Diskussion:Cauchy-Kriterium

Folge, Reihe, Funktion

Bei uns in der Vorlesung wurden "Cauchykriterien" für die Konvergenz von Folgen, Reihen und Funktionen genannt. Vielleicht könnte man diese Differenzierung noch einbauen. -- 212.201.55.6 17:50, 20. Feb. 2008 (CET)

Die Folgen habe ich schon mal ergänzt. Das Cauchy-Kriterium gibt es allerdings außer für Funktionen noch für eine ganze Reihe weiterer mathematischer Objekte, siehe den EoM-Eintrag bei den Weblinks. Ich frage mich, ob die vielen Varianten nicht irgendwann mal den Artikel sprengen. Grüße, -Quartl (Diskussion) 16:14, 21. Aug. 2012 (CEST)

War dir Bewusst, dass es für Cauchy-Folgen auch einen Artikel gibt? Weißt du wie der Artikel „Cauchy-Kriterium“ genau vom Artikel „Cauchy-Folge“ abgegrenzt wird? Jede Folge, die das Cauchy-Kriterium erfüllt ist doch eine Cauchy-Folge, oder? --Martin Thoma 18:52, 26. Aug. 2012 (CEST)

Ich kenne den Artikel Cauchy-Folge, ich habe ihn nämlich selbst vor kurzem gründlich überarbeitet ;-). Der möglicherweise etwas subtile Punkt ist: das Cauchy-Kriterium stellt a priori erstmal eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Folge dar, wenn man weiß, dass der betrachtete Raum vollständig ist. Dass diese hinreichende Bedingung tatsächlich auch eine notwendige Bedingung ist, hat letztendlich damit zu tun, wie Vollständigkeit definiert wird. Dafür gibt es nämlich mehrere äquivalente Definitionen wovon eine ist, dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Andersrum ausgedrückt: wenn ich erstmal bewiesen habe, dass ein Raum vollständig ist, dann muss ich, um die Konvergenz einer konkreten gegebenen Folge zu zeigen, nur die Cauchy-Eigenschaft nachweisen. Das ist das Cauchy-Kriterium. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:30, 26. Aug. 2012 (CEST)

Lemma: Cauchykriterium - Cauchy-Kriterium

Kann man das Lemma in Cauchy-Kriterium ändern? In allen Skripten, die ich habe, steht es als Cauchy-Kriterium, eine kurze Suche auf Google Books hat auch auf den ersten Blick nur die Schreibweise mit Bindestrich ergeben. --MartinThoma 16:40, 11. Dez. 2011 (CET)

Mir sind beide Varianten recht (Im Heuser steht es ohne Bindestrich). --NeoUrfahraner (Diskussion) 22:45, 11. Dez. 2011‎ (CEST)

Ich habs verschoben. Bisher gab es keinen Widerspruch, also ist das Thema für mich erledigt. --Martin Thoma 18:31, 26. Aug. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 18:31, 26. Aug. 2012 (CEST)

Alle Kriterien sind auch notwendig

Eine Pointe an den Cauchy-Kriterien für Folgen und Reihen ist, dass sie nicht nur im vollständigen Raum hinreichend (wie es der Artikel korrekt beschreibt) sondern auch notwendig in jedem metrischen Raum sind. "Jede konvergente Folge ist verdichtend, also Cauchyfolge" und zwar nicht per def. sondern nach einer mehr oder weniger einfachen Rechnung. Wäre das nicht so, dann würde die metrische Konstruktion von $\mathbb {R}$ aus $\mathbb {Q}$ nicht so einfach funktionieren. Man hätte ja dann noch Sonderfolgen, die zwar in $\mathbb {Q}$ konvergent, aber nicht verdichtend sind. Das wäre zum Beispiel der Fall, wenn man versuchen würde $\mathbb {Q} \cup \{\pm \infty \}$ zu vervollständigen. Und ja, ich weiß, das das dann mit dem normalen Betrag kein metrischer Raum ist. Nur mal so zur Veranschaulichung. Mir wärs lieber, die mit dem Artikel befassten Autoren würden das einarbeiten als ich, betrifft doch recht viele Formulierungen und einschlägige Literatur habe ich grad nicht zur Hand. Zur Not mach ichs selber, wenn hier keiner widerspricht. --KleinKlio (Diskussion) 21:21, 14. Aug. 2013 (CEST)

Ich habe das „definitionsgemäß“ mal rausgeworfen. In allgemeinen metrischen Räumen kann das Cauchy-Kriterium (für Folgen) nur als Divergenzkriterium angewandt werden, das heißt: ist eine gegebene Folge keine Cauchy-Folge, dann divergiert sie. Ist es diese Aussage, die dir im Artikel noch fehlt? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:52, 15. Aug. 2013 (CEST)

Ja genau, das habe ich gemeint und viellt. etwas verschwurbelt formuliert: Konvergenz gegen einen (schon vorhandenen) Punkt -> einschlägiges Cauchykriterium (Konvergenz=> Cauchykriterium ist erfüllt). Was du beschreibst ist die äquivalente Aussage ("nicht Cauchy"=> Divergenz), das soll mir auch recht sein. Die Aussagen sind (fast) trivial, aber da die Cauchyfolgentechnik schon bei der Zahlbereichserweiterung $Q\rightarrow \mathbb {R}$ in Anfängervl. gerne hergenommen wird, sollte man das auch reinschreiben. Wäre nett, wenn du das machen könntest, ich bin schon in etwas viele Artikel "irgendwie" involviert und muss mich langsam wieder auf meine Kernkompetenz (projektive "Elementar-"geometrie) besinnen. ;-> Gruß --KleinKlio (Diskussion) 15:39, 15. Aug. 2013 (CEST) Quetsch: Und natürlich, sollte rein, dass das Interessante ist, dass diese Folgerungsrichtung (nicht Cauchy=>Divergenz) auch in unvollständigen metrischen Räumen, z.B. $\mathbb {Q}$ gilt. --KleinKlio (Diskussion) 15:55, 15. Aug. 2013 (CEST)

Ok, habe einen entsprechenden Satz ergänzt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:54, 15. Aug. 2013 (CEST)

Keine formalen Einsprüche mehr (Zeile 62..., seufz). Ich bin für heute müde und kenne weder das Lehrbuch von Königsberger noch das von Forster von innen. Aber ich bin mir intuitiv sicher dass diese anscheinend einführenden Analysisbücher das Cauchy-Kriterium nicht als "genau dann wenn" einführen. Bolzano, Weyerstraß, Cauchy und Konsorten (später Hilbert) haben sich solche Dinge (vermutlich) ausgedacht, um die rationalen Zahlen, gewisse Fourierreihenmengen und die Wasauchimmer-metrischen Räume zu vervollständigen, das heißt die Räume, die der Artikel beschreibt, sind das Ergebnis dieser Idee. Man kann es natürlich, wie Christian Blatter in seinem Analysisbuch (3 Bände) auch umgekehrt aufziehen: Die reellen Zahlen kennt jeder, aber Zählen will gelernt sein: Man kann in jedem ordungsvollständig angeordneten Körper (die sind ja bekanntlich alle ordungstreu isomorph zu $\mathbb {R}$) eine Nachfolgerabbildung definieren, die streng monoton wachsend und nicht surjektiv ist, indem man jedem Element x, x+1 zuordnet. Dann heißen Teilmengen von $\mathbb {R}$ induktiv, wenn sie mit einer Zahl auch alle Nachfolger enthalten und $\mathbb {N}$ ist diejenige induktive Menge, in der zwischen einer Zahl und ihrem Nachfolger kein Bildelement der Nachfolgerabbildung (bezüglich der Anordnung) liegt, und die das Nullelement 0 aber keinen Vorgänger der 0 enthält. Das ist prima, völlig korrekt, aber wenig omatauglich. Historisch sind die positiven reellen Zahlen (als Idee in der akademischen Mathematik, das heißt bei Euklid, wer kümmert sich als Philosoph schon um so triviale Vorgänge wie "Zählen") vermutlich wirklich älter als die ganzen Zahlen, aber der Lehrplan in deutschen Schulen nimmt keine Rücksicht darauf und erläutert Brüche (und sogar die NEGATIVEN) vor Cauchfolgen und sogar vor Dedekindschen Schnitten, was lächerlich ist, denn sowohl die topologischen, als auch die geometrischen Eigenschaften dieser Zahlmenge sind haarsträubend. Aber meine OMA, die nicht Euklid hieß, kannte ihr Leben lang nur Brüche (und SCHULDEN, das ist das, was man weder machen noch haben darf), tragisch. Aber lassen wirs. --KleinKlio (Diskussion) 22:12, 15. Aug. 2013 (CEST)

Nur als Info: dieser Artikel handelt nur von dem Cauchy-Kriterium als Konvergenzkriterium für Folgen und Reihen. Zu Cauchy-Folgen als solches gibt es einen eigenen Artikel Cauchy-Folge. Königsberger führt das Cauchy-Kriterium genau wie in diesem Artikel als hinreichendes und notwendiges Kriterium für die Konvergenz reeller Zahlenfolgen ein. Auch Forster behandelt das Cauchy-Kriterium zunächst nur für reelle Reihen und dann ebenfalls als hinreichendes und notwendiges Konvergenzkriterium (er nimmt die Konvergenz von Cauchy-Folgen als Vollständigkeitsaxiom). Cauchy-Folgen in allgemeinen metrischen Räumen werden in der Literatur und im Studium jedenfalls erst viel später eingeführt. Ich bin in Wikipedia-Artikeln auch sehr für einen langsamen Einstieg in die Materie, indem man mit einem eher vertrauten Beispiel startet statt gleich dem allerallgemeinsten Fall. Insofern ist Zeile 62 schon ganz in Ordnung ;-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 04:13, 16. Aug. 2013 (CEST)

Kriterium

Muss man hier

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon$

nicht

$m=n$

ausschließen, da sonst jede Folge das Kriterium erfüllen würde? (nicht signierter Beitrag von 4marzy (Diskussion | Beiträge) 12:22, 21. Mai 2014 (CEST))

Die Ungleichung muss für alle $m,n\geq N$ erfüllt sein, nicht nur für eine bestimmte Wahl von $m$ und $n$. Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:59, 21. Mai 2014 (CEST)

Cauchy-Kriterium für Reihen Beispiele: Reihe mit 1/i^2

Müsste man nicht die Reihe nachdem 1/n -1/m mit 1/m abschätzen anstatt mit 1/n. Beides ist richtig, aber der Index der gegen unendlich gehen soll, ist nun mal m und nicht n. --141.2.169.193 11:37, 27. Nov. 2015 (CET)

Das passt schon so, man kann doch 1/n - 1/m nicht mit 1/m abschätzen. -- HilberTraum (d, m) 12:24, 28. Nov. 2015 (CET)

Konvergenzordnung aus Cauchy möglich?

Sehr geehrter Leserinnen und Leser,

sicherlich kann das Cauchy-Kriterium auch zum Nachweis einer Konvergenzordnung verwendet werden. Als Beispiel:

Welche Konvergenzrate hat beispielsweise eine Folge ${a_n}$ gegen den Grenzwert, wenn ihre Folgenglieder die Abschätzung $|a_{n+1}-a_n| \in \mathcal{O}(1/n^k)$ erfüllen, wobei $k>1$ eine Konstante reelle Zahl ist?

Überarbeitungswürdige Punkte

Was mir aufgefallen ist:

• Bei den Beweisen wird nur eine Richtung gezeigt.
• Der Begriff "Cauchy-Folge" wird benutzt, aber nicht erklärt.
• Das Beispiel mit $\ln(n)$ setzt offenbar Kenntnisse des Logarithmus voraus. Hier könnte man etwas elementareres verwenden (Wie wär's mit der Harmonischen Reihe?)
• Beim Abschnitt "Cauchy-Kriterium" steht:"Eine Folge reeller oder komplexer Zahlen konvergiert nämlich genau dann gegen einen Grenzwert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist." Ja, das ist ja genau die Aussage des Kriteriums, warum also nochmal aufsagen?
• Ebenfalls in diesem Abschnitt wird gesagt "Diese sogenannte Vollständigkeit.." ohne dass aus dem Kontext klar ist, was denn die Vollständigkeit sein soll (gemeint dürfte wohl der "nur dann"-Teil des Kriteriums sein). Warum die Vollständigkeit hier überhaupt genannt wird, ist mir unklar. Sie ergibt sich ja nicht aus dem Satz selbst, sondern das Cauchy-Kriterium folgt aus ihr.
• Es fehlt der typische Hinweis, warum das Cauchy-Kriterium praktisch ist (die Möglichkeit, die Konvergenz einer Folge zu überprüfen, ohne den Grenzwert zu kennen.)
• Im Satz ist der Zusatz "[konvergiert] gegen einen Grenzwert" überflüssig. Gegen was soll die Folge denn sonst konvergieren? Klar, es so zu formulieren ist nicht falsch, jedoch halte ich es für didaktisch ungeschickt, da ja das besondere an Cauchy-Folgen gerade ist, dass man sich um den Grenzwert überhaupt nicht scheren muss.

--Mathze (Diskussion) 07:18, 13. Mai 2024 (CEST)