Diskussion:Gâteaux-Differential

Unterschied zur Frechet Ableitung

Was ist der Unterschied zwischen Gateaux- und Frechet-Ableitung? --Digamma 18:54, 11. Dez. 2007 (CET)

Die Frechet-Ableitung ist stärker, denn sie verlangt gleichmäßige Konvergenz. Zumindest ist das im FuAna Buch von Dirk Werner so, und ich glaube, auch im Wikipediaartikel zur Frechetableitung. --PatrickC 15:36, 22. Feb. 2011 (CET)

Und warum heißt es "Gateaux-Differential", aber "Frechet-Ableitung"? --Digamma 21:52, 29. Jan. 2008 (CET)

Was ist dieses D(f) und warum ist es einmal Element von Omega, und einmal andersrum? Warum ist f einmal auf D(f) definiert, einmal auf X Element D(f)?

In diesem Artikel werden Differential und Ableitung verwechselt. Diese zwei Konzepte sind nicht synonym. Guido Germano 23:23, 28. Okt. 2010 (CEST)

Fehler in Beispiel 3

Muss es nicht

$\delta f((0,0),v)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {(\epsilon \cdot v_{1})^{2}\cdot \left(1+{\frac {1}{\epsilon \cdot v_{2}}}\right)}{\epsilon }}={\frac {v_{1}^{2}}{v_{2}}}$

statt

$\delta f((0,0),v)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {(\epsilon \cdot v_{1})^{2}\cdot \left(1+{\frac {1}{\epsilon }}\cdot v_{1}\right)}{\epsilon }}={\frac {v_{1}^{2}}{v_{2}}}$

heißen?

Totale Ableitung

Im endlichdimensionalen Fall werden alle Richtungsableitungen zur totalen Ableitung zusammengefasst. Das Gâteaux-Differential verallgemeinert diese Konzepte auf unendlichdimensionale Vektorräume.

Vorsicht: Das Zusammenfassen im Endlichdimensionalen Fall ergibt nur dann Sinn und ist nur dann üblich, wenn die Funktion tatsächlich total differenzierbar ist. --Digamma (Diskussion) 16:01, 30. Mär. 2012 (CEST)

Du hast Recht, das habe ich übergangen, weil dazu doch die partiellen Ableitungen gerademal stetig sein müssen. Ich formulier mal anders. --Chricho ¹ ² 16:07, 30. Mär. 2012 (CEST)

Hm, mir ist keine vernünftige Formulierung eingefallen, die Jacobi-Matrix ist nun wirklich nicht so interessant hier. Ich überarbeite die Formulierung in Totale Ableitung nochmal. --Chricho ¹ ² 16:14, 30. Mär. 2012 (CEST)

Es ist ja so, dass es - wenn ich das richtig verstehe - bei der Gateaux-Differenzierbarkeit gerade um die Richtungsableitungen geht. Die totale Differenzierbarkeit entspricht der Frechet-Differenzierbarkeit. --Digamma (Diskussion) 20:09, 30. Mär. 2012 (CEST)

Ja, sehe ich genauso. In Totale Ableitung habe ich das noch ein wenig erläutert, hier wäre es wohl weniger interessant, höchstens der Zusammenhang zur Fréchet-Ableitung, wie er ebendort dargestellt ist. --Chricho ¹ ² 20:22, 30. Mär. 2012 (CEST)

So ganz verstehe ich nicht, warum bei Totale Ableitung das Gâteaux-Differential in der Einleitung erwähnt werden soll. Direkte Bezüge gibt es von "totale Ableitung" zur Fréchet-Ableitung einerseits und zu Richtungsableitung andererseits, und von Richtungsableitung und von Fréchet-Ableitung zum Gâteaux-Differential. Aber direkte Bezüge zwischen totaler Ableitung und Gâteaux-Differential sehe ich nicht. --Digamma (Diskussion) 20:30, 30. Mär. 2012 (CEST)

Hm, muss nicht unbedingt, ich dachte, es könnte erwähnt werden, weil die Bedingung fürs Übereinstimmen im Endlichdimensionalen besonders schwach ist (muss in Umgebung partiell differenzierbar sein und die Jacobi-Matrix in dem Punkt stetig). Wenn ich mir das für den unendlichdimensionalen Fall hier angucke, sieht das fast genauso aus. Wobei ich aus der Formulierung nicht schlau werde. Das ε soll wohl existenzquantifiziert sein, man könnte auch einfach sagen, dass es eine Umgebung geben soll. Aber was bedeutet die Stetigkeit im Punkt $\varphi$? Welche Topologie ist denn auf ${\mathcal {L}}(X,Y)$ definiert? --Chricho ¹ ² 20:54, 30. Mär. 2012 (CEST)

Im unendlichdimensionalen Fall wird nicht nur vorausgesetzt, dass die Richtungsableitungen existieren, sondern dass die Abbildung, die jedem Vektor v die Richtungsableitung in Richtung v zuordnet, linear und stetig ist. Schon die Linearität folgt nicht aus der Existenz aller Richtungsableitungen (auch nicht im Endlichdimensionalen), aber im Unendlichdimensionalen ist auch die Stetigkeit dieser linearen Abbildung eine echte Hürde. Der Raum L(X,Y) wird vermutlich mit der Operator-Norm versehen. Aber ich kenne mich da nicht aus. Da müssten die Funktionalanalysis-Experten ran.

Zum endlich-dimensionalen Fall: Die Bedingung für die Übereinstimmung ist nicht sehr stark, aber auch nicht zu vernachlässigen. Aber der Kern liegt natürlich im unterschiedlichen Fokus, bei der totalen Ableitung eben in der linearen Approximation. Deshalb gefällt mir auch die Formulierung, dass die Jacobi-Matrix die Richtungsableitungen zusammenfasst, nicht so gut. Der springende Punkt ist nämlich, dass es sich um eine Abbildungsmatrix handelt: Man kann mit dieser Matirix rechnen. Zum Beispiel ist die Jacobi-Matrix einer Verkettung das Matrizenprodukt der entsprechenden Jacobi-Matrizen. --Digamma (Diskussion) 21:12, 30. Mär. 2012 (CEST)

Ich habe es nachgelesen, tatsächlich, es ist bezüglich der Operatornorm. Die Linearität liefert ja schon der Begriff der Gâteaux-Differenzierbarkeit (wie er hier definiert ist, aber wie ich es auch gerade überprüft habe). --Chricho ¹ ² 21:28, 30. Mär. 2012 (CEST)

Wenn ich den Artikel richtig verstehe, dann sind Gâteaux-Differentiale die Richtungsableitungen, und sie können auch existieren ohne dass die Funktion Gâteaux-differenzierbar ist. Das scheint mir etwas widersprüchlich. Definiert man das tatsächlich so? --Digamma (Diskussion) 22:10, 30. Mär. 2012 (CEST)

Zum endlichdimensionalen Fall: Die Linearität scheint (wenn man Forster und zwei Skripten Glauben schenken mag) nicht separat zu zeigen zu sein. Die Stetigkeit der Ableitung in jede der n Richtungen des Koordinatensystems impliziert also schon die Linearität, wenn ich das richtig sehe. --Chricho ¹ ² 22:13, 30. Mär. 2012 (CEST)

Das ist natürlich richtig. Aus stetig partiell differenzierbar folgt total differenzierbar, und das beinhaltet die Linearität. Was ich meinte: Aus der Existenz aller Richtungsableitungen folgt nicht die Linearität. Ein Gegenbeispiel ist hier im Artikel, mehr dazu im Artikel Differenzierbarkeit. --Digamma (Diskussion) 22:25, 30. Mär. 2012 (CEST)

Wenn ich das richtig sehe, werden in Gâteaux-Differential momentan ja nur reellwertige Funktionen betrachtet. Wenn man das mit den anderen Differenzierbarkeitsbegriffen vergleichen möchte, müsste man doch eigentlich erst mal dahingegend was reparieren, oder? -- HilberTraum (Diskussion) 21:36, 30. Mär. 2012 (CEST)

Stimmt. Aber der reellwertige Fall scheint wohl der wichtigste zu sein. Zumindest bekomme ich den Eindruck, wenn ich den Artikel lese. Im endlichdimensionalen Fall ist es ja so, dass die Dimension des Zielraums für die Differenzierbarkeit keine Rolle spielt. Eine vektorwertige Funktion ist genau dann partiell oder total differenzierbar, wenn ihre Komponentenfunktionen diese Eigenschaften haben. Ist das im unendlich-dimensionalen wesentlich anders? --Digamma (Diskussion) 22:07, 30. Mär. 2012 (CEST)

Naja mit "Komponenten" wird's in unendlich-dimensionalen Räumen wohl etwas schwierig, aber nach en:Gâteaux derivative geht die jetzige Definition sogar noch durch, wenn X und Y lokal-konvexe topologische Vektorräume sind. Wie sich das aber auf die Beziehung zur Fréchet-Ableitung auswirkt, habe ich auch keine Ahnung. -- HilberTraum (Diskussion) 22:39, 30. Mär. 2012 (CEST)

Ja, da ist das anders, die Konvergenz des Differenzenquotienten hängt ja schon von der Norm ab. Zum Beispiel (χ sei die charakteristische Funktion):

$f:\mathbb {R} \to {\mathcal {L}}_{1,2}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),x\mapsto \left(y\mapsto |x|\cdot {\frac {1}{y}}\cdot \chi _{\left(1,1/|x|\right)}(y)\right)$

Betrachte nun die Differenzenquotienten an der Stelle 0: Für ${\mathcal {L}}_{1}$ divergieren die, für ${\mathcal {L}}_{2}$ konvergieren die gegen $\chi _{\left(1,\infty \right)}/y$. Zudem, was sollten die Komponenten sein: Basiselemente? Der Raum ist überabzählbardimensional, viel Spaß beim Konstruieren einer Basis. Funktionsstellen? Die sind eventuell völlig egal, weil darüber integriert wird, und im allgemeinen Fall gibt es soetwas ja garnicht (wenn man nicht gerade einen Funktionenraum hat). --Chricho ¹ ² 22:49, 30. Mär. 2012 (CEST)

Fehler in der Definition

Laut dem englischen Eintrag zu Gateaux-differenzierbarkeit (und auch dem Beispiel weiter unten) muss A kein linearer Operator sein, dh die Forderung der Existenz eines A \in L(X,Y) ist falsch. Bin kein Spezialist und habe auch noch nie einen Eintrag bearbeitet - vielleicht kann das jemand mit mehr Erfahrung tun? (nicht signierter Beitrag von 141.20.57.211 (Diskussion) 13:45, 2. Jul 2013 (CEST))

Einfach auf den Bearbeiten-Knopf oben rechts drücken. ;) Habe es jetzt geändert, steht auch in unserm Artikel, dass das nicht linear sein muss. --Chricho ¹ ² ³ 14:50, 2. Jul. 2013 (CEST)

Nach meiner Erinnerung von frühereren Recherchen gibt es unterschiedliche, von einander abweichende Definitionen. Die schwächste fordert nur die Existenz von Richtungsableitungen, andere aber fordern, dass A linear oder gar stetig ist. Es gibt auch Autoren, die zwischen Gateaux-Differenzial und Gateaux-Ableitung unterscheiden. --Digamma (Diskussion) 15:44, 2. Jul. 2013 (CEST)

Ja, ich kenne das eigentlich auch eher so, dass bei Gateaux-Differenzierbarkeit das Gateaux-Differential linear ist. Ich habe mal zwei solche Definitionen bei Google Books rausgesucht: [1], [2].

Was sollte hier $L(X,Y)$ überhaupt bedeuten? Linear oder linear und stetig? Darauf, dass in dem Artikel mehrere sehr ähnlich klingende Begriffe dargestellt werden, sollte man vllt. in der Einleitung hinweisen. --Chricho ¹ ² ³ 21:26, 2. Jul. 2013 (CEST)

Ja, momentan gehen die Begriffe (differenzierbar, Differenzial, Ableitung) im Artikel irgendwie total durcheinander. Das könnte auch daran liegen, dass der Artikel gar keine Quellen nennt ... -- HilberTraum (Diskussion) 23:19, 2. Jul. 2013 (CEST)

Was ist die Weierstrass'sche Zerlegungsformel?

Dieser Begriff wird in der Ueberschrift genutzt, sonst aber gar nicht. Was genau ist damit gemeint?--Das O2 (Diskussion) 10:36, 19. Feb. 2015 (CET)

Siehe Weierstraßsche Zerlegungsformel. --Digamma (Diskussion) 10:49, 19. Feb. 2015 (CET)