird nicht Bezug genommen. Es erstaunt, dass gerade so ein Artikel, der im Original genau dasselbe Problem hat, mühselig aus dem Englischen übersetzt wird.

Ganz krass wird das beim Abschnitt #p-adische Zahlen, wo so getan wird, als ob es 10-adische Zahlen gäbe. Ich habe zwar keinen Zugang zur zitierten Quelle: Paul Fjelstad: The repeating integer paradox. In: The College Mathematics Journal. Band 26, Nr. 1, Januar 1995, S. 11–15, doi:10.2307/2687285.  Meines Wissen aber muss (um eine Metrik zu definieren) die Basis solcher »links konvergierender« Zahlen notwendigerweise Erzeugende eines maximalen Ideals sein, am besten also eine Primzahl – und das ist 10 meines Wissens nicht.

Wenn sich innerhalb von 14 Tagen kein Widerspruch meldet, werde ich den Abschnitt löschen. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:53, 6. Mär. 2016 (CET)

Ich hab mir den Artikel von Fjelstad mal angeschaut: Er verwendet am Schluss den 10-adischen Betrag und macht damit ungefähr das, was hier steht: en:p-adic number#Introduction. Grüße -- HilberTraum (d, m) 11:12, 7. Mär. 2016 (CET)

Ja, vielen Dank. Dann geht der Abschnitt also im Prinzip in Ordnung. Dennoch habe ich anlässlich dieser Geschichte einen Artikel Proendliche Zahl verfasst, in dem auch auf diese 10-adischen Zahlen eingegangen wird. Und auch ein Beweis für die deren Ultrametrik gebracht wird. Darauf könnte man dann im hiesigen Artikel verweisen. --Nomen4Omen (Diskussion) 13:46, 9. Mär. 2016 (CET)

Prima, danke für den neuen Artikel! -- HilberTraum (d, m) 20:21, 9. Mär. 2016 (CET)

Spielregeln

@Letkhfan: Lieber Letkhfan, Spielregel ist sehr wohl ein enzyklopädischer Begriff, wenn auch nicht unbedingt in der Mathematik. Aber der ganze Artikel ist eher grenzwertig als mathematischer enzyklopädischer Artikel, denn in der Mathematik ist es zwingend, die Spielregeln vorher festzulegen und erst später mit Formeln daher zu kommen. Andersherum sind die daher gebrachten Formeln oder Symbolfolgen nämlich undefiniert oder Käse. Und hier wird gesucht, was die Symbolfolge wohl wo und wie bedeuten könnte.

Ich denke zu dieser Grenzwertigkeit des Artikels darf man sich schon in der Einleitung bekennen. Trotzdem kann der Artikel meinethalben in de:WP bleiben. Der Sachverhalt scheint ja auch in anderen Sprachen außerordentlich beliebt zu sein.

Ich sehe das ähnlich, wie vllt Eric W. Weisstein die „mathematical jokes“ bspw. in [1]. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:02, 13. Mär. 2016 (CET)

Intervallschachtelungen

Im Artikel heißt es da:

"Die reellen Zahlen lassen sich ebenso als Äquivalenzklassen rationaler Intervallschachtelungen definieren. Eine Folge von Intervallen ([an, bn]) heißt Intervallschachtelung, wenn a monoton wächst, b monoton fällt, an ≤ {\displaystyle \leq } \leq bn für alle n gilt, und die Folge (bn − an) eine Nullfolge ist."

Wenn alle "an" kleiner als alle "bn" sind, wie kann dann die Folge "bn-an" eine Nullfolge sein, sprich das Ergebnis dieser Subtraktion gleich 0 sein?--Wikilaser (Diskussion) 16:54, 26. Jun. 2017 (CEST)

„Nullfolge“ bedeutet nicht, dass es eine Folge von Nullen ist (wie man vielleicht sprachlich meinen könnte), sondern dass die Folge gegen 0 konvergiert. -- HilberTraum (d, m) 19:38, 26. Jun. 2017 (CEST)

Es geht nicht um eine Folge von Nullen (so habe ich den Begriff auch nicht verstanden). Meine Frage war, wenn in einer Folge (bn-an) alle a monoton ansteigen, während zugleich alle b monoton fallen, ohne daß jemals ein a größer als ein b wird, sprich das größte a kleiner als das kleinste b ist, wie kann dann die Folge gegen 0 konvergieren? Wenn etwas gegen 0 konvergiert, dann der Abstand zwischen den jeweiligen an und bn. Dabei wird dann aber nicht die Folge aller an von der Folge aller bn subtrahiert, sondern jedes an nur paarweise vom jeweils passenden bn subtrahiert, und die hierbei entstehenden Werte konvergieren dann gegen 0.--Wikilaser (Diskussion) 00:47, 27. Jun. 2017 (CEST)

Was meinst Du mit Dabei wird dann aber nicht die Folge aller an von der Folge aller bn subtrahiert, sondern jedes an nur paarweise vom jeweils passenden bn subtrahiert? Die Subtraktion einer Folge von einer anderen ist ja genau als gliedweise Subtraktion definiert: Die Differenzfolge a-b ist die Folge aller Werte an-bn, also der paarweisen Subtraktion "jeweils passender" (wie Du das nennst) Folgenglieder. Dein Satz macht daher keinen Sinn ...

Und noch: ohne daß jemals ein a größer als ein b wird, sprich das größte a kleiner als das kleinste b ist, wie kann dann die Folge gegen 0 konvergieren. "Das größte a" muss es gar nicht geben, und auch nicht "das kleinste b". Nimm doch die Folgen a = (a_n) = (1-1/n) und b = (b_n) = (1+1/n): Die Glieder der Differenzfolge b-a = (2/n) konvergieren für n->inf gegen 0, d.h. b-a ist eine Nullfolge. Ein "größtes a" gibt es aber nicht: Kein a_n wird je 1 sein, aber zu jedem a_n gibt es noch größere (nämliche alle folgenden); und analaog für b. --Haraldmmueller (Diskussion) 12:11, 27. Jun. 2017 (CEST)

Ich meine damit, wenn man rechnet: Folge bn minus Folge an = (b1+b2+b3+...+bn)-(a1+a2+a3+...+an)=x

Dann kann dieses x doch nie gleich Null werden, da jedes bn größer ist als jedes an. Es bleibt also immer eine positive Differenz zwischen den jeweiligen an und bn, die dann addiert werden kann, und die selbstverständlich größer 0 sein muß. Wie kann x dann gegen 0 konvergieren?

Betrachtet man dagegen paarweise die Differenzen, also b1-a1=x1, b2-a2=x2, b3-a3=x3, ..., bn-an=xn, dann konvergiert die Folge der Ergebnisse dieser paarweisen Betrachtung, also x1, x2, x3, ... xn, natürlich gegen 0.

Und wenn grundsätzlich gilt, daß an<bn ist, dann kann weder bei der Annahme, es gäbe ein größtes an und ein kleinstes bn, noch bei der Annahme, es gäbe kein größtes an und kleinstes bn, irgendein an>bn sein.--Wikilaser (Diskussion) 13:37, 27. Jun. 2017 (CEST)

Achtung Achtung: Du verwechselst Folge (Mathematik) mit Reihe (Mathematik)!! Bei Folgen gibt es kein "a1+a2+a3+..." - das ist eine Reihe, und das ist was ganz anderes. Wenn's Dich beruhigt - den Fehler (diese Verwechslung) machen viele (Anfänger ...). Ganz deutlich: Hier ist nirgendwo die Rede davon, dass die Folgenelemente als eine Reihe aufgefasst werden, d.h., dass sie aufsummiert werden - das hast Du nur falscherweise "hineingelesen".

Nocheinmal: Wenn man sagt "Differenz von zwei Folgen", dann meint man die "elementweise Differenz", NICHT und niemals die Differenz der Summen der beiden Reihen - nicht zuletzt deshalb, weil diese Summe der Folgenglieder oft gar nicht existiert! Die unschuldige, freundliche Nullfolge (a_n) = (1/n) hat gar keine Summe - denn 1/1+1/2+1/3+1/4+... divergiert gegen unendlich!

Der Rest von dem, was Du sagst, ist korrekt. --Haraldmmueller (Diskussion)

Danke für die Erklärung!--Wikilaser (Diskussion) 13:24, 3. Jul. 2017 (CEST)

Stellenwertsysteme

Unter den "elementaren Beweisen", dort finde ich diesen Abschnitt mit der Verallgemeinerung "zur Basis q" fragwürdig.

Wenn man den "Beweis" schon für alle Stellenwertsysteme im Allgemeinen führen will und deswegen die Variable "q" (Basis des Stellenwertsystems) einführt, sollte man auch prüfen, ob es eine Ziffer "9" in diesem Stellenwertsystem gibt oder andernfalls definieren, was diese Neun sein soll. Im Oktalsystem ist das z.B. schon nicht eindeutig klar, intuitiv würde ich sagen, es gibt keine "9". Zumindest, wenn man es nicht definiert z.B. (q - 1) =: 9, im Oktalsystem z.B. 7 =: 9.

--95.91.2.179 12:48, 19. Aug. 2018 (CEST)

Ich hab's einmal "mutig" anders formuliert ... hoffentlich besser. --Haraldmmueller (Diskussion) 14:05, 19. Aug. 2018 (CEST)

Schreibweise von Perioden

Nur mal so: In der Schule (jetzt gut 10 Jahre her, NRW) haben wir Perioden ausschließlich mit diesem Strich über den sich wiederholenden Zahlen geschrieben. Warum wird hier diese unnötig lange Form 0,999... gewählt? Ist die oben beschriebene Notation etwa unwissenschaftlich und amateurhaft? 178.4.151.74 12:08, 26. Nov. 2019 (CET)

Wie kann man sie durchführen? Ich kenne keine Möglichkeit für einen Überstrich. --Hutschi (Diskussion) 12:04, 9. Okt. 2023 (CEST)

PS: https://de.wiki.x.io/wiki/%C3%9Cberstrich Leider funktioniert es nicht gut. So verschwindet der Überstrich beim Kopieren und er ist oft seitlich versetzt. Es ist also eher ein technischer Kompromiss, die 3 Punkte zu setzen und führt eher zu Missverständnissen. ..Hutschi (Diskussion) 12:11, 9. Okt. 2023 (CEST)

Bekanntheit

Mit dem Wachstum des Internets haben Debatten über 0,999… das Klassenzimmer verlassen und sind in Internetforen verbreitet, einschließlich solcher, die wenig mit Mathematik zu tun haben. Die Newsgroups de.sci.mathematik und sci.math haben die Frage in die FAQ aufgenommen. Lina Elbers erhielt einen Preis von der Deutschen Mathematiker-Vereinigung für die klügste Frage, die Mathematikprofessoren gestellt wurde: Warum 0,999… nicht kleiner als 1 sei. Damals war sie Sechstklässlerin.

Ich bekomme im Artikel den Absatz vor "Damals war sie Sechstklässlerin." nicht weg.

bitte um Hilfe. --Hutschi (Diskussion) 22:45, 7. Sep. 2023 (CEST)

Geschafft. Es hing eine Absatzmarke drin, die ich nicht sehen konnte. Heute war sie zu sehen, so konnte ich es korrigieren. --Hutschi (Diskussion) 17:09, 8. Sep. 2023 (CEST)

Ich verstehe die Diskussion nicht.

Für transzendente Zahlen wie z.B. Pi, die Eulersche Zahl usw. benutzen wir in der Mathematik nicht umsonst Symbole.

Die Behauptung, das 1=0,9999... ist, widerspricht einem der Axiomen der Reellen Zahlen: "Die reelen Zahlen sind wohlgeordnet"

Natürlich vereinbaren wir im Alltag - je nach Anforderung - eine verkürzende Genauigkeit, etwa Pi=3,14 oder 1/3=0,33.

Solche Verkürzungen sind eine akzeptierte Ungenauigkeit, die wir in Kauf nehmen, da wir keine praktiblen Möglichkeiten haben, mit solchen Zahlen zu rechnen (Außnahmen: s.u).

Beispiel aus der Praxis: Im EURO-Raum wird die Währung nur auf 4 Nachkommastellen gerechnet, für Rundungen gibt es genaue Vorschriften und für Rundungsfehler gibt es extra Buchungskonten.

Für Beweisverfahren sind solche Verkürzungen aber unzulässig, da Beweise exakt sein (auf den Axiomen des jeweiligen Zahlenraums aufbauen) müssen !

Natürlich (Ausnahmen) gibt es für einige transzendente Zahlen auch andere Darstellungsformen, wie Polygone, Reihen, oder Funktionen. Beweise sind dann aber auch mit dieser Darstellung zu führen.

Ich bitte um etwas mehr Niveau. 1=0,999... ist ein Zaubertrick für Grundschüler. --2.204.129.38 02:53, 4. Jan. 2024 (CET)

Ich verstehe die Diskussion auch nicht. 1 ist eben genau gleich 0,9999…, es sind nur zwei Schreibweisen der gleichen Zahl. Du könntest allerdings jeden vom Gegenteil überzeugen, wenn du eine untere Schranke größer Null für die Differenz angeben würdest. Da das zwei Schreibweisen der gleichen Zahl sind, widerspricht das auch nicht der Wohlordnung der reellen Zahlen. Ansonsten würde 1,0000… das im Übrigen auch tun. Und zum Niveau: Das wird auch so im Studiengang für Mathematik an den Universitäten gelehrt. --Senechthon (Diskussion) 10:49, 4. Jan. 2024 (CET)

Weiterer Beweis

0,999... + 0,999... = 1,999...

0,999... + 1 = 1,999...

Da die Summen identisch sind, ist hoffentlich für jeden verständlich, dass 0,999... gleich  1 ist. --84.21.185.174 15:43, 1. Aug. 2024 (CEST)