Diskussion:Imaginäre Zahl

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Einleitung

Zum ersten Satz: Eine imaginäre Zahl ist eine Zahl, deren Quadrat eine nicht-positive reelle Zahl ist. Das ist doch nicht richtig? Es muss nicht unbedingt das Quadrat sein, es muss lediglich ein Exponent sein, der gerade ist. Bitte korrigiert mich, falls ich falsch liege. (nicht signierter Beitrag von 77.20.51.215 (Diskussion) 21:01, 6. Jan. 2013 (CET))

warum ist i bei Ingenieuren j?

In der Elektotechnik wird der Buchstabe j verwendet, da mit i bereits die Stromstärke bezeichnet wird. (nicht signierter Beitrag von 93.207.207.141 (Diskussion) 13:03, 4. Nov. 2012 (CET))

-1 ist keine negative Zahl

Es ist schon so: Es gibt keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl. Die Denkschwierigkeit, die i erzeugt, verschwindet sofort, wenn man sich klar macht, daß -1 in Verbindung mit i die Eigenschaft, eine negative Zahl zu sein (diese Eigenschaft hat -1 bei Abwesenheit von i), verliert: ubi est i,ibi non possunt existere nec numeri positvi nec numeri negativi. Das ist es.

K. Dietsch, Nürnberg, 1.1.2008

1. Wurzeln aus komplexen Zahlen sind definiert, und demzufolge auch Wurzeln aus negativen reellen Zahlen.
2. Warum soll -1 keine negative Zahl sein bzw. diese Eigenschaft verlieren können? Entweder ist eine Zahl negativ oder sie ist es nicht!
3. Was verstehst du unter "in Verbindung mit i" bzw. "bei Abwesenheit von i"? Willst du darauf hinaus, dass +1 positiv und -1 negativ ist, aber +1i und -1i weder das eine noch das andere?

--Röhrender Elch 21:39, 8. Okt. 2008 (CEST)

Zunächst einmal ist -1 negativ. Das kann man an der wunderbaren Ungleichung -1 < 0 sehen.

Allerdings muss eine Zahl auch nicht immer negativ oder nichtnegativ sein. Was wäre denn z.B. 8 - 4i? -- Ché Netzer 21:04, 13. Dez. 2010 (CET)

es ist fraglich, ob -i nicht negativ ist. kann auch nicht bewiesen werden.--Oktonius 23:57, 12. Jan. 2011 (CET)

Das diskutierte Problem ist folgendermaßen zu lösen:

Bei der Definition der komplexen Zahlen wird eine Ordnungsrelation (wie z.B. <) zwischen komplexen Zahlen nicht definiert, da sich das (siehe oben) nicht sinnvoll machen lässt (Auch Vektoren im Raum kann man nicht mit < o.ä. vergleichen). Also kann man komplexe Zahlen nicht direkt miteinander vergleichen. Deshalb gibt es auch keine negativen (oder positiven) komplexen Zahlen.

Als Ersatz einer solchen Ordnungsrelation (die z.B. für die Definition von Stetigkeit u.ä. gebraucht wird) benutzt man den Vergleich der Beträge von komplexen Zahlen. Diese Beträge sind aber reelle Zahlen und da gibt es natürlich die üblichen Ordnungsrelationen.

Innerhalb des Bereichs der komplexen Zahlen ist allerdings der Bereich der reellen Zahlen (als komplexe Zahlen mit dem Imaginärteil 0) eingebettet. Deshalb kann man innerhalb dieser natürlich auch die dort definierten Ordnungsrelationen (<, ...) verwenden. Allerdings bewegt man sich dann innerhalb der reellen Zahlen.

Konsequenz: „Ist -1 eine negative Zahl?“ Als komplexe Zahl betrachtet: Nein, des es gibt keine negativen komplexen Zahlen. Als reelle Zahl betrachtet: Ja, denn hier gibt es negative und positive Zahlen. Wenn man es mathematisch ganz genau nimmt, dann muss man (im Bereich der komplexen Zahlen) also sagen: „Der Realteil von -1 ist eine negative (reelle) Zahl.“

Manchmal muss man aber trotzdem rein imaginäre Zahlen vergleichen (Ist -i negativ?). Das ist aber nicht direkt möglich. Aber man kann ja bei Bedarf den (reellen) Imaginärteil vergleichen: „Der Imaginäteil von -i ist negativ“. --Reseka 11:02, 13. Jan. 2011 (CET)

Wurzel aus -i

Was ist die Wurzel aus -i? D.h. ${\sqrt {-i}}=?$ --84.60.7.163 00:32, 16. Mär. 2008 (CET)

Das sind die beiden komplexen Zahlen $\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(i-1)$, was durch deren Quadrieren leicht zu zeigen ist.--Reseka 16:40, 17. Mär. 2008 (CET)

Tatsächlich. Danke! :) --84.60.85.46 20:47, 17. Mär. 2008 (CET)

Gemäß der Eulerschen Formel gibt s für jede komplexe Zahl nicht nur die konventionelle 'kartesische' Darstellung $z=x+\mathrm {i} y$, sondern auch die Polardarstellung $z=re^{\mathrm {i} \varphi }$ mit

$r={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

und

$\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arccot}({\frac {x}{y}})&{\text{falls }}y>0,\\{\frac {\pi }{2}}\left(1-\operatorname {sgn}(x)\right)&{\text{falls }}y=0,\\\pi +\operatorname {arccot}({\frac {x}{y}})&{\text{falls }}y<0.\end{cases}}$

In dieser Polardarstellung ist es besonders einfach, zu Multiplizieren oder zu potenzieren und folgt völlig den Potenzgesetzen. Es gibt zu jeder komplexen Zahl n "n. Wurzeln", zumal $e^{\mathrm {i} \varphi }$ periodisch ist ($e^{\mathrm {i} \left(\varphi +2n\pi \right)}\equiv e^{\mathrm {i} \varphi }\forall n\in \mathbb {Z}$). Allerdings lässt sich über den Hauptwert des Logarithmus eine holomorphe n. Wurzelfunktion definieren, wenn man annimmt, dass $\varphi$ zwischen 0 und 2π liegen soll. Es ist wirklich ziemlich anschaulich: Die n. Wurzel einer komplexen Zahl z bildet mit der positiven reellen Achse einen Winkel, der um den Faktor n kleiner ist als bei z selbst.--Slow Phil (Diskussion) 22:47, 4. Dez. 2013 (CET)

Richtig Slow Phil, so ist die Wurzel im Komplexen definiert. Siehe Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen und Komplexe_Zahl#Wurzeln --biggerj1 (Diskussion) 13:26, 6. Jan. 2014 (CET)

"heißt auch imaginäre Einheit und wird mit i (in der Physik meist mit j) "

Die imaginäre Einheit wird, nach meiner Erfahrung, auch meist in der Physik mit i bezeichnet. In der Elektrotechnik hab ich es bisher nur mit j gesehen.Philipp John 19:41, 17. Mär. 2008 (CET)

Stimmt, die Physiker schreiebn i, j hab ich da noch nie gesehen, werd das mal ändern!--Benutzer:Dr. Manuel 16:48, 31. Mai 2008 (CEST)

i definiert als eine Nullstelle des Polynoms x^2 + 1 = 0

Ist das denn überhaupt ein Polynom? Ein Polynom wäre doch die Summe einer Variablen mit unterschiedlichem Exponenten. Also so wie ich das verstehe ist x^2+1 = 0 eine Gleichung und ein Polynom währe p(x) = x^2+1. Es müsste dann heißen: "i ist definiert als eine Nullstelle des Polynoms x^2 + 1" . Bitte um Rückmeldung, falls ich mich irre.

Richtig! Hab's korrigiert.--Reseka 08:00, 27. Mär. 2008 (CET)

Nur so aus Neugier.....wie sieht es denn mit der Definition der Nullstelle von p(x)= x^4+1 aus? --79.199.81.134 23:18, 15. Feb. 2009 (CET)

Das wäre dann die Wurzel aus i: ${\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i$ -- Ché Netzer 20:18, 2. Feb. 2011 (CET)

Wenn es hier um die algebraische Definition für i geht, dann gehe ich mal davon aus, dass zunächst eine Funktion aus reellen Zahlen gebildet wird. Wie kann dann aber "x^2+1" Nullstellen haben? Dieser Graph hätte doch seinen tiefsten Punkt bei y=1? Bezieht sich bereits diese Funktion auf imaginäre Zahlen? --Der Paulchen 15:12, 3. Apr. 2009 (CEST)

Die Funktion müsste dann natürlich komplex sein. Aber inzwischen wurde ja glücklicherweise auf Gleichungen umgestiegen. -- Ché Netzer 20:18, 2. Feb. 2011 (CET)

Hauptartikel Komplexe Zahlen

Eigentlich gibts diesen Artikel zweimal, oder gibt es einen Unterschied zwischen Komplexen und imaginären Zahlen?

Die imaginären Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen. Jede imaginäre Zahl kann als komplexe Zahl aufgefasst werden, aber nicht jede komplexe Zahl ist eine imaginäre Zahl. --Röhrender Elch 21:19, 8. Okt. 2008 (CEST)

"Entgegen der allgemeinen Meinung ist i nicht die Quadratwurzel (Wurzel) von -1...

..., da die Wurzel von a als „diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt“, definiert ist – allerdings führen sowohl i > 0 als auch i < 0 zu Widersprüchen. i kann daher weder positiv noch negativ sein."

Dass i weder positiv noch negativ ist, ist ja ein guter und richtiger Hinweis. Dennoch werden doch i und -i durchaus als Quadratwurzeln von -1 bezeichnet, wenn auch nicht im Sinne obiger, rein auf das Reelle bezogener Definition. --Atwik 21:26, 18. Sep. 2008 (CEST) Da C ein nicht angeordneter Körper ist, macht für komplexe Zahlen, die nicht reell sind die Aussage <0 oder >0 keinen Sinn! Natürlich ist i Quadratwurzel von -1, aber nicht DIE, sondern EINE Quadratwurzel, da jede komplexe Zahl z genau zwei Quadratwurzeln (die auch gleich sein können!) besitzt (dies sind dann die beiden Lösungen der Gleichung z^2=1; bei z=-1 wären das i und -i). Die Aussagen in diesem Artikel wären präziser, wenn man statt imaginären Zahlen, von REIN imaginären Zahlen spräche. Diese sind definiert als komplexe Zahlen mit Realteil Null, wobei die Null selbst ausgenomen ist, da sie ja reell ist. D. Wagner

Die 0 ist genau genommen die einzige Zahl, die sowohl reell als auch imaginär ist. $\mathbb {C}$ lässt sich nämlich als Vektorraum über $\mathbb {R}$ auffassen, und alle Geraden, die durch 0=0+0i gehen, sind Unterräume, einschließlich der reellen sowie der imaginären Zahlen.--Slow Phil (Diskussion) 22:54, 4. Dez. 2013 (CET)

Überhaupt muß die Wurzel auch im Reelen nicht positiv, sondern nur nicht-negativ sein. Also, der Satz macht schlicht keinen Sinn, hab ihn mal gelöscht --Mondmotte 01:00, 21. Jul. 2009 (CEST)

Gemeint war doch, dass zwar beim Quadrieren von i -1 rauskommt, aber i nicht einfach als die Quadratwurzel aus -1 dargestellt werden kann. Den Hinweis kann der Artikel doch ruhig - vielleicht in anderer Form - enthalten? --Der Paulchen 15:47, 21. Jul. 2009 (CEST)

Der alte Satz war meiner Meinung nach falsch, weil eine Quadratwurzel nicht positiv sein muß. Von mir aus kann man erwähnen, daß i nicht DIE, sondern EINE Quadratwurzel von -1 ist, ich halte es für verzichtbar --Mondmotte 18:29, 21. Jul. 2009 (CEST)

i ist auch nicht EINE Quadratwurzel von -1, da die Wurzel nur für nichtnegative Radikanden definiert ist. "Wurzel aus -1" ist somit NICHT i, sondern schlicht nicht definiert.178.2.199.143 16:43, 24. Jun. 2012 (CEST)

Gemäß dem Artikel über komplexe Wurzeln ist dies nicht richtig.--Slow Phil (Diskussion) 22:54, 4. Dez. 2013 (CET)

Angeblich wurde nach einer Festlegung des bayr. Kultusministeriums die Quadratwurzeln als positive Zahlen festgelegt... Man darf aber dem Sprachgebrauch schon folgen. Reelle Zahlen haben positive Quadratwurzeln; von -1 ist i _die_ Quadratwurzel (die vor Einführung des Buchstabens i ja schließlich auch als sqrt(-1) geschrieben wurde); während (-i) ebenfalls Lösung von x²=-1 ist.--131.159.78.177 22:06, 17. Feb. 2016 (CET)

Wenn i die Wurzel aus -1 ist, lässt sich aber sehr schön folgender Blödsinn herleiten:

-1 = i*i = sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt(-1*(-1)) = sqrt(1) = 1

Nun bin ich selbst kein Mathematiker, habe aber diese Erklärung, weshalb die Formulierung sqrt(-1) = i schlichtweg falsch ist, von einem promovierten Mathematiker bekommen. Falls jemand darlegen kann, wieso das trotzdem nicht richtig sein soll, gerne. --91.248.127.33 14:17, 9. Mär. 2023 (CET)

Ja und? Das steht doch im Artikel, gleich am Anfang unter „Allgemeines“. Wozu also muss das hier nochmal ausgebreitet werden? --Kreuzschnabel 14:32, 9. Mär. 2023 (CET)

Ich habs mal eingebaut, da es einleuchtend und auch für Laien nachvollziehbar ist. --Kreuzschnabel 12:22, 12. Mär. 2023 (CET)

Fehler

Der Zusammenhang $(b\mathrm {i} )^{2}=-b^{2}<0$ gilt nicht, wenn b=0 ist. Dann ist nämlich das Quadrat auch 0. --Röhrender Elch 22:58, 10. Okt. 2008 (CEST)

Gilt Null als imaginäre Zahl?

Wenn man imaginäre Zahlen als Zahlen mit negativem Quadrat definiert, gehört sie zweifellos nicht dazu. Aber wenn die imaginären Zahlen wirklich eine Gerade auf der Gaußebene bilden sollen, dann müsste sie dazugehören, weil eine Gerade keine Lücken hat. Ebenfalls dazugezählt werden muss sie, wenn man imaginäre Zahlen definiert als reelle Vielfache von i (0i = 0) bzw. als komplexe Zahlen, deren Realteil 0 ist. --Röhrender Elch 22:58, 10. Okt. 2008 (CEST)

Was ich mich inzwischen frage: In welcher vernünftigen Quelle steht eigentlich, dass imaginäre Zahlen als Zahlen mit negativem Quadrat definiert sind? Ich hab meine Mathematikbücher nicht zur Hand, aber Mathworld sagt: "A (purely) imaginary number can be written as a real number multiplied by the "imaginary unit" i (equal to the square root sqrt(-1)), i.e., in the form z=iy". Wenn keiner eine Quelle für etwas anderes findet, ändere ich demnächst mal --Mondmotte 00:55, 22. Okt. 2009 (CEST)

0 ist imaginär und ihr quadrat ist nicht positiv. schlage also vor postiv im ersten absatz in nicht-negativ zu ändern. eine andere definition für imaginär wäre: eine komplexe zahl, deren realteil 0 ist. das läuft aufs gleiche hinaus. -- 77.2.52.236 08:06, 24. Mai 2011 (CEST)

Intuitiv (und im Sinne der Geschichte der Mathematik) ist eine imaginäre Zahl niemals reell, also ist 0 keine, auch wenn sie (in der Tat) auf der imaginären Zahlenachse liegt (ist natürlich die einzige Ausnahme).--131.159.0.47 17:47, 4. Dez. 2015 (CET)

unglückliche Formulierung

Mir persönlich gefällt der folgende Absatz nicht: In der Elektrotechnik wird gemäß DIN 1302 und DIN 5483-3 als Symbol statt i ein j benutzt, um eine Verwechslung mit der Stromstärke zu vermeiden.

Und zwar steht i nicht fuer die Stromstärke, das Zeichen dafuer is das I, das kleine i steht fuer die Stromstärke unter Einfluss der Zeit, bezieht sich also auf den Momentanwert den Stromes, deshalb ist auch die Schreibweise i(t) (i von t), anzutreffen, was nur die ausgeschriebene Schreibeweise darstellt.

Man moege sich bitte um die Ausbesserung kuemmern. MIt freundlichen Gruessen -- Jorumpl 00:26, 2. Aug. 2009 (CEST)

Hab's mal ergänzt. -- Reseka 11:13, 2. Aug. 2009 (CEST)

Was hat die Elektrotechnik mit dem Thema zu tun? --Fmrauch 18:22, 3. Dez. 2009 (CET)

Siehe Komplexe Wechselstromrechnung --Reseka 22:19, 3. Dez. 2009 (CET)

Imaginäre Einheitswurzeln

Zur Diskussion:

Imaginäre Einheitswurzeln sind die n-verschiedenen Wurzelwerte der Kreisteilungsgleichung x hoch n = i und der Kreisteilungsgleichung x hoch n = -i , i ist eine der Quadratwurzeln von -1 und i ist eine der Biquadratwurzeln von +1

Das / ein Unikum von i ist : Eine der Kubikwurzeln von i ist -i Eine der Kubikwurzeln von -i ist i

Innerhalb dieses imaginären Einheitskreises können nicht soviele Punkte besetzt werden wie im Einheitskreis mit der Kreisteilungsgleichung x hoch n = 1 .

--Oktonius 12:58, 29. Jun. 2010 (CEST)

Gagarinsche Vermutung

Wenn man die Situation vergleicht. Vor Zweitausend Jahren gab es keine Lösung für Wurzeln aus "Schulden" oder etwas unter etwas. Kann man sagen wie wir heute über eine Lösung der Gleichung x:0=? denken haben sie vor zweitausend Jahren über diese unauffindbare Wurzelprodukte von -1 gedacht. Stimmt das?

--Oktonius 22:28, 3. Jul. 2010 (CEST)

Wobei ich einen eventuellen Lösungsweg sehe. Die Lösung x:0= . wird ausserhalb der gaussschen Zahlenebene liegen. Und dann kommt der iso-effekt. Also es gibt zwei "sagen wir" "" Gagarinschen Zahlenräume"". Einer in unserer Materie und einer in der Antimaterie. An und für sich logisch. Aber was ist oben und unten oder unten und oben? --Oktonius 23:09, 3. Jul. 2010 (CEST)

Gagarinsche Vermutung:

x/0=y lässt sich ausserhalb der gaussschen Zahlenebene lösen.--Oktonius 04:24, 7. Jul. 2010 (CEST)

Von der Gagarinscher Vermutung zum Steinerschen Zahlenraum. Wobei imaginär und planimaginär sich isometrisch ergänzen. --Oktonius 15:18, 15. Jul. 2010 (CEST)

Was bei genauer Betrachtung herauskommt, dass es eine positive und negative Gaussche Zahlenebene gibt. Insofern auch zwei Gagarinsche Zahlendimensionen. Wobei sich die einte Gagarinsche Zahlendimension in unserer Materie befindet und die andere ausserhalb unserer Materie in der Antimaterie. Das gibt eine neue Art von unerklärlichen Zahlen, welche aus drei Zahlenteilen zusammengesetzt sind, den reelen Zahlen, den imaginären Zahlen und den nicht definierbaren Zahlen. So einfach ist das. Oder doch nicht? Ich werde im September 2011 weiter zur Frage stellen, was die imaginären Zahlen im Zahlenraum; Zahlenräumen für ne Rolle spielen. --Oktonius 21:12, 18. Feb. 2011 (CET)

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Unglückliche Formulierung?

Die Formulierung im Artikel

Die Gleichung
$x^{2}+1=0\,$
hingegen kann keine reelle Lösung haben, da dazu die Wurzel 
aus einer negativen reellen Zahl gezogen werden müsste, 
denn die Wurzel ist die Umkehrfunktion des Quadrierens – 
und Quadrate reeller Zahlen sind immer positiv.

… finde ich vor allem deshalb verunglückt, weil die Wurzel eben nicht die (vollständige) Umkehrfunktion des Quadrierens ist – das Quadrat von −2 ist 4, aber die Wurzel aus 4 ist nicht −2. Kann man den Denkschritt mit der Wurzel nicht einfach weglassen und schreiben:

Die Gleichung
$x^{2}+1=0\,$
hingegen kann keine reelle Lösung haben, da x² dann
negativ werden müsste, Quadrate reeller Zahlen jedoch 
immer positiv sind.

… wäre das nicht exakter? Ich bin kein Fachmann der Mathematik, daher stelle ich das zunächst hier zur Diskussion. --Kreuzschnabel (Diskussion) 08:05, 1. Sep. 2013 (CEST)

Schreibweise

${\dot {\imath }}$
\dot\imath

In diesem Artikel wird die imaginäre Einheit als $\mathrm {i}$ geschrieben, woanders auch schon mal als $i$. An sich bevorzuge ich aus ästhetischen Gründen (ist natürlich Geschmackssache) Letztere. Allerdings scheint mir Erstere irgendwie üblicher zu sein, weil sie eher geeignet ist, Verwechlslungen mit dem Index oder einer eventuellen Variablen $i$ zu vermeiden. Außerdem werden auch Ziffern "upright" dargestellt. Sehe ich das richtig bzw. ist dies allgemein Konsens?--Slow Phil (Diskussion) 21:27, 4. Dez. 2013 (CET)

Laut Hilfe:TeX#Komplexe_Zahlen wird $i$ geschrieben. Wassermaus (Diskussion) 21:04, 21. Dez. 2021 (CET)

TeX hat dafür ein eigenes semantisches Zeichen: Entweder ein i ohne oder ein i mit I-Punkt. Auch ein j ist möglich. Bei uns üblich ist das i mit Punkt. Der Code dazu lautet

\dot\imath und erzeugt das Zeichen rechts. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 02:28, 22. Dez. 2021 (CET)

Mittlerweile gibt es hierzu Doku in Hilfe:TeX. Kurzfassung: DIN und ISO sagen \mathrm i [1], aber kursives i ist auch statthaft. Hingegen hat \dot\imath mit der imaginären Einheit gar nichts zu tun: es ist das i ohne Punkt (z.B. für Vektoren) und wenn man dann den Punkt wieder draufsetzt, hat das lediglich den Effekt, dass der schief steht. -- Wassermaus (Diskussion) 00:14, 27. Dez. 2021 (CET)

Definition

Meines Wissens definiert man imaginäre Zahlen als Vielfache der imaginären Einheit i, d.h. als Produkte von i mit reellen Zahlen. --Röhrender Elch (Diskussion) 23:34, 11. Mai 2014 (CEST)

Geschichte

Kann sein, dass ich mich irre oder dass es einfach nicht relevant genug ist, aber ich glaube hier würde sich eine Geschichte zu den imaginären Zahlen gut machen. Hab mich selber noch nicht mit dem Thema auseinander gesetzt, vielleicht werde ich selber so einen Abschnitt gestalten, sollte ich Informationen finden.--217.229.69.82 13:59, 20. Jun. 2014 (CEST)

Ich denke mal, die Geschichte der imaginären Zahlen wird sich nicht sehr von der Geschichte der komplexen Zahlen (siehe Komplexe Zahl#Geschichte) unterscheiden. Ich vermute, dass die zusätzliche Addition einer reellen Zahl zur Wurzel einer negativen Zahl von Anfang an als „relativ harmlos“ angesehen wurde. Aber lass dich mal durch mich nicht von einer Recherche abhalten :-) -- HilberTraum (Diskussion) 14:18, 20. Jun. 2014 (CEST)

Misslungene Definition

Eine (rein) imaginäre Zahl ist eine Zahl, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist. Äquivalent dazu kann man die imaginären Zahlen als diejenigen komplexen Zahlen definieren, deren Realteil null und deren Imaginärteil von null verschieden ist.

1. Die erste Satz mag (wenn er in beide Richtungen funktionieren soll) bei den komplexen Zahlen korrekt sein, aber nicht in anderen Zahlsystemen wie den Quaternionen. Es wird keine Grundmenge angegeben.
2. 0 wird von den imaginären Zahlen ausgeschlossen. Eine reelle Zahl ist bei den komplexen Zahlen jede mit Imaginärteil 0 und eine imaginäre Zahl eben jede mit Realteil 0.
3. Die Referenz macht diese Fehler nicht. -- IvanP (Diskussion) 14:40, 11. Sep. 2014 (CEST)

Ja, das stimmt. Hast du Lust das umzuformulieren? -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 11:45, 12. Sep. 2014 (CEST)

Ad 2: Das ist sicher in vielen Zusammenhängen zweckmäßig; im Sprachgebrauch schwingt aber bei "imaginär" doch auch "nichtreell" mit und daher gehört die 0 da nicht dazu.--131.159.0.47 17:48, 4. Dez. 2015 (CET)

Definition

• Sollte die Einleitung nicht herausstellen, daß "imaginäre Zahl" ein mehrdeutiger Begriff ist? Mal kann eine imaginäre Zahl einen Realteil ungleich 0 haben, mal nicht.
• "Äquivalent dazu kann man die imaginären Zahlen als diejenigen komplexen Zahlen definieren, deren Realteil null ist." (also z=a+b*i mit a=0).
  Bei der Definition ist auch 0 eine (rein) imaginäre Zahl. Zuweilen wird aber die 0 von den rein imaginären Zahlen ausgeschlossen, etwa in [books.google.de/books?id=4WnRBgAAQBAJ&pg=PA41] ("die mit Ra=0 [Realteil von a gleich 0] (a=/=0 [a ungleich 0]) rein imaginäre Zahlen") und [books.google.de/books?id=ZEPKBgAAQBAJ&pg=PA35] ("{z | z = ib, b =/= 0} rein imaginäre Zahlen")

-91.16.50.44 15:38, 12. Dez. 2015 (CET)

Imaginäre Zahl ist kein mehrdeutiger Begriff. Eine imaginäre Zahl ist ein Vielfaches der imaginären Einheit i. Eine Zahl, deren Realteil von 0 verschieden ist, ist nicht imaginär, sondern höchstens komplex. --Röhrender Elch (Diskussion) 18:45, 19. Jun. 2016 (CEST)

Imaginäre Potenzen

Mir fehlt im Artikel eine genaue mathematisch vollständige Erläterung zu z. B.

$1^{i}\,$

Da die imaginären Zahlen nur ein Sonderfall der komplexen Zahlen sind, werden hier nicht nochmals alle Operationen aufgeführt. Deine Anfrage wird dort unter Komplexe Zahl#Beliebige komplexe Exponenten beantwortet. --Reseka (Diskussion) 11:37, 25. Dez. 2017 (CET)

Quadratwurzel aus −1

Die Formulierung $i={\sqrt {-1}}$ hat zwar eine Bedeutung unter betrachtung der Definition der Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen, aber die Definition hat erst eine Bedeutung nachdem Komplexe Zahlen definiert sind. Madyno (Diskussion) 22:02, 12. Dez. 2021 (CET)

Ähmja. Und wenn in einem Artikel sowas steht wie „Das Bier wird in Flaschen abgefüllt“, dann schreiben wir dazu „Das geht jedoch nur dann, wenn man auch Flaschen hat“? Müssen solche Selbstverständlichkeiten wirklich in den Artikel? Natürlich können Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen erst dann definiert werden, wenn komplexe Zahlen an sich definiert sind. --Kreuzschnabel 17:52, 26. Dez. 2021 (CET)

Fehler im Abschnitt »Imaginäre Einheit «

In dem Abschnitt »Imaginäre Einheit« steht:

»Gelegentlich wird auch die Formulierung ${\textstyle \mathrm {i} ={\sqrt {-1}}}$ verwendet, die jedoch nicht äquivalent ist, da sie nach den Wurzelgesetzen in $\mathbb {R}$ zu folgendem Widerspruch führt:

$({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1\neq \mathrm {i} ^{2}$«

Ich möchte darauf aufmerksam machen, dass diese Ableitung nach diesem Video:

https://youtu.be/rynltYxG-wE?si=KzDlV9Ru1nuP8T0F

schlicht falsch ist. Richtig dagegen ist:

$\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {}{\sqrt {-1}}=\mathrm {i} \cdot {}\mathrm {i} =\mathrm {i} ^{2}=-1$

Den im Text behaupteten Widerspruch gibt es nicht. Eine genauere Erklärung dieses Irrtums gibt es in dem englischsprachigen Wikipedia-Artikel »Imaginary Number«:

https://en.wiki.x.io/wiki/Imaginary_number#Square_roots_of_negative_numbers

Viele Grüße --Jake2042 (Diskussion) 20:50, 10. Dez. 2023 (CET)

Nach deiner Meinung ist also

${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {a}}={\sqrt {a\cdot a}}$

"schlicht falsch"? -- Wassermaus (Diskussion) 22:03, 10. Dez. 2023 (CET)

Das gilt nicht immer, insbesondere dann nicht, wenn Quadratwurzeln aus negativen reellen Zahlen miteinander multipliziert werden sollen. In diesem speziellen Fall gilt:

${\sqrt {-a}}\cdot {}{\sqrt {-b}}\neq {}{\sqrt {\left(-a\right)\cdot {}\left(-b\right)}}$

Zur genaueren Begründung siehe auch den englischsprachigen Wikipedia-Artikel »Imaginary Number«:

https://en.wiki.x.io/wiki/Imaginary_number#Square_roots_of_negative_numbers

Viele Grüße --Jake2042 (Diskussion) 22:38, 10. Dez. 2023 (CET)

Die verlinkte Darstellung in der en-WP hat aber einen kleinen Haken: In der Gleichsetzung $\textstyle {\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}$ wird der Gegenstand der Untersuchung (nämlich die Darstellung $\textstyle i={\sqrt {-1}}$) bereits als gültig vorausgesetzt (denn nur so lässt sich das $\textstyle i$ vor die Wurzel ziehen), damit haben wir meiner Ansicht nach einen wunderbaren Zirkelschluss. Hast du ansonsten einen Beleg aus einem Fachbuch statt von YouTube? --Kreuzschnabel 23:17, 10. Dez. 2023 (CET)

Das, was ich zunächst tun kann, ist, in online verfügbaren Computer-Algebra-Systemen und Taschenrechner-Emulationen sqrt(-1) einzugeben und zu sehen, was jeweils als Ergebnis angezeigt wird.

Wolfram Alpha

Eingabe: sqrt(-1)

Ergebnis: i

Siehe hier:

https://www.wolframalpha.com/input?i=sqrt%28-1%29

GeoGebra CAS online

Eingabe: √–1

Ergebnis: i

Siehe hier:

https://www.geogebra.org/cas/gpf6kfjv

TiNspire Online Calculator

https://www.tinspireapps.com/Online-Calculators/TiNspire-Online-Calculator.php

Eingabe: sqrt(-1)

Ergebnis: i

Wenn in die Google-Suchzeile »sqrt(-1)« eingegeben wird, dann kommt vor dem ersten Suchergebnis als Feedback »i«. Auf dieser Seite der Technischen Fakultät der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel:

https://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/basics/b2_1_5.html

steht wörtlich:

»Die imaginäre Einheit i genügt der Gleichung i² = –1. Daher gilt für die imaginäre Einheit i = (–1)^½.«

Alles in allem kann es also als gesichert gelten, dass

${\sqrt {-1}}=\mathrm {i}$

auf jeden Fall richtig ist. Das geht im Grunde auch aus der Definition $\mathrm {i} ^{2}=-1$ hervor. Die Quadratwurzel aus $\mathrm {i} ^{2}$ ist i. Und zwar nur i, nicht i oder –i. Genauer gesagt ist das Ergebnis einer Quadratwurzel ein Betrag und deshalb immer positiv oder Null. Da $\mathrm {i} ^{2}=-1$ ist, ist die Quadratwurzel aus $\mathrm {i} ^{2}$ eben identisch mit der Quadratwurzel aus –1. Soweit an dieser Stelle.

Viele Grüße

--Jake2042 (Diskussion) 12:41, 11. Dez. 2023 (CET)

Vielleicht sollte man im Artikel erwähnen, dass die Schreibweise $\mathrm {i} ={\sqrt {-1}}$ fälschlicherweise suggeriert, die komplexe Wurzelfunktion wäre wie im Reellen auch einwertig. Die übliche Definition hingegen ist, dass i und −i beides Wurzeln von −1 sind, also ${\sqrt {-1}}=\pm \mathrm {i}$. Wenn man sich auf den Hauptwert der Wurzel festlegt, ist ${\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {1}}$, aber für eine andere Wurzelfunktion gilt ${\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}=-1$. --Dexxor (Diskussion) 22:49, 11. Dez. 2023 (CET)

Anscheinend verwechselt Du die deutsche und die englische Fachterminologie. So etwas wie den »Hauptwert der Wurzel« gibt es im Deutschen nicht. Das, was auf Englisch »principal square root« genannt wird, heisst auf Deutsch einfach »Quadratwurzel«. Deshalb wird auf Deutsch auch nicht von »Wurzeln« (»roots«) einer quadratischen Gleichung gesprochen, sondern einfach von deren Lösungen.

Das Ergebnis einer positiven Quadratwurzel ist immer positiv oder Null. Das ist so, weil es sich um einen Betrag handelt. Das gilt auch für imaginäre Zahlen. (Es geht an dieser Stelle nicht um komplexe Zahlen allgemein, sondern nur um diejenigen komplexen Zahlen, deren Realteil Null ist.) Das bedeutet: Die Quadratwurzel aus –1 ist i, nicht i oder –i. Anders ist es, wenn Du die quadratische Gleichung $x^{2}+1=0$ lösen willst. Dann kommst Du auf zwei Lösungen, nämlich –i und i. Das geht so:

(1)$\quad {}x^{2}+1=0\qquad \vert -1$

(2)$\quad {}x^{2}=-1\qquad \vert {\sqrt {}}$

(3)$\quad {}\vert x\vert =\mathrm {i}$

(4)$\quad {}x_{1}=-\mathrm {i}$

(5)$\quad {}x_{2}=\mathrm {i}$

Nur in Zeile (3) siehst Du auf beiden Seiten das Ergebnis einer Quadratwurzel. In den Zeilen (4) und (5) dagegen siehst Du die Lösungen der quadratischen Gleichung. Das ist ein Unterschied. Das das so geregelt ist, ist wichtig. Es muss nämlich immer möglich sein, bei einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl diese in eine Quadratwurzel einer positiven Zahl, multipliziert mit der Quadratwurzel aus –1 aufzulösen und letztere als i zu schreiben. Nur so ist auch gewährleistet, dass es auch in solchen Fällen eindeutige Ergebnisse gibt. Das ist jedenfalls die übliche Vorgehensweise. Siehe dazu auch das Video, das ich ganz am Anfang verlinkt habe. Hier ist der Link zu dem Video noch einmal:

https://youtu.be/rynltYxG-wE?si-KzDIV9Ru1nuP8TOF

Soweit an dieser Stelle. Viele Grüße --Jake2042 (Diskussion) 23:15, 12. Dez. 2023 (CET)