Diskussion:Gedächtnislosigkeit

ferner...

Ein Link zu Hysterese fehlt und ein Bezug zu Systemtherie sollte auch gemacht werden:

Hängt der Wert $y(t_{0})$ eines Ausgangssignals für alle $t_{0}$ nur vom aktuell anliegenden Wert $x(t_{0})$ ab, heißt ein System gedächtnislos.

--McZusatz (Diskussion) 20:45, 18. Apr. 2013 (CEST)

Markow-Ketten

Hier besteht offenbar ein Zusammenhang. Dieser wird im Artikel leider nicht hergestellt.

Stillschweigende äquivalente Bedingung bei diskreten ZV

Laut Definition ist eine ZV X gedächtnislos, wenn

$P(X\geq s+t\,\mid \,X\geq s)={\frac {P(X\geq s+t)}{P(X\geq s)}}=P(X\geq t)$ (I).

Für die Exponentialverteilung wird der Nachweis der Gedächtnislosigkeit anhand dieser Definition skizziert. Für die geometrische Verteilung wird hingegen nachgewiesen, dass

$P(X=n+k|X\geq n)=P(X=k)$. (II)

Demnach müssten die Bedingungen (I) und (II) für diskrete ZV äquivalent sein, was in dem Artikel aber unerwähnt bleibt. --Mathze (Diskussion) 20:20, 12. Feb. 2024 (CET)

Ich habe ein bisschen recherchiert und gerechnet. Es gibt wohl verschiedene Definitionen für die Gedächtnislosigkeit von diskreten Zufallsvariablen, und zwar je nachdem man die geometrische Verteilung gemäß Variante A oder Variante B betrachtet:

Variante 1: $P(X>n+k|X>n)=P(X>k),\quad n,k=1,2,3,\ldots$

Variante 2: $P(X>n+k|X\geq n)=P(X>k),\quad n,k=0,1,2,3,\ldots$

Dabei scheinen die Definitionen so angepasst zu sein, dass eben beide Varianten als "gedächtnislos" gelten können. Zu den jeweiligen Definitionen gibt es dann wiederum eine Reihe äquivalenter Bedingungen; für Variante 2 ist eine davon ist die Einschränkung der Definition oben im Artikel auf natürliche Zahlen. --Mathze (Diskussion) 23:40, 12. Feb. 2024 (CET)

Definition

An der angegebenen Definition scheint noch einiges unscharf zu sein. Erstens ist die Voraussetzung $P(X\geq s)>0$ erforderlich, damit die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert ist. Zweitens gilt dann definitionsgemäß

$P(X\geq s+t\mid X\geq s)={\frac {P(X\geq s+t,X\geq s)}{P(X\geq s)}}$.

Vermutlich ist dann $t\geq 0$ vorausgesetzt, so dass $P(X\geq s+t,X\geq s)=P(X\geq s+t)$ und damit die erste in der Definition angegebene Gleichung

$P(X\geq s+t\,\mid \,X\geq s)={\frac {P(X\geq s+t)}{P(X\geq s)}}$

gilt. Die Definition scheint dann zu passen, wenn (a) die Zufallsvariable $X$ nichtnegativ ist, (b) $t\geq 0$ vorausgesetzt ist und (c) die in der Definition angegebene Gleichheit für alle $s\geq 0$ mit der Eigenschaft $P(X\geq s)>0$ gilt. Das wären drei nicht angegebene Voraussetzungen. Da keine Quelle für die Definition angegeben ist, vermute ich TF.--Sigma^2 (Diskussion) 19:58, 13. Feb. 2024 (CET)