Diskussion:Ebenengleichung

Kleinigkeiten

1. Ich habe mal den Stützvektor in ${\vec {p}}$ umbenannt. Das scheint mir üblicher. Außerdem wird (z.B. in der Physik, aber teilweise auch in der Schulmathematik) oft der allgemeine, variable Vektor mit ${\vec {r}}$ bezeichnet (insbesondere dann, wenn seine Koordinaten mit x, y und z bezeichnet werden).

2. Ich habe die Malpunkte entfernt, außer beim Skalarprodukt. Das scheint mir klarer und übersichtlicher zu sein.

3. Eine Anmerkung: Du unterscheidest in der Wortwahl (wie in der Schulmathematik) zwischen Punkt und Ortsvektor; in der Schreibweise jedoch nicht. Zum Beispiel ist in der Darstellung $E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\vec {x}}={\vec {p}}+\mu {\vec {u}}+\lambda {\vec {v}}~{\text{für}}~\mu ,\lambda \in \mathbb {R} \}$ das ${\vec {x}}$ von „${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}$“ ein Punkt (denn eine Ebene ist eine Menge von Punkten), in der Gleichung „${\vec {x}}=\ldots$“ aber ein Vektor. --Digamma (Diskussion) 17:55, 10. Feb. 2014 (CET)

Zu 1. und 2.: Kein Problem, beizeiten werde ich dann die Grafiken anpassen, die Schrift wollte ich sowieso noch etwas größer wählen. Zu 3.: Stimmt, ist mir noch gar nicht aufgefallen. Formal müsste man eine Ebene als Menge von Punkten, deren Ortsvektoren die Ebenengleichung erfüllen, definieren. Ich persönlich finde die Unterscheidung zwischen Punkten und Vektoren langweilig, aber möglicherweise hilft sie dem Laien/Schüler für das bessere Verständnis (beispielsweise von affinen Koordinaten). Eine extra Notation der Art $P$ ist ein Punkt und ${\vec {p}}$ oder ${\vec {v}}_{P}$ der zugehörige Ortsvektor wollte ich eigentlich vermeiden. Hast du hierzu eine gute Idee? Oder soll man besser gleich auf die Unterscheidung verzichen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:19, 10. Feb. 2014 (CET)

Ich bin gespalten. Einerseits hält ein großer Teil der Schulmathematik an der Unterscheidung zwischen Punkt und Vektor fest. Dem sollte man Rechnung tragen. Andererseits macht die Unterscheidung für mich keinen Sinn, wenn man den Raum oder zumindest den Vektorraum mit dem Koordinatenraum identifiziert. Die Schulmathematik umschifft die Probleme, indem Ebenen usw. nicht als Punktmengen notiert werden, sondern z.B. in der Form $E\colon {\vec {x}}={\vec {p}}+\mu {\vec {u}}+\lambda {\vec {v}}$, die aber hier auch schon zu Recht kritisiert wurde. Vielleicht sollte man es so lassen, wie es ist (oder auf die Unterscheidung verzichten), und darunter einen Abschnitt "Schreibweisen und Konventionen" oder so ähnlich einfügen, wo dann die unterschiedlichen Konventionen dargestellt werden. --Digamma (Diskussion) 19:45, 10. Feb. 2014 (CET)

Ich werde mal drüber nachdenken und nachlesen, wie die diversen anderen Autoren dieses Problem angehen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:32, 10. Feb. 2014 (CET)

Kurze Rückmeldung über den Stand meiner Überlegungen: Ich denke, wir sollten an der sprachlichen Unterscheidung zwischen Punkt und Vektor festhalten. Die Beschreibungen im Text sind einfach anschaulicher und besser lesbar. Zum Beispiel kann man sich unter drei Punkten, die auf einer Geraden liegen, sofort was vorstellen, während der gleiche Sachverhalt mit Vektoren beschrieben viel mehr Sprachakrobatik und Denkarbeit erfordert. Mathematisch laufen beide Sichtweisen ohnehin auf das gleiche Konzept des Koordinatentupels heraus, mit dem man dann letztendlich rechnet. Wie gehen wir nun mit diesem Dualismus nun um? Letztlich sind eine ganze Reihe von Artikeln betroffen, nämlich zumindest Ebene (Mathematik), Gerade und die ganzen Formen (übrigens, sehe ich gerade, geht es in Gerade#Analytische Geometrie auch durcheinander, einmal ist eine Gerade eine Menge von Punkten und einmal eine Menge von Vektoren). Ein Disclaimer wäre schon nicht unwichtig, ist aber vermutlich besser in den beiden Hauptartikeln aufgehoben, auf die man dann jeweils verweist (zur Notation siehe...). Alternativ kann man auch darüber nachdenken, einfach alle Vektorpfeile wegzulassen, dann würde die Grenze zwischen Punkt und Vektor wieder verschwimmen. Ein konsequenter Rückschritt zur Schulnotation mit $E:$ und ${\overrightarrow {OP}}$ usw. widerstrebt mir irgendwie, ich kann mir nicht helfen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:05, 17. Feb. 2014 (CET)

Ich stimme dir auf jeden Fall zu, dass man in der geometrischen Sprechweise zwischen Punkten und Vektoren unterscheiden sollte. Man kann aber z.B. wie du das tust, im Koordinatenraum $\mathbb {R} ^{3}$ arbeiten und dessen Elemente je nach Kontext als Punkte oder Vektoren ansprechen, vgl. Euklidischer Raum#Der reelle Koordinatenraum. Man könnte dann bei den Ebenengleichungen von "Stützpunkt" statt "Stützvektor" sprechen, z.B.:

Bei der Parameterform oder Punktrichtungsform wird eine Ebene durch einen Stützpunkt ${\vec {p}}$ und zwei Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ beschrieben:

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\vec {x}}={\vec {p}}+\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}}~{\text{für}}~\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}$.

Der Stützpunkt (auch als Aufpunkt bezeichnet) ist dabei ein beliebiger Punkt in der Ebene.

statt bisher

Bei der Parameterform oder Punktrichtungsform wird eine Ebene durch einen Stützvektor ${\vec {p}}$ und zwei Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ beschrieben:

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\vec {x}}={\vec {p}}+\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}}~{\text{für}}~\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}$.

Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene, der auch als Stützpunkt oder Aufpunkt bezeichnet wird.

Meinst du so etwas? Leider ist dies nicht so recht mit der gängigen Schulmathematik verträglich.

Zu Gerade#Analytische Geometrie: Den Abschnitt habe ich irgendwann angefangen zu überarbeiten und dann beim zweiten Teil aufgegeben. Deshalb ist im ersten Teil von Punkten die Rede, im zweiten aber noch von Vektoren. Aber was hältst du von dem Ansatz dort:

Die Gerade $g$ durch die Punkte $P$ und $Q$ enthält genau die Punkte $X$, deren Ortsvektor ${\vec {x}}$ eine Darstellung

${\vec {x}}={\overrightarrow {OP}}+t\,{\overrightarrow {PQ}}$ mit $t\in \mathbb {R}$

besitzt, also

$g=\{X\mid {\overrightarrow {OX}}={\overrightarrow {OP}}+t\,{\overrightarrow {PQ}};t\in \mathbb {R} \}.$

Hierbei ist ${\overrightarrow {OP}}$ der Stützvektor, das heißt der Ortsvektor des Stützpunkts $P$ und ${\overrightarrow {PQ}}$ der Richtungsvektor.

Das berücksichtigt die Schulmathematik, unterscheidet zwischen Punkten und Vektoren und ist mathematisch exakt (mal davon abgesehen, dass die Grundmenge, die Menge aller Punkte, keinen Namen hat und nicht angegeben wird). --Digamma (Diskussion) 15:35, 18. Feb. 2014 (CET)

Zu den Ebenen: das meinte ich nicht, und es gefällt mir auch nicht so gut, da hier eine Addition zwischen verschiedenen Objekten definiert wird (Punkt + Vektor = Punkt). Letztlich kann man nur Vektoren addieren, daher würde ich arithmetische Operationen auf Punkten möglichst vermeiden. In einer Ebenengleichung können demnach nur Vektoren (Koordinatentupel) stehen. Wenn ich deine obige Geradennotation aufgreife, dann entspricht die Definition einer Ebene als Menge von Punkten, deren Ortsvektoren die Ebenengleichung erfüllen, formal

$E=\{X\mid {\overrightarrow {OX}}={\vec {p}}+\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}}~{\text{für}}~\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}$

oder

$E=\{X\mid {\vec {r}}_{X}={\vec {p}}+\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}}~{\text{für}}~\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}$.

wenn ${\vec {r}}_{X}$ den Ortsvektor zum Punkt $X$ bezeichnet. Was mich hieran ebenfalls stört ist, dass die Grundmenge undefiniert bleibt, oder darf man auch $X\in \mathbb {R} ^{3}$ schreiben? Die Geraden betrifft das natürlich alles analog. Vielleicht sollten wir alles so lassen und einfach nur dazusagen, dass in der analytischen Geometrie Ebenen und Geraden nicht als Menge von Punkten, sondern äquivalent dazu als Menge von Vektoren beschrieben werden? Oder wir verzichten vielleicht ganz auf die Mengendarstellung und bringen nur die Gleichungen. Das kann man aber nur in Ebenengleichung und Geradengleichung so machen. Bei der Gelegenheit fällt mir auf, dass nirgendwo eine formale Definition einer Ebene oder Gerade als Punktmenge steht. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:32, 19. Feb. 2014 (CET)

Zur Addition Punkt + Vektor = Punkt: In der abstrakten Form ist das eine Schreibweise für die Gruppenaktion des Vektorraums auf dem Punktraum. Diese Notation ist gängig in der Geometrie (wenn auch nicht in der Schule), vgl. Marcel Berger, Geometry I, Springer Verlag, Seite 33.

Es ist auch durchaus üblich, die Elemente von $\mathbb {R} ^{n}$ sowohl als Punkte als auch als Vektoren zu bezeichnen, je nach Kontext. Ich habe leider nur ein, auch noch älteres, Analysis-II-Buch greifbar, nämlich Grauer, Fischer: Differential- und Inegralrechnung II. Die schreiben gleich auf der ersten Seite, wo der \R^n eingeführt wird: Ein Element des \R^n nennen wir auch Punkt und bezeichnen es abkürzend durch einen Frakturbuchstaben, z. B. $(x_{1},\dots ,x_{n})={\mathfrak {x}}$. [...] Auf der Menge \Rn läßt sich die algebraische Struktur eines Vektorraums über dem Körper \R [...] einführen [...] Steht bei einer Betrachtung die Vektorraumstruktur des $\mathbb {R} ^{n}$ im Vordergrund, so wird man die Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$ als Vektoren bezeichnen." Ich denke, dass das die meisten Bücher so handhaben. Auch in der Differentialgeometrie ist es üblich, die Elemente von $\mathbb {R} ^{n}$ je nach Kontext sowohl als Punkte als auch als Vektoren zu bezeichnen.

Für mich gibt es im Wesentlichen zwei Zugänge:

1. Man identifiziert Vekoren und Punkte mit Elementen des \R^3, so wie ich es gerade angedeutet habe. Dann sind das mathematisch die gleichen Objekte, nämlich Zahlentripel, die aber je nach anschaulicher Bedeutung als Punkte oder Vektoren bezeichnet werden. Dann kann man schreiben:

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\vec {x}}={\vec {p}}+\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}}~{\text{für}}~\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}$.

2. Man arbeitet wie in der Schulmathematik. Dann identifiziert man Vektoren mit Koordinatentripel (die üblicherweise als Spalte geschrieben werden), Punkte sind jedoch andere Objekte, die zwar Koordinaten besitzen, aber nicht mit Koordinatentripeln identifiziert werden (also insbesondere nicht Elemente von $\mathbb {R} ^{3}$). Die Menge der Punkte hat dann keinen üblichen Namen. Dann schreibt man am besten

$E=\{X\mid {\overrightarrow {OX}}={\vec {p}}+\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}}~{\text{für}}~\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}$.

Die Schreibweise mit ${\vec {r}}_{X}$ gefällt mir nicht so. In der Schulmathematik ist es üblich, den Ortsvektor von $X$ mit ${\vec {x}}$ zu bezeichnen.

Die Aussage, "dass in der analytischen Geometrie Ebenen und Geraden nicht als Menge von Punkten, sondern äquivalent dazu als Menge von Vektoren beschrieben werden" gefällt mir nicht. Du meinst damit, dass die Elemente der Ebenen und Geraden Zahlentripel, also Elemente des $\mathbb {R} ^{3}$ sind. Für mich sind das aber dennoch Punkte. Der $\mathbb {R} ^{3}$ ist ist ein Modell der euklidischen Geometrie und in diesem Modell sind die Elemente des $\mathbb {R} ^{3}$ die Punkte der Geometrie und Geraden und Ebenen sind gewisse Teilmengen davon. Für mich wäre die richtige Aussage: "In der analytischen Geometrie werden Punkte und Vektoren als Zahlentripel beschrieben. Ebenen und Geraden sind dann Mengen von Zahlentripeln." --Digamma (Diskussion) 10:53, 19. Feb. 2014 (CET)

Vermutlich bin ich wohl auf der einen Seite schon zu weit aus der Schulmathematik raus und auf der anderen Seite zu wenig in der abstrakteren Geometrie drin, um mit einer Aussage wie "Punkte sind jedoch andere Objekte, die zwar Koordinaten besitzen, aber nicht mit Koordinatentripeln identifiziert werden" zurecht zu kommen, aber egal ;-). Ich würde letztlich aus den bereits genannten Gründen die erste Variante bevorzugen, wobei gerne ein paar erklärende Sätze zur Identifikation von Punkten und Vektoren im $\mathbb {R} ^{n}$ vorangestellt werden sollten. Vielleicht kannst du das zielsicherer als ich formulieren? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:26, 19. Feb. 2014 (CET)

Ich habe nun die Notation abgeändert und nur die Gleichungen ausgeschrieben, statt die Ebenen als Menge zu definieren. Wie gefällt dir diese Variante? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:14, 8. Mär. 2014 (CET)

Gefällt mir gut. Nochmals vielen Dank. Was hat dich bewogen, die Gliederung zu ändern? --Digamma (Diskussion) 15:00, 10. Mär. 2014 (CET)

Ich habe die Gliederung zunächst an Geradengleichung angepasst, wo ich parallel dran arbeite. Der Punkt ist, dass man bei Koordinatengleichungen nicht wirklich zwischen implizit und explizit unterscheiden kann. Zum Beispiel sind $x+y+z=1$ und $z=1-x-y$ zwei Schreibweisen derselben Gleichung, die erste implizit und die zweite explizit, dennoch handelt es sich um die gleiche Koordinatenform. Die Formen unterscheiden sich primär dadurch, was die Parameter sind, nicht wie rum sie hingeschrieben werden. Bei den Vektorgleichungen ist das anders, da kann man nicht einfach ${\vec {x}}$ isolieren. Der zweite Grund ist, dass ich eventuell noch die den Geradengleichungen entsprechenden Koordinatengleichungen

$z=mx+ny+o$   (Normalform?)

und

$z-z_{1}=m(x-x_{1})+n(y-y_{1})$   (Punktsteigungsform)

ergänzen würde, wenn ich sie auch tatsächlich in der Literatur unter diesen Namen finden würde. Die Parameter $m$ und $n$ wären dann die Richtungsableitungen der entsprechenden affin-linearen Funktion. Möglicherweise gibt es auch bei der Dreipunkteform eine Koordinatendarstellung, ähnlich wie bei der Zweipunkteform, und eine Determinantenform für Ebenen gibt es vielleicht auch noch. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:47, 10. Mär. 2014 (CET)

Ich habe den Artikel doch nochmal umstrukturiert, denn der Begriff „Vektorgleichung“ impliziert doch eher, dass man eine vektorielle und keine skalare Gleichung vorliegen hat. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:51, 26. Mär. 2014 (CET)

Bilder

Im Wesentlichen finde ich die Bilder sehr gelungen, dennoch habe ich ein paar Anmerkungen dazu:

1. Zumindest in der Schulmathematik ist es üblich, die Koordinatenachsen so zu orientieren, dass die x-Achse so liegt, wie bei dir die y-Achse, aber nach links vorne zeigt (statt nach hinten) und die y-Achse nach rechts zeigt. Außerdem trägt nur ein Ende der Achse ein Pfeilspitze, die, die in positive Richtung zeigt.

2. Ich hnabe bei der Drei-Punkte-Form im Text nicht nur den Punkt r in p umbenannt, sondern auch s in q und t in r, damit die Logik erhalten bleibt (p,q,r). Du hast im Bild nur r durch p ersetzt, die andern aber gelassen.

3. Es ist relativ schwierig zu erkennen, dass u und v in der Ebene liegen, n aber orthogonal dazu ist.

Gruß, --Digamma (Diskussion) 18:39, 11. Feb. 2014 (CET)

Besten Dank für deine Verbesserungsvorschläge. Zu 1: Habe ich abgeändert (solange sie ein Rechtssystem bilden ist mir die Achsenbeschriftung egal), die Pfeilspitzen in die negative Richtung habe ich aber noch beibelassen, weil sonst die Grafik etwas merkwürdig aussieht. Zu 2: Hatte ich heute morgen schon korrigiert (Cache?). Zu 3: Ich habe die Stützvektoren und die Normalenvektoren etwas verlängert, sodass letztere aus der Ebene herauszeigen, und die Richtungsvektoren paralleler an den Ebenenenseiten ausgerichtet. Besser so? Damit du die neuen Versionen angezeigt bekommst, mussst du wahrscheinlich deinen Cache leeren. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:25, 11. Feb. 2014 (CET)

Super. Ging auch ohne Cache leeren. Nur die Pfeilspitzen in negativer Richtung irritieren mich noch. --Digamma (Diskussion) 21:05, 11. Feb. 2014 (CET)

Nachtrag: Bei der Achsenabschnittsform müsstest du auch die Achsenabschnitte den neuen Achsen anpassen. --Digamma (Diskussion) 21:08, 11. Feb. 2014 (CET)

Okay. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:35, 11. Feb. 2014 (CET)

Das ging ja fix. Vielen Dank und viele Grüße, --Digamma (Diskussion) 21:39, 11. Feb. 2014 (CET)

Hyperebene, Koordinatenform

Es steht, dass bei Hyperebenen die Gleichungen der Parameterform und Dreipunkteform die selben bleiben. Aber was ist mit der Koordinatenform? Wird diese im $\mathbb {R} ^{4}$ vielleicht zu

$Ax_{1}+Bx_{2}+Cx_{3}+Dx_{4}+E=0$ ?

--OnkelSchuppig (Diskussion) 13:18, 1. Okt. 2016 (CEST)

Um es klar zu machen: Eine Hyperebene ist eine $n-1$-dimensionale "Ebene" in einem $n$-dimensionalen Raum. Im 4-dimensionalen Raum also eine 3-dimensionale "Ebene". Das ist genau das, was deine Gleichung beschreibt. Das ist auch mit dem Satz "Durch die impliziten Formen wird allerdings in höherdimensionalen Räumen keine Ebene mehr beschrieben, sondern eine Hyperebene der Dimension $n-1$." gemeint. Die Koordinatenform ist eine implizite Form.

Demgegenüber bezieht sich der Satz "Die Parameterform und die Dreipunkteform behalten ihre Darstellung, wobei lediglich mit $n$-komponentigen statt dreikomponentigen Vektoren gerechnet wird." auf 2-dimensionale Ebenen im n-dimensionalen Raum. Dies besagt der Satz "Eine Ebene ist dann eine lineare 2-Mannigfaltigkeit im $n$-dimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$."

Konkreter: Die Parametergleichung

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\p_{4}\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}},\quad r,s\in \mathbb {R}$

beschreibt eine 2-dimensionale Ebene im 4-dimensionalen Raum. Die von dir oben angegebene Koordinatengleichung

$Ax_{1}+Bx_{2}+Cx_{3}+Dx_{4}+E=0$

beschreibt eine 3-dimensionale Hyperebene im 4-dimensionalen Raum. Eine Parameterdarstellung dafür bräuchte 3 Spannvektoren und 3 Parameter:

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\p_{4}\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\w_{4}\end{pmatrix}},\quad r,s,t\in \mathbb {R}$

--Digamma (Diskussion) 13:45, 1. Okt. 2016 (CEST)

Die Achsen sollten umbenannt werden in den Bildern und zwar zu $x_{1},x_{2},x_{3}$ weil der Vektor ${\vec {x}}$ aus diesen Komponenten besteht, ansonsten ist das für Anfänger nicht nachzuvollziehen, dass der Vektor ${\vec {x}}$ aus $x,y,z$-Komponenten besteht. In anderen Worten es ist hier unheitlich Bilder und Formeln.