Diskussion:Erhaltungssatz

Beispiel / Fehler

Ein Beispiel wäre schön. Stoßprozesse wären ein guter Ansatz. Die Frage ist, welche Annahmen man alles nennen muss, damit man auch ein geschlossenes System erhält. Allerdings ist die Einleitung auch problematisch, denn ein geschlossenes System garantiert schon laut Definition keine Energieerhaltung. -- Amtiss, SNAFU ? 12:49, 13. Mär. 2008 (CET)

Mh, sicher dass das Problem nicht beim Artikel Geschlossenes System liegt? --P. Birken 15:02, 13. Mär. 2008 (CET)

Ja, die Unterscheidung von 3 System-Typen ist so. Ich ändere das hier mal. -- Amtiss, SNAFU ? 14:42, 14. Mär. 2008 (CET)

Fehler der früheren Version

Die Behauptung:

"Erhaltungssätze für kontinuierliche Größen lassen sich über den gaußschen Integralsatz typischerweise in die Form

${\frac {\partial }{\partial t}}u+\nabla \cdot f(u)=0$

bringen."

ist falsch: der Strom ist keine Funktion f(u) der Ladungsdichte. Insbesondere gibt es Lösungen der Kontinuitätsgleichung mit verschwindender Ladungsdichte, nämlich Strom in einem Kupferkabel. Das ist _ungeladen_.

Die Behauptung:

"Im Regelfall ist die Gleichung eine hyperbolische partielle Differentialgleichung."

ist haarsträubend falsch. Hyperbolisch heißen Differentialgleichungen wie

$(d_{t}^{2}-d_{x}^{2})u=0$

deren zugehörige quadratische Form nicht definit ist.

Daß man partielle Differentialgleichungen numerisch mit Methoden finiter Elemente bearbeiten kann, hat mit dem Thema "Erhaltungssatz" nichts zu tun.

Norbert Dragon 13:17, 15. Apr. 2008 (CEST)

Zwei Dinge vorweg: an die Wikiquette sollte man sich halten, egal ob man Recht hat oder nicht und dann ist es ziemlich peinlich, wenn man sich in dieser Art äußert, obwohl man offensichtlich über diesen Aspekt von Erhaltungssätzen nie groß nachgedacht hat.

Dann mal zum inhaltlichen. Fangen wir bei den partiellen Differentialgleichungen an: die von dir angegebene Bedingung ist ein Speziallfall der Bedingung für Gleichungen zweiter Ordnung (Ja, die Wellengleichung ist nur ein Prototyp für hyperbolische Gleichung, es gibt auch noch andere...). Nun ist die genannte nicht zweiter Ordnung, trotzdem ist es möglich, sie zu klassifizieren. Anschaulich betrachtet beschreiben hyperbolische PDEs Transportprozesse und um genau solche geht es hier: wie die erhaltene Variable im Raum transportiert wird. Konkreter ist die skalare eindimensionale Gleichung $u_{t}+f(u)_{x}=0$ hyperbolisch, wenn die Ableitung für alle Werte von u reell ist und analog bei Systemen, wenn die Eigenwerte der Jacobi-Matrix reell sind usw. für mehr-D. Nicht hyperbolisch wird das ganze dann, wenn höhere Ableitungen auftauchen, dann kriegt man in der Regel parabolische Gleichungen (bsp. die Wärmeleitungsgleichung). Was die Abhängigkeit angeht, so haben Energie- und Impulserhaltung diese Form, mir scheint die Ladungserhaltung da die Ausnahme zu sein. Die Herleitung mittels des Satzes von Gauss wird in Ladungserhaltung allerdings sogar explizit erwähnt, kein Wunder, wo sollte es sonst herkommen?

Dann hat hier niemand von Finiten Elementen geredet, sondern die Rede ist von Finite-Volumen-Verfahren und die sind nur auf Gleichungen anwendbar, die Erhaltung beschreiben und ja, ich denke das hat sehr viel mit dem Thema "Erhaltungssatz" zu tun.

Dann noch die Frage: warum genau wird die Massenerhaltung mit keinem Satz mehr erwähnt? Dass sie es keine Massenerhaltung im engeren Sinne gibt, halte ich für ein wichtiges Thema, was hier erwähnt werden sollte.

Abschliessend schlage ich vor, einen eigenen Abschnitt zu Erhaltungsgleichungen zu machen, in dem die mathematische Beschreibung von Erhaltungssätzen dargestellt wird. Und bevor hier wieder so ein Ausbrauch kommt: als Literatur für diesen Aspekt empfehle ich die Bücher von LeVeque, als Einstieg ist Randall J. LeVeque: Numerical Methods for Conservation Laws: Lectures in Mathematics, 1992, Birkhäuser Verlag bestens geeignet, aber auch P. Wesseling: Principles of Computational Fluid Dynamics, 2000, Springer Verlag ist sehr gut. Viele Grüße --P. Birken 21:58, 16. Apr. 2008 (CEST)

Zur Wikiquette: "Irrige Aussagen" ist mit Sicherheit kein persönlicher Angriff. Du braucht nicht anderen verwerfen, dass sie sich nicht dran halten und im gleichen Atemzug unterstellen, der Gegenüber hätte keine Ahnung von dem Thema. Das ist ein persönlicher Angriff. Also nächstes Mal bitte gleich auf die Diskussionsseite statt erstmal zu reverten. Danke.

Zum Thema: Die Entfernung vom Bezug auf abgeschlossene Systeme ist natürlich auch richtig, denn der steckt in den Erhaltungssätzen selbst drin. (siehe z.B. Energieerhaltungssatz) -- Amtiss, SNAFU ? 22:13, 16. Apr. 2008 (CEST)

Ich habe dem Gegenüber nicht vorgeworfen, er habe keine Ahnung vom Thema, sondern dass er den Aspekt, um den es geht, nicht durchdrungen habe. Und bei der Wikiquette geht es auch nicht ausschließlich darum, dass man andere nicht persönlich angreifen soll (was ich ihm auch nicht vorgeworfen habe), sondern auch darum, dass man ihnen nicht einfach Dinge unterstellt sondern versucht, sachlich zu bleiben. Mir zu sagen, was ich schreibe sei haarsträubend falsch gehört garantiert nicht dazu. Und ja, ich bekenne mich schuldig, die Sachlichkeit ist auch mir nicht gelungen, eben weil ich mich über den Ton tierisch ärgere. Ansonsten möchte ich auch Dich bitten, erstmal die Fakten klar zu kriegen bevor Du Dich hier einmischst: Ich habe nicht einfach revertiert, sondern mich nur um einen kleinen Teil der Überarbeitungen gekümmert und das wurde dann von Benutzer:Norbert Dragon kommentarlos revertiert... --P. Birken 22:20, 16. Apr. 2008 (CEST)

Die Diskussion über die Gleichung u_t + f(u)_x = 0 braucht im Zusammenhang mit Erhaltungssätzen nicht geführt werden, denn die als Beispiel angeführten Erhaltungssätze haben nicht die Form, daß die Stromdichte eine Funktion der Ladungsdichte ist, sondern Kontinuitätsgleichungen u_t + j_x = 0. Ich räume ein, daß meine sich sträubenden Haare bei der Klassifizierung von u_t + f(u)_x = 0 als hyperbolisch auf einem Lesefehler beruhten. Gelesen hatte ich nämlich, daß die Kontinuitätsgleichung u_t + j_x = 0 hyperbolisch sei (und das ist haarsträubend). Daß zum Beispiel für f(u)=u die Gleichung (d_t + d_x)u = 0 genauso als hyperbolisch klassifiziert wird wie die Wellengleichung (d_t - d_x)(d_t + d_x)u = 0, ist richtig. Norbert Dragon 20:35, 17. Apr. 2008 (CEST)

Das wesentliche Beispiel sind die Navier-Stokes-Gleichungen als System aus Massen-, Energie- und Impulserhaltung, auch wenn da streng genommen $u_{t}+f(u,\Delta u)_{x}=0$. Energie und Impulserhaltung sind hier durchaus als Beispiel angegeben. Wie man die Gleichung u_t + j_x = 0 klassifizieren würde ist mir übrigens nicht ganz klar, aber auch die passt gut ins Bild, eben weil sie auch auf dem klassischen Weg über den Divergenzsatz hergeleitet wird. --P. Birken 21:38, 17. Apr. 2008 (CEST)

Zum Massenerhaltungssatz: Es gibt keine Massenerhaltung, wie Betreiber von Kernkraftwerken wissen. Die Summe der Massen der Ausgangskerne ist meßbar größer als die Massensumme der Tochterteilchen (auch wenn die Geschwindigkeiten der Tochterteilchen nichtrelativistisch ist).

Die Massenerhaltung in Newtonscher Mechanik ist kein nennenswerter Erhaltungssatz. In gleichem Sinn ist 0 oder jede andere Zahl eine Erhaltungsgröße. Nennenswerte Erhaltungsgrößen sind nichtkonstante Funktionen der Größen, die man beim Start mit unterschiedlichen Werten vorgeben kann, beispielsweise Orte und Geschwindigkeiten von Teilchen, Werte und Ableitungen von Feldern). Diese Größen ändern sich nach dem Start. Erhaltungsgrößen sind solche Funktionen dieser sich ändernden Größen, die sich nicht mit der Zeit ändern, sondern ihren Startwert behalten. Beispielsweise hängt die Energie eines Teilchens im Potential

E = 1/2 m v^2 + V(x)

von der Geschwindigkeit v ab (die kann sich mit der Zeit t ändern) und vom Ort x ab (der ändert sich ebenfalls normalerweise mit der Zeit t) aber

1/2 m v^2(t) + V(x(t)) = 1/2 m v^2(0) + V(x(0))

hat den Wert, den es beim Start hatte. Die möglichen Startwerte der Massen, hingegen, sind in Newtonscher Mechanik unabhänderlich. Sie sind sowenig Funktion der Startwerte wie die Zahl 0. Norbert Dragon 20:35, 17. Apr. 2008 (CEST)

Wie ich schon schrieb ist mir klar, dass es keine Massenerhaltung gibt, ich halte es trotzdem für schlecht, genau das nicht zu erwähnen, denn die Massenerhaltung spielt eine wesentliche Rolle in der Kontinuumsmechanik. Hier wäre es sinnvoll zu erklären, dass es eben keine Massenerhaltung gibt, aber dass sie als Modell in sehr vielen wesentlichen Situationen ganz hervorragend funktioniert. --P. Birken 21:38, 17. Apr. 2008 (CEST)

Diskussion der Ergänzung vom 18.04.2008

Ich schlage vor, die Diskussion über die Unzulänglichkeiten der früheren Version abzubrechen und darüber zu diskutieren, welche Wünsche die Ergänzungen offen lassen.Norbert Dragon 11:32, 18. Apr. 2008 (CEST)

Auf die Gefahr hin, mich zu wiederholen, es fehlen komplett Erhaltungsgleichungen, finite Volumenverfahren, Systeme von Erhaltungsgleichungen wie die Navier-Stokes-Gleichungen und die mathematische Behandlung. --P. Birken 19:25, 19. Apr. 2008 (CEST)

Zunächst einmal vielen Dank für die behutsamen Verbesserungen. Aber Deinen Einwand verstehe ich nicht. Die Kontinuitätsgleichung ist genannt. Sie ist die Erhaltungsgleichung für alle genannten Beispiele. Sie reicht normalerweise nicht, die Bewegung des Systems festzulegen. Spezialfälle kannst Du gerne ergänzen oder einen Artikel über die Navier-Stokes-Gleichung schreiben. Wenn der Artikel über Erhaltungssatz größer wird, braucht er eine Kapiteleinteilung. Norbert Dragon 12:00, 21. Apr. 2008 (CEST)

Etwas seltsam finde ich dagegen den neuen Abschnitt zur Energieerhaltung, passt das nicht besser nach Energieerhaltung? --P. Birken 19:25, 19. Apr. 2008 (CEST)

Das Beispiel zur Energieerhaltung soll zeigen, wie integrable Systeme integriert werden. Es könnte natürlich auch zu einem anderen Stichwort verschoben werden, auf den man dann hier nur verweist.Norbert Dragon 12:00, 21. Apr. 2008 (CEST)

Die Aussage "Die Bewegung eines physikalischen Systems läßt sich genau dann durch Integrale angeben, wenn es gleichviele Erhaltungsgrößen wie Freiheitsgrade besitzt. Dabei müssen die zu den Erhaltungsgrößen gehörigen Symmetrietransformationen die Bedingung erfüllen, daß es nicht auf die Reihenfolge ankommt, wenn man sie hintereinander ausführt." erhscheint mir mathematisch fragwürdig: es geht um nichtlineare Zusammenhänge, da ist das alles nicht so einfach. gibt es dafür eine Quelle wo ich das nachlesen kann? --P. Birken 19:25, 19. Apr. 2008 (CEST)

Die Aussage betrifft integrable, Hamiltonsche Bewegung. Integrabel heißen Systeme mit n Freiheitsgraden, wenn sie n Erhaltungsgrößen phi_i besitzen, die in Involution sind, das heißt, die Poisson-Klammern {phi_i,phi_j} verschwinden. Die von den Erhaltungsgrößen erzeugten Transformationen im Phasenraum vertauschen. Sie sind Translationen und erzeugen, angewendet auf einen Punkt, Tori. Die Hamiltonsche Bewegung von Punkten im Phasenraum verläuft auf diesen invarianten Tori. Führt man für diese Tori Wirkungs- und Winkelvariable ein (die sind durch Rechenoperationen wie Integrieren über gegebene Funktionen und Auffinden von Umkehrfunktionen konstruierbar), so hat die Hamiltonfunktion solch eines Systems von n Freiheitsgraden die Form H(q,p) = f(p) mit trivial lösbaren Bewegungsgleichungen. Stört man solche integrable Bewegung durch einen kleinen, generischen Zusatzterm zur Hamiltonfunktion, so werden einige der Tori, auf denen die physikalischen Bahnen verlaufen, nur verformt, bleiben aber erhalten, das heißt, die dortigen physikalischen Bahnen werden nur wenig geändert. Das besagt das KAM-Theorem. Aber zwischen je zwei solcher verformter Tori gibt es auch chaotische Bahnen. Das heißt, die Menge der Anfangsdaten, zu denen quasiperiodische Lösungen gehören, ist nirgends dicht. Sie hat aber, wenn die Abweichung vom integrablen Hamiltonoperator klein ist, großes Maß. Nachlesen kann man das unter anderem für kurze Zeit bei http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/eilenberger.pdf Norbert Dragon 12:00, 21. Apr. 2008 (CEST)

Fehler

Das Noether-Theorem besagt lediglich:

"Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße."

Im Artikel ist jedoch

"Zu jedem Erhaltungssatz gehört nach dem Noether-Theorem eine kontinuierliche Symmetrie der Wirkung und umgekehrt gehört zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Wirkung ein Erhaltungssatz."

zu lesen, was meiner Meinung nach so falsch ist da die Rückrichtung Erhaltungsgröße -> Symmetrie nicht gilt.

-- Huygens 16:07, 14. Sep. 2010 (CEST)

Um es hier nicht unkommentiert zu lassen: Doch. Revertiert. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 23:15, 29. Jul. 2019 (CEST)

Schwache Ladung nicht erhalten

Dass die nicht erhalten ist, sieht man z.B. daran, dass die Austauschbosonen miteinander wechselwirken (W+W -> Z etc.). Korrigiert.--jbn (Diskussion) 23:32, 14. Aug. 2013 (CEST)