Diskussion:Boolesche Algebra

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Anwendung

Guter Artikel, aber Hinweise auf die Anwendung fehlen. Steuerung von Maschinen und Anlagen, speicherprogrammierbare Steuerung und für viele anschaulich UND = Serienschaltung ODER = Parallelschaltung usw.

--Kölscher Pitter 18:24, 9. Mär 2006 (CET)

Nö ;) Der Artikel beschäftigt sich mit den "Rechenregeln". Das was du suchst findet man bspw. unter "Konjunktion" usw. 82.97.141.172 22:03, 11. Apr 2006 (CEST)

Vielleicht ist ja ein kurzer Hinweis auf die betreffenden Seiten ein guter Kompromiss --132.230.166.76 15:36, 13. Nov. 2006 (CET)

... schließlich ist es einer Encyklopädie auch nicht abträglich. -- 88.71.97.248 19:16, 29. Dez. 2009 (CET)

Charakteristik 2?

Die Behauptung, jeder boolesche Ring habe die Charakteristik 2 ist nicht ganz richtig, weil er eine Ausnahme hat: den einelementigen Nullring mit Charakteristik 1, bei dem 1=0 gilt. Dieser "entartete" Ring ist nach den Definitionen in Wikipedia möglich. Anderswo (z.B: Meschkowski, Mathemtisches Begriffswörterbuch) werden daher Ringe als mindestens zweielementig definiert, was sicher nicht mathematisch elegant ist und hier nicht übernommen werden muss. Der Problemfall sollte aber einkalkuliert werden. Es gibt dann natürlich auch die entartete boolesche Algebra {0}.--Wilfried Neumaier 09:12, 21. Feb. 2007 (CET)

DIN-Norm für Boolesche Algebra

Kennt jemand die Norm, in der die Booleschen Symbole genormt sind?

nö

Definition... "unabhängige Axiome"

Noch was, woher rührt die Reihenfolge der "unabhängigen Axiome": unabhängigen Axiome (1)(1’)(2)(2’)(11)(11’)(4)(9)(9’) ? Wieso sind die nicht aufsteigend sortiert? Markiert das eine Art Wichtigkeit? Sollte eigt. nicht sein - bei unabhängigen Axiomen ? Also warum nicht: (1)(1’)(2)(2’)(4)(9)(9’)(11)(11’) ? Grüße nochmal --WissensDürster 08:18, 7. Jan. 2009 (CET)

Die Axiome (1)(1’)(2)(2’)(11)(11’) charakterisieren einen Verband, daher sind sie vor den anderen Spezialeigenschaften genannt. --Wilfried Neumaier 10:33, 7. Jan. 2009 (CET)

Ja ok, aber ich wollte auch darauf hinweisen, dass ich das (4) nicht falsch zitiert habe. Wieso sollte gerade (nur eins) der Distri-Gesetze da rein gehören? Dann kann man doch auch (4') mit nennen, oder was seh ich da nicht richtig? Grüße --WissensDürster 17:47, 21. Jan. 2009 (CET)

(4') kann man mit (4) leicht beweisen. Nimmt man (4') dazu, dann wären die Axiome nicht mehr unabhängig, sondern redundant. Man kann allerdings (4) durch (4') ersetzen und hätte ein alternatives unabhängiges Axiomensystem.--Wilfried Neumaier 22:02, 21. Jan. 2009 (CET)

Definitionen, Huntington

Ich habe den Abschnitt Definition strukturiert, um alternative Definitionen übersichtlich darzustellen.

Auch denke ich, dass die Dominanz der Verbandsdefinition nicht gut ist. Die Motivation für das Interesse an Boolescher Algebra kommt häufig aus der Computertechnik/Digitaltechnik sowie Logik/Programmierlogik. Eine mathematische Grundlage, die die Verbandstheorie umfasst, kann da im allgemeinen nicht vorausgesetzt werden. Daher das viel übersichtlichere Axiomensystem nach Huntington als Ergänzung. Towopedia 16:21, 28. Okt. 2011 (CEST)

Bitte mit Literaturangabe versehen, die ja als Quelle benutzt worden ist, damit mit man den Beweis der Gleichwertigkeit nachvollziehen kann. Formeln dem Artikel angleichen, denn nicht jeder kann die Symbole lesen.--Wilfried Neumaier 21:03, 29. Okt. 2011 (CEST)

Shannon

Im diesem Text steht im Abschnitt "zur Geschichte", dass Claude Shannon 1940 die boolesche Algebra erstmals zur Beschreibung elektrischer Schaltungen einsetzte. Im Artikel über eben diesen Claude Shannon 1937 seine Master-Arbeit "A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits" verfasste. Welche Jahreszahl ist richtig oder bezieht sich die Angabe von 1940 hier gar nicht auf diese Masterarbeit? --31.150.169.138 14:36, 30. Mai 2013 (CEST)

Eben korrigiert.erledigtErledigt--Wilfried Neumaier (Diskussion) 20:40, 30. Mai 2013 (CEST)

Was hat der überhaupt mit Booleschen Algebren gemacht? Ich kann mir ja nur eine spezielle Boolesche Algebra vorstellen, die für den relevant war. Ist das Werk trotzdem wichtig? --Chricho ¹ ² ³ 20:46, 30. Mai 2013 (CEST)

Der Shannon-Text ist ein Relikt aus einer uralten Version. Er war nicht sachgerecht datiert. Ich stimme Dir zu: Er hat eigentlich im Artikel nichts verloren. Es ist eine bloße Anwendung der booleschen Algebra. Er gehört allenfalls in die Rubrik am Ende "Siehe auch", dann aber als Stichwort Schaltalgebra; in diesem Artikel ist dann der Verweis auf Shannon drin. Was meinst Du?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:54, 30. Mai 2013 (CEST)

Im Artikel sind drei Bemerkungen zur Schaltalgebra eingestreut, die auch dort wenig hilfreich sind und eher stören.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:58, 30. Mai 2013 (CEST)

Grammatikfrage

Mal eine Frage aus einem anderen Fachgebiet: Da die Bezeichnung "boolesche Algebra" auf George Boole zurückgeht, müsste es dann nicht als Eigenname "Boolesche Algebra" heißen? (Ich hab keine Ahnung, ich bin nur neugierig) --153.96.96.22 16:48, 6. Okt. 2015 (CEST)

Die Boolesche Algebra groß geschrieben wäre laut heutiger Grammatik die Algebra von Boole. Das ist die boolesche Algebra definitiv nicht; es ist eine Abstraktion aus Ideen von Boole. Daher ist die Kleinschreibung korrekt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:12, 6. Okt. 2015 (CEST)

Vielen Dank! --153.96.96.22 07:33, 7. Okt. 2015 (CEST)

Das stimmt nicht. Mathematische Begriffe werden mit dem großgeschriebenen Namen und der Endung -sch gebildet, wie z.B. Noethersch oder Hausdorffsch, die als Adjektive groß geschrieben werden. Es gibt nur wenige Ausnahmen wie abelsch oder euklidisch; diese sind in der mathematischen Tradition aber für grundlegendste Begriffe reserviert, die nach den ganz großen Mathematikern benannt sind. Boole und seine Algebra haben trotz ihrer immensen Bedeutung im Gebäude der heutigen Mathematik (noch?) nicht diesen Rang, und es obliegt auch nicht der Wikipedia, das zu ändern. (nicht signierter Beitrag von 192.124.237.237 (Diskussion) 14:39, 17. Feb. 2016 (CET))

Haha, Adjektive zu großen Mathematikern schreibt man klein und Adjektive zu kleinen Mathematiker schreibt man groß. Ich schmeiß mich weg … -- HilberTraum (d, m) 16:02, 17. Feb. 2016 (CET)

Die Kleinschreibung ist korrekt. Gibt man in einer aktuellen Duden-Online-Version folgende Testsätze ein: "Die boolesche Algebra ist eine Modifikation von Booles Algebra" und "Die Boolesche Algebra ist eine Modifikation von Booles Algebra", so enthält man bei der Großschreibung eine Fehlermeldung! Der Grund ist oben genannt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 14:58, 22. Feb. 2016 (CET)

Es ist richtig, dass die Kleinschreibung auch gebräuchlich ist. In der Mathematik ist sie ein Fauxpas. Es ist mir aber gerade zu doof, die vandalisierte Großschreibung wieder zu restaurieren. Das sollen andere machen. (nicht signierter Beitrag von 192.124.237.237 (Diskussion) 15:32, 1. Apr. 2016 (CEST))

Dem anschließend noch die Frage der Aussprache. Sagt man "bohlsche Algebra" oder "buhlsche Algebra" im deutschen, oder ist beides gebräuchlich? --193.194.136.73 17:31, 31. Jan. 2023 (CET)

Venn und Peirce

Venn und Peirce haben meines Wissens nichts zu tun mit der Weiterentwicklung der booleschen Algebra zur heutigen Form. Hier waren nur Jevons, Schröder,Peano maßgeblich.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:16, 6. Okt. 2017 (CEST)

Relationsalgebra

erledigtErledigt

Vorschlag für einenneuen Abschnitt hier (oder einen eigenen Artikel), folgt im Wesentlichen (aber stark verkürzt) dem englischen Artikel

en:Relation algebra ist aber noch nicht ganz ausgegart. Referenzen:

• [1] (chapman.edu, WayBack) (englisch)
• Relationsalgebra (Mathepedia) (deutsch)
• Robin Hirsch, Ian Hodkinson: Relation algebras

Eine Weiterentwicklung davon ist die Peirce Algebra mit mehreren Trägermengen, die offenbar die Relationsalgebra zusammen mit Vor-/Nachbeschrämkung auf Mengen (die andeen Träger) abstrakt beschreibt:

• Chris Brink et al.:Peirce Algebras

In diesem Sinn haben Peirce u. a. die Boolesche Algebra dann doch weiterentwickelt.

/* Relationsalgebra */

Nicht zu verwechseln mit: Relationale Algebra (oder Relationenalgebra).

In der Mathematik und abstrakten Algebra ist eine Relationsalgebra (englisch: relation algebra) eine residuierte Boolesche Algebra, die um eine Involution als einstellige Operation, Konverse geannnt, erweitert wurde. Das für diese Begriffsbildung maßgebliche Beispiel einer Relationsalgebra ist die Algebra $2^{X^{2}}$ aller zweistelligen Relationen auf einer Menge $X$ (d. h. auf den Teilmengen des kartesischen Produkts $X\times X=X^{2}$), zusammen mit der Verkettung von Relationen und der Umkehrrelation (konversen Relation).

Eine Relationsalgebra ist ein 9-Tupel $(L,\land ,\lor ,\neg ,0,1,\circ ,\operatorname {I} ,{}^{\smile })$, für das gilt:

• $(L,\land ,\lor ,\neg ,0,1)$ ist eine Boolesche Algebra,
• $(L,\circ ,\operatorname {I} )$ ist ein Monoid,
• ${}^{\smile }$ ist eine Involution, genannt Konverse,
• $\forall a,b\in {L}:(a\circ b)^{\smile }=b^{\smile }\circ a^{\smile }$, d. h. die Konverse ist treu gegenüber der Verknüpfung ∘.
• $\forall a,b\in {L}:(a\lor b)^{\smile }=a^{\smile }\lor b^{\smile }$, und
• $\forall a,b,c\in {L}:(a\lor b)\circ {c}=(a\circ {c})\lor (b\circ {c})$ (Distributivität)
• $\forall a,b\in {L}:(a^{\smile }\circ \neg (a\circ {b}))\lor \neg {b}=\neg {b}$, was nichts anderes bedeutet als $a\circ {b}\leq \neg {c}\Leftrightarrow a^{\smile }\circ c\leq \neg {b}\Leftrightarrow c\circ b^{\smile }\leq \neg {a}$ (Peircesches Gesetz) (siehe: Chris Brink et al. Seite 12)

Veranschaulichung Peircesches Gesetzt, hier mit u, v, w statt a, b, c

Für homogene zweistellige Relationen $R\subseteq A\times A$ führt dies auf

${\mathfrak {Re}}(X)=(2^{X^{2}},\cap ,\cup ,{}^{^{-}},\emptyset ,X^{2},\circ ,id_{X},{}^{\smile })$

(nach Hirsch u. Hodkinson, das Tupel an obige Schreibweise angeglichen)
wobei in anderer Notation $X^{2}=X\times X,\;\ 2^{X^{2}}={\mathcal {P}}(X\times X)$
--Ernsts (Diskussion) 21:27, 25. Jan. 2018 (CET), Korrekturen angebracht --Ernsts (Diskussion) 01:30, 26. Jan. 2018 (CET)

Würde für einen extra Artikel plädieren.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:36, 25. Jan. 2018 (CET)

Erledigt, siehe Relationsalgebra --Ernsts (Diskussion) 01:08, 27. Jan. 2018 (CET)

Orthogonalprojektionen kommutieren nicht

Ich verstehe das Beispiel mit den Orthogonalprojektionen ehrlich gesagt nicht wirklich. Dort steht "In beiden Fällen wird $P(H)$ zu einer booleschen Algebra". $P(H)$ war hier die Menge aller Orthogonalprojektionen auf dem Hilbertraum $H$. Es gibt doch aber für $\operatorname {dim} H>1$ stets Orthogonalprojektionen $P,Q$ mit $PQ\neq QP$ und damit wäre bereits Axiom $(1)$ verletzt. Wenn man stattdessen wie im Beispiel darüber die Menge aller Orthogonalprojektionen auf $H$ nimmt, die mit allen anderen kommutieren, würde man nur $0$ und $I$ erhalten, oder nicht? Muss man vielleicht eine gewisse Teilmenge von $P(H)$ wählen, die nur aus paarweise kommutierenden Operatoren besteht? --InvisibleNoName (Diskussion) 22:56, 11. Mär. 2021 (CET)

Ich glaube ehrlich gesagt, dass das Beispiel für $n=2$ selbst für paarweise kommutierende Operatoren keine boolesche Algebra liefert, da eine ganze Reihe von Axiomen nicht erfüllt sind... Für $n=1$ liefert das im Vergleich zum Beispiel davor kaum etwas neues. --InvisibleNoName (Diskussion) 16:40, 12. Mär. 2021 (CET)

Ich lösche den Abschnitt

"Ist $H$ ein Hilbertraum und $P(H)$ die Menge der Orthogonalprojektionen auf $H$, dann definiert man für zwei Orthogonalprojektionen $P$ und $Q$

$P\lor Q=P+Q-nPQ,\quad P\land Q=PQ$,

wobei $n$ gleich $1$ oder $2$ sein soll. In beiden Fällen wird $P(H)$ zu einer booleschen Algebra. Der Fall $n=2$ ist in der Spektraltheorie von Bedeutung.",

obwohl die so definierten Operatoren wieder orthogonale Projektionen sind, wenn $P$ und $Q$ kommutieren. Für $n=1$ ergibt sich wohl tatsächlich eine Boolesche Algebra, wenn man von einer maximalen Menge paarweise kommutierender orthogonaler Projektionen ausgeht. Für $n=2$ ergibt sich auch bei Einschränkung des Definitionsbereichs keine Boolesche Algebra, denn die Idempotenz für $\lor$ ist dann verletzt: $P\lor P=P+P-2P^{2}=0$. --PhiRho~dewiki (Diskussion) 17:03, 4. Mär. 2022 (CET)

Freie boolesche Algebra

... ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel, in dem aber nicht erklärt wird, was eine freie boolesche Algebra ist. --Sigma^2 (Diskussion) 23:58, 14. Apr. 2024 (CEST)

Das ist eine boolesche Algebra, welche auch ein freies Objekt ist.--Tensorproduct 11:18, 15. Apr. 2024 (CEST)

Danke für den Hinweis. Aber der Link zum PDF 'Algebraische Verbandstheorie' funktioniert leider nicht. Das betrifft dann auch den Artikel Relationsalgebra.

Der Leser des Artikels, der durch die WL Freie Boolesche Algebra dort hinkam, sollte schon erfahren, was das ist. Könntest Du das nicht eventuell in den Artikel einfügen? Für mich ist das fachlich zu weit weg.--Sigma^2 (Diskussion) 16:27, 15. Apr. 2024 (CEST)

Der Hinweis "eine Boolesche Algebra, deren Verbandsstruktur ein residuierter Verband.." stammt nicht von meinem Kommentar, sondern vom Ref-Tag. Ich kann die Definition des freien Objektes auf die boolesche Algebra anwenden (du musst nur die unbestimmte Kategorie durch die Kategorie BoolAlg ersetzen). Eine Quelle habe ich aber nicht zur Hand und müsste ich zuerst auch suchen... --Tensorproduct 18:14, 15. Apr. 2024 (CEST)