Diskussion:Eulersche Formel

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Komplexe Potenz

(Die Erklärung der Definition und allgemeinen Eigenschaften der komplexen Potenz sollte in Potenz (Mathematik) eingearbeitet werden.)

Varianten

Es gibt doch auch noch die Varianten, die die Eulersche Identität nach sin bzw. cos auflösen: cos(x)= ½(e^ix + e^{- ix})

– oder so ähnlich. Wäre es nicht sinnvoll die beiden und die jeweilige Herleitung zu erwähnen.

Mich persönlich würde das zumindest freuen :) Ciao, --Dunkeltron 01:04, 20. Mär 2005 (CET)

i hoch i

Hat das hier direkt etwas verloren? Gehört das nicht eher zum Thema Potenz oder Logarithmus? Denn die Schwierigkeiten liegen ja nicht bei der Euler-Formel, sondern vorher.--Gunther 13:52, 21. Mai 2005 (CEST)

Ich meine, es gehört eindeutig zu Potenz (Mathematik), Abschnitt "Potenzen komplexer Zahlen".--JFKCom 19:37, 10. Apr 2006 (CEST)

Habe das nun einfach mal umgesetzt.--JFKCom 22:29, 26. Jul 2006 (CEST)

Geltungsbereich

Der Gültigkeitsbereich der Eulerschen Formel für $\phi$ ist hier leider nicht erwähnt. Sie ist ja auf den komplexen Zahlen gültig. Sollten wir dann nicht besser das Argument z statt $\phi$ nennen? Bei der Herleitung taugt die als 2. Weg angesprochene Variante über die Reihenentwicklung der exp-Funktion sofort als Beweis; kann jemand nachprüfen, ob das auch der 1. Weg tut? -- JFKCom 23:16, 10. Jul 2005 (CEST)

Ich meine, dass die Formel mit $\varphi$ (als reelle Zahl) bekannt geworden ist, aber ich mag mich täuschen. Ihr primärer Nutzen lag ja auch darin, die komplexe Exponentialfunktion per $\mathrm {e} ^{x}(\cos y+\mathrm {i} \sin y)$ auf bekannte reelle Funktionen zurückführen zu können. Das sollte eigentlich im Artikel stehen, oder? ;-)

Die Herleitungen sehe ich ohnehin eher als nette Motivation denn als Beweis. Das Problem ist ja, dass eine der Standarddefinitionen von Sinus und Kosinus eben über die eulersche Identität erfolgt, man müsste sich also auf eine spezielle Herangehensweise festlegen, und das ist in diesem Rahmen kaum möglich oder sinnvoll.

Wenn man den ersten "Beweis" für reelle Zahlen akzeptiert, dann kann man natürlich argumentieren, dass zwei holomorphe Funktionen, die auf der reellen Achse übereinstimmen, gleich sind :-) --Gunther 23:50, 10. Jul 2005 (CEST)

Ok, Euler hat in 1748 die Formel wirklich nur für reelle $\varphi$ formuliert. Dann lassen wir die Bezeichnung $\varphi$. Aber wäre es nicht trotzdem besser, im Text zu erwähnen, daß die Formel für alle $\varphi \in \mathbb {C}$ gültig ist? -- JFKCom 19:17, 11. Jul 2005 (CEST)

Ja, vielleicht mit dem entsprechenden Warnhinweis, dass das je nach Definition von sin & cos nicht mehr besonders tiefsinnig ist.--Gunther 20:03, 11. Jul 2005 (CEST)

Hab' mich mal verwirklicht; fehlt noch dein Hinweis wg. sin/cos. -- JFKCom 21:10, 11. Jul 2005 (CEST)

Anschauung

Wir könnten diese Seite deutlich aufpeppen, wenn wir das Bild aus Kap. "Anschauung" gleich oben hin basteln würden. Dazu müßte aber ein freiwilliger das Bild neu erzeugen, weil da drin alpha statt varphi verwirklicht ist. -- JFKCom 21:13, 11. Jul 2005 (CEST)

Ich kümmere mich darum, ich hab schon ein ziemlich ähnliches Bild irgendwo rumliegen.--Gunther 21:23, 11. Jul 2005 (CEST)

Ist eingebaut. Die Schriftarten sind leicht unterschiedlich, und die Schrift ist vielleicht insgesamt etwas klein. Soll ich das noch ändern?--Gunther 23:56, 14. Jul 2005 (CEST)

Je nach Aufwand. Ich find's gut.--JFKCom 18:52, 22. Jul 2005 (CEST)

Ähm, das ist schon nachgebessert... :-) --Gunther 18:58, 22. Jul 2005 (CEST)

Aaaah, drum find' ich's wohl auch so gut.--JFKCom 19:02, 22. Jul 2005 (CEST)

Das wollte ich hören, danke :-) --Gunther 19:04, 22. Jul 2005 (CEST)

Darstellung der Eulerschen Identität und darin in Beziehung gesetzte Konstanten

Wg. der letzten Änderungen von 213.54.206.67 wollte ich mal kurz folgendes diskutieren: Für mich ist die Eulersche Identität der Spezialfall der Eulerschen Formel $\exp(iz)=\cos z+i\cdot \sin z$ und hat damit die Form $e^{i\pi }=-1$, was auch den Namen Identität rechtfertigt. Natürlich kann man diese Gleichung (wie jede andere Gleichung auch) nach $0$ auflösen. Das bringt aber m.E. nichts Neues und macht die Formel länger. Bei der Erwähnung der involvierten mathematischen Konstanten halte ich die Null überflüssig wie einen Kropf, weil man ja jede Gleichung nach Null auflösen kann und damit dieses additive Nullelement in jede Gleichung einschleppen könnte.--JFKCom 19:14, 22. Jul 2005 (CEST)

Ich finde die Hochstilisierung der Formel albern, aber das ist unabhängig von der Form. Solange die Vorzeichen stimmen, ist mir egal, ob die 1 rechts oder links steht. In der en-WP hat die Formel sogar einen eigenen Artikel (en:Euler's identity vs. en:Euler's formula). Mir kam auch schon der Gedanke, den Artikel nach Eulersche Formel zu verschieben. Gäbe es da irgendwelche Einwände?--Gunther 19:24, 22. Jul 2005 (CEST)

Aha, vor allem die Diskussion zu en:Euler's identity zeigt, dass da einer paste&copy&translate vom englischen Eintrag gemacht hat (was ja an sich nicht schlecht ist), man dort aber den Eindruck gewinnt, dass das ganze Feynman-Zitat eigtl. überhaupt nicht zur Euler-Identität paßt. Unabhängig davon, ob das ein authentisches Feynman-Zitat ist oder nicht, halte ich es auch für verzichtbar (besonders aber die Null, die mich da am meisten stört). Aber nochmal: Mir ist es beileibe nicht egal, wo die 1 in der Formel $e^{i\pi }=-1$ steht, da das Ding Eulersche Identität heißt.--JFKCom 19:58, 22. Jul 2005 (CEST)

Und "Identität" ist nicht einfach ein anderes Wort für "Gleichung"?--Gunther 20:01, 22. Jul 2005 (CEST)

Denk, grübel. Jetzt wirds wohl annähernd philosophisch. Ich sag' mal ganz klar jein. Zitat aus Brockhaus: "Identität ist die vollständige Übereinstimmung in allen Merkmalen im Unterschied zur Gleichheit". Sagen wir mal so: Identität "A=B" meint, daß die beiden Brocken A und B völlig übereinstimmen. Da hier A die e-Potenz und B die -1 ist, ist die Identität sehr suggestiv. Die Identität "A-B=0" sagt, daß das 2-Term-Monster "e-Potenz+1" mit der Null völlig übereinstimmt, was m.E. nicht mehr ganz so suggestiv, sondern umständlich umformuliert ist.--JFKCom 20:12, 22. Jul 2005 (CEST)

Wie gesagt, mir ist es egal, von daher muss ich Dein Argument auch nicht schlüssig finden *fg* --Gunther 20:25, 22. Jul 2005 (CEST)

In der Mathematik ist der Begriff Identität anders definiert, nämlich als eine Gleichung die wahr ist füe beliebige Werte der Unbekannten. So ist (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 eine Identität, nicht aber x-2=0. Der Ausdruck e^(ip)=-1 ist auch nur eine Gleichung aber keine Identität. In meiner Meinung, soll der Artikel in diesem Sinne geändert werden.--Bohdan 23:41, 4. Jan. 2009 (CET)

Wie ist e^ix definiert? Über eine Reihe?

Ich bin mir zwar nicht ganz sicher, aber kann man $e^{ix}$ auch anders als über Reihen definieren? Falls nein, könnte man das ja bei Beweismethode 1) noch erwähnen, da man ja eigentlich trotzdem das Wissen über Reihen im Kopf haben muss. --Nabla² 16:36, 15. Aug 2005 (CEST)

Die Definition über die Exponentialreihe ist die gängigste. Man kann aber auch andere Wege der Definition finden (z.B. über die Selbstreproduktion der Funktion $e^{x}$ auf $\mathbb {C}$ bei Bilden der 1. Ableitung). Ich persönlich halte ja Beweismethode 1) für umständlich und eigentlich überflüssig.--JFKCom 15:10, 16. Aug 2005 (CEST)

Sehe ich prinzipiell auch so, nur mit Methode 1 und der von dir genannten alternativen Definition von $e^{x}$ kommt man in den komplexen Zahlen etwas weiter, wenn man keine Reihen kennt (komplexes Differentieren einzuführen sollte einfacher sein als die Behandlung von Reihen). Welcher Author oder Buch benutzt eigentlich diese alternative Definition?--Nabla² 19:02, 17. Aug 2005 (CEST)

Das mit dem verzichten auf Reihen ist so 'ne Sache: Setzen wir mal voraus, dass man die 3 Funktionen exp, cos, sin auf den reellen Zahlen kennt (möglicherweise ohne Kenntnis von Reihen). Dann ist auf $\mathbb {C}$ ein Kandidat für die Exponentialfunktion erklärt durch $f(a+bi)=e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b$, d.h. die Eulersche Identität ist dann nicht eine Erkenntnis, sondern eine Festlegung des Kandidaten für die komplexe Exponentialfunktion. Für $f$ sieht man nun zunächst die reelle Differenzierbarkeit, zusätzlich zeigt man, dass die Cauchy-Riemannschen Gleichungen bestehen. Damit ist dann die komplexe Differenzierbarkeit von $f$ gezeigt, und dann erst folgert man die Selbstreproduktion bei Ableitung $f'(z)=f(z)$ überall auf $\mathbb {C}$, denn diese ist eine Aussage über die komplexe Differenzierbarkeit. Sobald man dann mal Reihen "in die Hand nimmt", sieht man, dass $f$ die komplexe Variante der Exponentialreihe und damit die natürliche Definition einer Exponentialfunktion auf $\mathbb {C}$ ist. Und dann sieht man frustriert, dass man auf all die hübschen Eigenschaften schneller gekommen wäre, wenn man gleich mit der Reihendarstellung gestartet wäre. Oder mit einem Zitat von Reinhold Remmert (Literatur: R. Remmert, Funktionentheorie I, Springer-Verlag 1984, ISBN 3540127828): In den [...] Beispielen (davon eines die oben erklärte Herleitung der Exponentialfunktion, Anm. von mir) werden komplex differenzierbare Funktionen aus transzendenten reellen Funktionen [...] gewonnen. In diesem Buch - wie überhaupt in der klassischen Funktionentheorie - wird diese Möglichkeit zur Konstruktion komplex differenzierbarer Funktionen nicht weiter verfolgt. Der Grund ist m.E., dass der "reihenlose" Zugang einfach der steinigere Weg ist.--JFKCom 21:22, 17. Aug 2005 (CEST)

Ja, du hast vollkommen recht, betrachtet man die Reihen fällt einem alles vor die Füße und es ist definitv der bessere Weg. Um einem Schüler die Eulersche Identität zu mindest andeuten zu können, ist aber der reihenlose Zugang IMO geeigneter, da das Differentieren ja "fast so wie im Reellen ist" (Cauchy-Riemann ist, glaube ich, nicht so das Problem), Reihen aber mehr oder weniger wieder etwas neues darstellen. Vielen Dank für die Literaturangabe!--Nabla² 13:37, 18. Aug 2005 (CEST)

Herleitung

Habe ich komplett entfernt, weil die Herleitungen eben viel zu stark von den verwendeten Definitionen der beteiligten Funktionen abhängen. Wenn man (wie heute Standard sein dürfte) die Exponentialfunktion über die Reihe und Sinus und Kosinus über Reihe oder Exponentialfunktion definiert, ist nichts zu beweisen. Die wesentliche Energie muss man dann in Eigenschaften von Sinus und Kosinus (Stichwort Gegenkathete zu Hypotenuse) investieren, aber das gehört nicht hierher.--Gunther 04:30, 20. Jun 2006 (CEST)

Damit's nicht gar so karg ist, habe ich die erste Methode, die mit Oberstufenmathematik nachvollziehbar sein sollte, wieder eingefügt.--Gunther 04:32, 20. Jun 2006 (CEST)

Hallo Gunther, wirfst Du mal einen kurzen Blick auf den eins weiter oben liegenden Diskussionspunkt? Demnach wäre ich nämlich eher dafür, den einfachen Reihenbeweis wieder einzufügen und eher den umständlichen in die Tonne zu kloppen. Da sagst, bei Reihendefinition ist nichts zu beweisen. Genau dieses "nichts" wird in Beweismethode 2 soweit ausgeführt, dass es auch der etwas flüchtigere Leser verstehen kann.--JFKCom 16:51, 20. Jun 2006 (CEST)

Die obige Diskussion scheint mir nur zu bestätigen, dass es einfach zu viele Möglichkeiten gibt, als dass man sinnvoll einen Beweis auswählen könnte. Den Abschnitt habe ich ja auch in "Motivation" umbenannt, weil er nur zeigen soll, dass die aus der Schule bekannten Ableitungseigenschaften und die eulersche Formel zusammenpassen.

Die wesentliche Erkenntnis von Euler hat aus meiner Sicht ohnehin eher diesen Charakter, nämlich dass die eulersche Formel für die (in irgendeinem näher zu bestimmenden Sinne) "richtige" komplexe Exponentialfunktion gilt. Ob man das nun an der Übereinstimmung der Potenzreihen oder an den Ableitungseigenschaften oder an der Funktionalgleichung und der Winkeltreue oder whatever festmacht, ist eher nebensächlich.--Gunther 17:02, 20. Jun 2006 (CEST)

"Spötter sagen ..."

Wer sagt das? Google findet zu dem Satz nur diesen Artikel. Quellenangabe bitte. --08-15 01:09, 15. Apr. 2007 (CEST)

ich habe den entsprechenden Satz mal entfernt, bis jemand eine Quelle liefern kann: [1] - sven-steffen arndt 10:18, 15. Apr. 2007 (CEST)

Schönere Variante?

Ist die schönste Formel nicht Variante

e^(i*pi) + 1 = 0

Jedenfalls hat mein Matheprof das so gesehen. Die relle Einheit, die imaginäre Einheit, der Ursprung und die zwei wichtigsten Zahlen der Mathematik in einem Konstrukt vereint. 81.189.84.10 12:46, 15. Apr. 2007 (CEST)

Da kann man drüber streiten, und das wurde auch schon in der Diskussion hier. Die Eulersche Identität ist allerdings die Gleichheit e^(i*pi) = -1 oder e^(i*2*pi) = 1, und nur in dieser Form ist die Klassifizierung als Identität sinnvoll: Eine bestimmte komplexe Potenz von e besitzt einen verblüffend einfachen Wert. Die Umschreibung ist lediglich eine modische Verkomplizierung der Formel, um künstlich die Null in die Formel reinzuschreiben. Über den Sinn dieses künstlichen Ergänzens der Null kann man trefflich streiten. Ich halte es für Blödsinn, da man zu jeder beliebigen Gleichung die Null künstlich hinzufügen kann. Davon abgesehen ist es jedenfalls nicht mehr sinnvoll, die null-ergänzte Form weiter „Identität“ zu nennen.--JFKCom 20:41, 15. Apr. 2007 (CEST)

Ok, ich find das "+1 = 0" auch schöner, aus vielen Gründen, hab aber ne ganz andere Frage: ist e das einzige x, welches x^pi*i + 1 = 0 erfüllt? Sprich: wird e durch diese Formel definiert? --Modran 05:02, 25. Mai 2007 (CEST)

"Davon abgesehen ist es jedenfalls nicht mehr sinnvoll, die null-ergänzte Form weiter „Identität“ zu nennen." Einspruch. "x+1=0" und "x=-1" bilden ebenfalls ein Identität: sie sind mathematisch identisch (in nahezu jedem definierten Zahlenbereich, zumindest aber in jedem allseits bekannten). Die Entscheidung, welches man von beiden benutzen möchte, muß also auf der Erklärungs-Ebene gefunden werden; mathematische Argumente kann es da nicht geben.

Die Erklärung muß sich dem Durchschnittsleser anpassen - und zwar vor allem an Leser, die gar keine Ahnung von der Materie haben. Denen muß man so einfach wie möglich darstellen, was "Eulersche Identität" ist. In diesem Sinne - aber auch nur in diesem - halte ich "x = -1" für besser. Aber nuch nur, wenn die weitere Erklärung sich exakt an diese Darstellung hält. --Modran 06:06, 25. Mai 2007 (CEST)

p.s.: wenn ich Deiner Argumentation folge, dann müßten auch alle Terme in ihrer komplexen Form dargestellt werden. Also: e+0i; pi+0i; 0+1i ...

Denn jede Vereinfachung davon ist für den Leser vielleicht eine "modische Verkomplizierung".

Auch ich habe die Eulersche Identität von fast allen Professoren und Lehrern mit der Null kennengelernt, als "die Formel mit einer verblüffenden Beziehung der fünf wichtigsten Zahlen/Konstanten der Mathematik" - und zu diesen gehört die Null aufgrund ihrer Geschichte und Bedeutung wohl unumstritten. Komplizierter finde ich das überhaupt nicht - äußerst viele Gleichungen der Mathematik sind oder beginnen als Auflösungen nach Null. Ich adde jetzt trotz Hinweis im Quelltext mal vorsichtig die andere Variante mit Hinweis darauf, dass sie keine Identität ist. Im Gegensatz zu weitverbreiteten Fehlbezeichnungen die hier sachrichtig unter ihrem korrekten Namen geführt werden ist die Variante der EI nicht einmal falsch, und - wie ich finde, durchaus aus ästhetischen und logischen Gründen - sehr weit verbreitet. Falls das jemand rückgängig machen möchte, bitte hier mitdiskutieren, ich versuche aber jetzt mal, bei meiner Änderung keinem auf die Füße zu treten! Endymi0n 01:43, 24. Jan. 2008 (CET) - edit: Die Englische WP nennt sogar nur die Version mit Null! Falls jemand Lust und Zeit hat, könnte er mal recherchieren, wie Euler sie selbst beschrieben hat. Endymi0n 02:15, 24. Jan. 2008 (CET)

Was mMn für die Variante mit der Null spricht: in e^(i*pi)=(-1) steht keine 1, sondern eben eine -1, und in e^(2*i*pi)=1 ist eine zusätzliche 2 dabei. Ich finde eine Variante mit 1 schöner als eine mit -1, und die Variante mit 0 schöner als die Variante mit 2. 91.37.240.64 00:16, 11. Jul. 2008 (CEST)

Wie kommt man auf die Formel?

Wie kommt überhaupt erst auf die Idee, die exp-Funktion mit Sinus und Kosinus gleichzusetzen? Der hat das doch nicht einfach mal so hingeschrieben und dann war das zufällig beides das gleiche!?

Wie hat man das also rausgefunden? --maststef 18:27, 19. Jan. 2008 (CET)

Das ging wohl über die Taylorreihe für $e^{x}$, $e^{x}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x)}{n!}}$, wenn du $x=i$ setzt, und die reellen und imaginären Summanden auseinander sortierst, erhältst du die Taylorformeln für Kosinus und Sinus. - Ich hab jetzt aber nicht in Gauß' Werk reingeschaut, um das zu checken ... 91.37.240.64 00:09, 11. Jul. 2008 (CEST)

Kritische Wahrnehmung der Formel

Was bedeutet eigentlich diese Überschrift? Was darunter steht, ist nicht "kritisch" im umgangssprachlichen Sinn, sondern eine Auflistung von "positiven Kritiken" (falls das so gemeint war). Nur das ist ja keine "kritische Wahrnehmung", sondern eine (positive) Würdigung oder Wertschätzung. 91.37.240.64 00:26, 11. Jul. 2008 (CEST)

Unvollständige Quellenangaben

Ich glaube, irgendwann sind die ausführlichen Quellenangaben verlorengegangen. Momentan steht hier nur: "Nahin, 2006, S.2–3 (Umfrage in der Sommerausgabe 1990). (engl.), Crease, 2004. (engl.), Zitiert in Crease, 2007. (engl.), Derbyshire p.210. (engl.)", nicht aber, auf welche Literatur sich diese Kurzquellen bezieht. Nczempin 16:52, 4. Aug. 2008 (CEST)

Bild

Die Eulersche Identität als Skarifizierung.

Das nebstehende Bild wäre eine trivialwissenschaftliche Ergänzung zum Artikel, bringt etwas Farbe in die schwarzweiß-Thematik und verringert die Distanz zwischen „Eulersche Identität“ und „Skarifizierung“ -- Gohnarch^░░░░ 21:55, 8. Mai 2009 (CEST)

e^z auflösen in e^(x+iy)

ihc beziehe mich hier auf folgende formel: http://up.wiki.x.io/math/c/7/e/c7ec7f52cf4350ac948c176f50fe0670.png aus dem abschnitt "eulersche Formel"

Wenn man dass so einfach macht geht ist es nicht direkt ersichtlich, das x und y beide aus R stammen müssen... und der bezug zu z wird auch nicht direkt klar.

man könnte ja auch x=z und y=0 setzen.

So wie es jetzt ist ist das keine aussage oder sachlich falsch....

Ich persönlich fände es besser, wenn man es folgendermaßen auflösen würde:

e^z=e^(Re(z)+i*Im(z))

Das hat 2 vorzteile:

1. Man hat nicht plötzlich ein x und ein y von dem man nicht genau weis was sie sind. 2. es wäre ersichtlich, wie man die zahl zerlegt. Auch wenn man meinen möchte, das das i ausreicht. aber ein i vor einer variable heist noch lange nicht, das diese variable selbst aus R stammen muss.

Ich hoffe ihr versteht, warum ich die besherige darstellugn für kritishc halte.

Ich bitte dringend um korrektur.

grüße nafnaf (nicht signierter Beitrag von 80.149.18.8 (Diskussion | Beiträge) 05:45, 12. Nov. 2009 (CET))

 Irgendwie kann da was nicht stimmen:

 e^z kann man schon so hinschreiben: e^(x+yi) oder e^(Re(z)+i*Im(z))
 aber dann ist |z| nicht e^x sondern (x²+y²)^(1/2).
 Kann ja jeder nachrechnen anhand von z=3+4i 
 |z|=(3²+4²)^(1/2)=25^(1/2)=5
 e^3 ist aber 20,085...

 Außerdem, wenn man schon einen Komplexe Zahl z in ihrer Koordinatenform aufschreibt (x+yi) (x,y elem. R),
 dann kann man b nicht einfach als Winkel in Winkelfunktionen einsetzten. Am Einheitskreis sieht man doch deutlich,
 das phi=tan(y/x) sein muss (nicht signierter Beitrag von 90.129.208.152 (Diskussion | Beiträge) 14:33, 26. Jan. 2010 (CET)) 

Eulerformel vs. Eulersche Identität

Wenn ich die engl. oder auch franz. Wikipedia betrachte, so ist unsere Eulersche Identität eher die Eulerformel: $e^{ix}=\cos x+i\sin x\!$. Die Eulersche Identität ist bei diesen Wikipediaversionen nur $e^{i\pi }+1=0,\,\!$, also der Spezialfall für $x={\pi }$. In Hildebrandt "Analysis 1! heißt sie Eulersche Formel, ist somit wieder etwas anderes als die hier erwähnte Eulersche Formel. Daher schlage ich die Verschiebung auf Eulerformel vor. Wenn was dagegen spricht, gerne melden. Ansonsten werde ich auf Dauer verschieben. Gruß --Star Flyer 19:36, 10. Mär. 2010 (CET)

Hallo Star Flyer, schön, dass Du's zur Sprache bringst, weil, dann muss ich kein neues Fass aufmachen. Denn es ist in der Tat so, dass die Eulersche Identität ein Sonderfall der Eulerschen Formel für $x={\pi }$ ist. Das ganze müsste also mit der Eulerschen Formel anfangen, und erst dann käme irgendwann auch die Eulersche Identität zur Sprache. Frage mich nur, wie das praktisch ghen soll, weil, im Moment wird man ja beim Eingeben von "Eulersche Formel" zur "Eulerschen Identität" durchgelinkt - danach müsste es genau umgekehrt sein und der Artikel selbst auch noch im Handumdrehn so umgestellt werden wie ich sagte, also erstmal mit der Eulerschen Formel beginnend. Wer oder was müsste dazu um grünes Licht gebeten werden? Oder bist Du selber, weil Du schreibst "werde ich auf Dauer verschieben", einer jener mächtigen Administratoren ;-)), die das dürfen? Schöne Grüße --Qniemiec 17:51, 12. Mai 2010 (CEST)

Hallo Star Flyer, habe nun selber die Umstellung gemacht... Viel Arbeit, weil, wenn die Leute über längere Zeit das falsche abschreiben, irgendwann alles ziemlich verwurstelt ist, also auch in anderen Seiten von "E. Identität" geredet wird, wenn "E. Formel" gemeint sein sollte ;-(. Hoffentlich bleibt der neue Zustand nun stabil. Liebe Grüße --Qniemiec 23:47, 12. Mai 2010 (CEST)

Hallo, danke dass du dich darum gekümmert und dich bei mir gemeldet hast. Gruß --Star Flyer 20:17, 13. Mai 2010 (CEST)

Infragestellung der eulerschen Identität

Ich bin davon überzeugt, dass man die sogenannte eulersche Idendität in Frage stellen kann. Aber gehört das hierhin?--Oktonius 17:29, 25. Feb. 2011 (CET)

Deine persönlichen Überzeugungen gehören nicht hier rein, nebenbei heißt es "Identität" mit 3 t. Selbst wenn das stimmen würde, müsstest du Sekundärquellen angeben, denn es gilt: Wikipedia:Keine Theoriefindung. Zitat: "Als Theoriefindung (originäre Forschung) gelten Aussagen in Artikeln der Wikipedia, die in keiner anerkannten Fachliteratur veröffentlicht sind." Wenn du eine Sekundärquelle angeben kannst, wäre es evtl. relevant, aber da ich eher Trollerei vermute, schließe ich hiermit. Lg --Star Flyer 21:20, 25. Feb. 2011 (CET)

Ich schreibe bewusst Idendität, bin aber auch bereit Identität. Aber das hier ist keine "Sprachseite". Betreffs Sekundärliteratur: meine Behauprung hat schon Euklid aufgestellt. Bei der Umformung der eulerschen Formel wird dies deutlich. So kann man nur von eulerschen Formeln sprechen. Die eulersche Identität ist Vergangenheit.--Oktonius 18:38, 6. Mär. 2011 (CET) Wenn ich das jetzt anschaue, sehe ich dass der "größte mathematische Unsinn" vom letzten Abschnitt wirklicher mathematischer Unsinn ist. Somit "Die eulersche Identität ist Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft. Die eulersche Identität mit einer Behauptung zu widerlegen, die beinhaltet, dass Pi ungefähr 3,14 ist, ist genau gleich, wie wenn man sagen würde -1 und +1 sind ungefähr 0. --Oktonius 11:53, 9. Apr. 2011 (CEST)

Stil

Der Ersteller des Artikels ist offensichtlich sehr begeistert von Mathematik, was ihm niemand absprechen müsste. Es sollte in einem Lexikon allerdings nicht so offensichtlich werden. Wörter wie "überraschend" und "verblüffend" haben deshalb in einem solchen Artikel nichts verloren. Ich habe einige davon entfernt.

--Jonnz 21:31, 31. Jul. 2011 (CEST)

Reelle und komplexe eulersche Formel und der Identitätssatz

Ich habe hierzu (letzter Absatz vor dem Inhaltsverzeichnis) soeben einen Einschub vorgenommen. Ich finde, dann wird der unmittelbare Zusammenhang zwischen der reellen und komplexen eulerschen Formel klarstellt. Die vor dem Inhaltsverzeichnis stehende Folgeformel gilt schon allein wegen der reellen eulerschen Formel. Dies wurde in der bisherigen Darstellung aber nicht deutlich. Zudem habe ich der Klarheit der Folgeformel wegen noch "phi = x + i*y " ergänzt. --Schojoha 17:45, 1. Dez. 2011 (CET)

Grafik "Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion"

Im oberen linken Quadranten scheint mir die Formel (e^ix - e^-ix)/2 falsch zu sein, sollte es nicht (e^ix - e^-ix)/2i lauten???

Viele Grüße,

Hartmut (nicht signierter Beitrag von 212.65.26.171 (Diskussion) 11:02, 2. Nov. 2015 (CET))

Hallo Hartmut, der Punkt ist ja nicht sin(x), sondern i·sin(x). Da kürzt sich also ein i heraus. Grüße -- HilberTraum (d, m) 19:41, 2. Nov. 2015 (CET)

Ach du je, ja! Danke :) (nicht signierter Beitrag von 212.65.26.171 (Diskussion) 15:45, 3. Nov. 2015 (CET))

Warum Radius 1

Ich bitte um eine OMA-gerechte Erklärung. Warum kommt bei e hoch (i mal phi) in der komplexen Ebene immer der Radius 1 heraus? Eigentlich müsste e hoch 0 gleich 1 sein, und müsste e hoch 1 gleich e sein. Danke für die Antworten. -- Karl Bednarik (Diskussion) 06:27, 21. Aug. 2017 (CEST).

Das Warum ist schwierig zu beantworten. Ist halt so. Du hast schon richtig darauf hingewiesen: Setzt man phi = 0, so erhält man 1, also eine Zahl mit Abstand 0 zum Nullpunkt.

Es ist zwar richtig, dass e hoch 1 gleich e ist, aber e hoch 1 kommt in der Formel nicht vor. Das liegt an dem Faktor i im Exponent. Der Exponent ist immer eine reich imaginäre Zahl, keine reelle Zahl wie die 1. (Ausnahme 0, das am Kreuzungspunkt der reellen und der imaginären Achse liegt).

Doch noch zum Radius 1: Den Betrag einer komplexen Zahl $z$ erhält man, indem man sie mit ihrem Konjugieren ${\bar {z}}$ multipliziert und dann die Wurzel zieht. Im Fall von $z=e^{i\varphi }$ ist das Konjugierte ${\bar {z}}=e^{-i\varphi }$. Wenn man die beiden multipliziert erhält man

$|z|^{2}=z{\bar {z}}=e^{i\varphi }\,e^{-i\varphi }=e^{i\varphi +(-i\varphi )}=e^{0}=1$,

also $|z|=1$. --Digamma (Diskussion) 10:23, 21. Aug. 2017 (CEST)

Unvollständig/Nicht so ausführlich

Ich wollte nur anmerken, dass der deutsche Artikel weniger Informationen enthält als z.B. die englische Version. Wäre es möglich, dass ein Fachkundiger das überträgt? (nicht signierter Beitrag von 128.131.200.29 (Diskussion) 10:13, 21. Nov. 2019 (CET))

3D Darstellung und Wechselstrom Kreisdiagramm

Gut, dann stell ich die Änderung erst mal zur Diskussion. Ich finde, die Abbildung 3D Darstellung trägt nichts zur Erläuterung der Eulerschen Identität bei. Es wird dort weiterhin die Notation j für die imaginäre Einheit verwendet, welche so nicht im Artikel steht, sowie z als reelle Zahl in exp(iz) verwendet, was gerade bei einem Artikel über komplexe Zahlen ungünstig ist. Die Abbildung "Zeigerdarstellung einer Wechselspannung" ist auch unnötig. Es gibt bereis zwei Kreisdiagramme im Artikel und es wird ebenfalls j verwendet. --141.89.116.54 11:37, 9. Dez. 2020 (CET)

Beziehung zwischen Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen

Es sollte darauf hingewiesen werden, dass sich die übrigen trigonometrischen Funktionen direkt aus der Eulerschen Formel $e^{ix}=\cos x+i\sin x.$ herleiten lassen.

Division durch cos(x) ergibt

$e^{ix}/{cosx}=e^{ix}\sec x=1+i\tan x.$

und die Division durch sin(x) ergibt

$e^{ix}/{sinx}=e^{ix}\csc x=\cot x+i.$ --188.104.105.43 23:57, 20. Jan. 2021 (CET)

Daraus ergeben sich die bildlichen Darstellungen (mit dem zugehörigen Satz des Pythagoras)

$e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha$

$(1=\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )$

$e^{i\alpha }sec\alpha =1+i\tan \alpha .$

$(\sec ^{2}\alpha =1+\tan ^{2}\alpha )$

$e^{i\alpha }csc\alpha =cot\alpha +i.$

$(\csc ^{2}\alpha =\cot ^{2}\alpha +1)$

--GHT153 (Diskussion) 01:14, 27. Mai 2021 (CEST)

Nochmal zum Geltungs-Bereich

Das Thema wurde schon vor 17 Jahren angesprochen, aber ich kann nicht darauf antworten, deswegen: Die Formel gilt doch nicht nur auf R, sondern auf ganz C. Wieso wird nur die schwächere Aussage erwähnt? 01Filippo (Diskussion) 12:22, 13. Jul. 2022 (CEST)

Eulersche Formel: Beweis

zum Beweis der Eulerschen Formel ohne die (für Laien wenig intuitive) Reihenentwicklung fand ich diesen Artikel, was IMO ebenfalls sinnvoll wäre zusätzlich aufzunehmen: https://mathematicsart.com/proof-eulers-equation/?fbclid=IwAR0ug0yqjV2w-K1weAvgggolXw7qBPA4ZvIPZBlEYK5ZeW2YhavwScxxfE0 --HWunder (Diskussion) 10:51, 12. Nov. 2023 (CET)

Meines Erachtens gute Idee. Bei Bedarf im Artikel hinzufügen. Mbasti01 (Diskussion) 21:30, 12. Nov. 2023 (CET)

Formel

Die Formel stimmt nicht. --212.89.171.188 11:32, 20. Mär. 2024 (CET)

Entdecker der Formel

[2] --212.89.171.188 12:01, 20. Mär. 2024 (CET)

Artikel überarbeitungswürdig

Ich sammele hier mal einige Kritikpunkte aus meiner Sicht und würde mich freuen über Rückmeldungen.

• Im Abschnitt "Eulersche Formel": Die Unart, zu verlinkten Begriffen noch Zusatzinformationen zu nennen, die man genauso gut im verlinkten Artikel nachlesen kann. Im Übrigen wird das auch überhaupt nicht konsistent gehalten: Im gleichen Satz werden zur deutlich erklärungsbedürftigeren imaginären Einheit keine Zusatzinfos angegeben.
• Die Unart, Folgerungen aus einer Formel (das ist bei Definitionen noch viel häufiger anzutreffen) nicht in einen eigenen Abschnitt zu packen. Aus der Eulerschen Formel folgt übrigens innermathematisch eine Menge, einige sind auch genannt, und es wäre ein ehrenhaftes Ansinnen, diese sowie weitere in einem eigenen Abschnitt zu bündeln.
• Im Abschnitt "Eulersche Identität" stehen eine Menge unbelegter und aus meiner Sicht zweifelhafter Behauptungen, z. B. dass die alternative Version "komplizierter" sei, das sie (also die Version $e^{i\pi }+1=0$) als schönste Formel der Mathematik gehandelt werde, dass dies daran liege, dass neben den konstanten auch drei Grundrechenarten (Potenzieren ist übrigens keine Grundrechenart) sowie das Gleichheitszeiche (das Gleichheitszeichen kommt gefühlt in 95 % der Formeln vor) vorkämen. Einiges mag stimmen, aber es fehlt an Belegen. (Z. B. gab es mal eine Abstimmung über die schönste Formel und darüber wurde auch in Zeitschriftenartikeln berichtet.)
• Die Bedeutung der Formel wird meines Erachtens zu wenig verdeutlicht. Z. B. fehlt der Hinweis, dass sich aufgrund der Formel für jede komplexe Zahl eine ganz neue Darstellungsform ergibt, nämlich die Exponentialdarstellung. Damit verbunden sind einfache Regeln für die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen. Diese grundlegenden Aspekte sollten meines Erachtesn in diesem Artikel Erwähnung finden.

--Mathze (Diskussion) 15:02, 27. Apr. 2024 (CEST)

Die vier (bzw. fünf) Konstanten der Eulerschen Formel sind eigentlich nur drei (bzw. vier).

In dem Artikel steht hier, dass die Eulersche Identität einen Zusammenhang zwischen den vier (In der Form $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\pi }={-1}$) bzw. fünf (In der Form $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\pi }+1=0$) "bedeutendsten" Konstanten der Mathematik herstelle. Daran habe ich auch lange geglaubt, jedoch wurde mein Glaube durch ein Video von Grant Sanderson (dem Creator des Youtube-Kanals "3Blue1Brown") erschüttert: https://www.youtube.com/watch?v=ZxYOEwM6Wbk. Darin argumentiert er aus meiner Sicht ziemlich überzeugend wenn nicht gar zwingend, dass der Buchstabe $\mathrm {e}$ in der Eulerschen Formel eben nicht für die Eulersche Zahl $\mathrm {e} =2,71828\ldots$ stehe. Bei 06:36 sagt er: "I would make the claim that this formula actually has nothing to do with the number e. That this number e doesn't actually play a role in what this formula is computationally saying." Vielmehr sei $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\pi }$ nur eine Kurzschreibweise für die komplexe Funktion $\exp(x):=\sum _{i=1}^{n}{\frac {x^{n}}{n!}}$. Diese sei im Reellen sinnvoll wegen der Identität $\exp(x)=[\exp(1)]^{x}=\mathrm {e} ^{x}$, wobei $\mathrm {e} :=\exp(1)$. Im Komplexen jedoch gelte diese Identität aber gerade nicht, weshalb die Schreibweise nicht als "Eulersche Zahl hoch x" gedeutet werden könne. Die gesamte Argumentation findet sich etwa zwischen Minute 25 und Minute 27.

Mich hat er zumindest damit überzeugt, und ich denke sein Argument ist mathematisch einwandfrei. Deshalb sollte die Interpretation der Eulerschen Formel dieses Artkeln überarbeitet werden. --Mathze (Diskussion) 18:42, 1. Mai 2024 (CEST)

Burkard Polster hat mich davon überzeugt, dass die Eulersche Formel doch eine Gleichung zwischen den vier Konstanten $\mathrm {e} ,i,\pi ,-1$ bzw. den fünf Konstanten $\mathrm {e} ,i,\pi ,1,0$ ist: https://www.youtube.com/watch?v=-dhHrg-KbJ0 --Mathze (Diskussion) 21:30, 3. Mai 2024 (CEST)