Diskussion:Kepler-Gleichung

Kepler-Gleichung und Anomalie

zu den fehlenden Mittlere Anomalie, Wahre Anomalie, Exzentrische Anomalie (definition rudimentär in BKL Anomalie), Mittelpunktsgleichung: fragt sich, ob diese begriffe nicht doch in Keplerbahn behandelt werden sollen, da Keplerbahn und Anomalie untrennbar verbunden sind: Herleitung der Keplerbahn.

• Bilder schon vorhanden: Commons:Category:Kepler motions, Commons:Category:Ellipses

auch SXD

auch zu parabolischen und hyperbolischen keplerbahnen (und deren bahnelemente) sollte etwas gesagt werden, ebenso in Keplersche Gesetze

--W!B:

Bild mit englischer Beschriftung ist ok

Die Abbildung mit deutscher Beschriftung ist vollkommen verwirrend. Die Bezeichnung der Winkel und Strecken ist zumindest unüblich. Die englische Abbildung ist korrekt und gut zur Erklärung geeigent. Für kleine E (kleiner 90 Grad) ist E größer als M. Die Bezeichnungen x,y und T sind allerdings etwas unglücklich.

Link wg Spamfilter entfernt

Habe folgenden link entfernt, da er (wg. Spamfilter) Änderungen am Artikel verhindert hat:

== Weblinks == * Franz Scheerer: [http://www.scheerer-software.de/planet.html Berechnung der Position der Planeten] ([[JavaScript]])

--KleinKlio 03:04, 21. Okt. 2006 (CEST)

ah, jetzt weiß ich auch was „Spamfilter“ heisst, der bleibt also draussen, und Dein problem hat sich hoffentlich erledigt.. gruß -- W!B: 21:53, 23. Okt. 2006 (CEST)

Bahngeschwindigkeit

Auch so kann man die Bahngeschwindigkeit ermitteln.

$v={\sqrt {2\cdot \mu \cdot {\frac {2\cdot a-r}{2\cdot a\cdot r}}}}={\sqrt {2\cdot \mu \cdot {\frac {(r_{0}+r_{1})-r}{(r_{0}+r_{1})\cdot r}}}}\qquad \qquad r_{0}\leq r\leq r_{1}$

u=M*G(Erdmasse * Gravitationskonstante), a=grosse Halbachse, r0 und r1 sind Perigäum und Apogäum.--Willi windhauch 17:42, 10. Jan. 2011 (CET)

Nun, da fällt mir ein, die Gravitationskonstante kannte Kepler noch nicht, wohl aber die Umlaufzeit U und die errechnet sich so:

$U={\frac {\pi \cdot {(r_{0}+r_{1})}^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2\cdot \mu }}}$

Daraus folgt nun

$v={\frac {\pi \cdot (r_{0}+r_{1})}{U}}\cdot {\sqrt {{\frac {(r_{0}+r_{1})}{r}}-1}}$

Und daraus ergeben sich speziell für Perigäum und Apogäum.

$v_{0}={\frac {\pi \cdot (r_{0}+r_{1})}{U}}\cdot {\sqrt {\frac {r_{1}}{r_{0}}}}\qquad \qquad v_{1}={\frac {\pi \cdot (r_{0}+r_{1})}{U}}\cdot {\sqrt {\frac {r_{0}}{r_{1}}}}$

--Willi windhauch 14:18, 16. Jan. 2011 (CET)

Speziell für die Erde gilt: http://de.wiki.x.io/wiki/Erde

$v_{0}={\frac {\pi \cdot 2{,}992\cdot 10^{11}m}{31558118s}}\cdot {\sqrt {\frac {1{,}017}{0{,}983}}}\sim 30296{\frac {m}{s}}\qquad \qquad v_{1}={\frac {\pi \cdot 2{,}992\cdot 10^{11}m}{31558118s}}\cdot {\sqrt {\frac {0{,}983}{1{,}017}}}\sim 29283{\frac {m}{s}}$

Abschließend sei noch zu erwähnen:

$a={\frac {r_{1}+r_{0}}{2}}\qquad b={\sqrt {r_{1}\cdot r_{0}}}\qquad e={\frac {r_{1}-r_{0}}{r_{1}+r_{0}}}$

(b=kleine Halbachse e=numerische Exzentrität).

Und noch die Mittelpunktsgleichung

$y=\pm {\frac {b}{a}}\cdot {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$

Äußerst schwach finde ich im Hauptartikel übrigens, dass zwar eine Formel für die Bahngeschwindigkeit angegeben wird, die zugehörigen Parameter aber nicht erklärt werden!--Willi windhauch 10:02, 17. Jan. 2011 (CET)

Ich bin zwar nicht der Ersteller des Artikels/Abschnitts zu "Ideale Keplerbahn" gewesen, hab diesen nur kopiert/integriert, einen Umleitungslink gesetzt und etwas geupdatet, aber ich übernehme hier mal kurz die Rolle des Unwissenden. Was stört dich explizit an den Abschnitt? Und wieso änderst du diesen nicht dementsprechend ab? ;-) Weiterhin finde ich Kommentare wie: "...Äußerst schwach finde ich..." als eher kontraproduktiv. [[Benutzer:Markus_R_Schmidt]] 22:14, 18. Jan. 2011 (CET)

Les halt einfach den Satz über dir. Was ist da unverständlich? Wie soll ein Laie anhand des Hauptartikels die Bahngeschwindigkeit eines Satelliten ausrechnen können? Ich kann es auch nur deswegen, weil ich mir obige Formeln selbst abgeleitet habe. Nur anhand des Hauptartikels wäre ich da völlig aufgeschmissen gewesen.--Willi windhauch 17:37, 27. Jan. 2011 (CET)

Und wieso änderst du es im Hauptartikel nicht entsprechend? [[Benutzer:Markus_R_Schmidt]] 18:46, 27. Jan. 2011 (CET)

Nachtrag: leichter kann man es jedoch mit der Vis-Viva-Gleichung berechnen. (Grav-Konstante, Sonnenmasse, Erdabstand). mfg [[Benutzer:Markus_R_Schmidt]] 21:14, 27. Jan. 2011 (CET)

Danke, der Hinweis auf die “Vis Viva Gleichung” macht die Sache jetzt völlig klar! Dieser Hinweis fehlt halt im Hauptartikel.

Wenn man nämlich meine erste Formel oben umstellt, kommt man genau auf die folgende Gleichung. Vielleicht bau ich das im Hauptartikel noch ein.

$v^{2}=\mu \left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)$

$\mu =G\cdot M(Gravitationskonstante*Erdmasse)$ --Willi windhauch 04:56, 28. Jan. 2011 (CET)

Winkelgeschwindigkeit

Aus dem Text:

Die wahre Anomalie ist die Winkelgeschwindigkeit ω im Gravizentrum.

Das kann ja wohl nicht sein. Die wahre Anomalie ist ein Winkel. Die Winkelgeschwindigkeit ω ist die Ableitung der wahren Anomalie nach der Zeit. -- Digamma 22:42, 27. Jan. 2011 (CET)

Bahndrehimpuls

Die Formel $v^{2}={\frac {C^{2}}{p}}\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$ kann nicht stimmen, zumindest nicht, wenn die Legende stimmt. Im Bahndrehimpuls steckt nämlich die Masse des Himmelskörpers, deshalb steckt in der rechten Seite die Masse zum Quadrat, während auf der linken Seite nur die kinematischen Größen Länge und Zeit eingehen. -- Digamma 22:49, 27. Jan. 2011 (CET)

Sie stimmt, wenn gilt

${\frac {C^{2}}{p}}=\mu =M\cdot G$

Was jedoch die Parameter C und p anbelangt, darüber gibt der Hauptartikel keine Auskunft und solange ich nicht weiß was sie bedeuten, kann ich ihn auch nicht ändern. Ich möchte auch nicht unbedingt im Werk von Anderen rumpfuschen. --Willi windhauch 05:08, 28. Jan. 2011 (CET)

Ja super, physikalische Formeln haben keinerlei Bedeutung, solange die Formelzeichen nicht erklärt sind. Was sollen P, M und G sein? -- Digamma 12:17, 28. Jan. 2011 (CET)

Okay, jetzt noch mal die Formel mit Erklärung aller Parameter: Es soll die Bahngeschwindigkeit eines Satelliten um die Erde ermittelt werden.

$v^{2}=M\cdot G\cdot ({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}})=2\cdot M\cdot G\cdot {\frac {(r_{0}+r_{1})-r}{(r_{0}+r_{1})\cdot r}}$

v = Geschwindigkeit des Satelliten. M=Erdmasse G=Gravitationskonstante (6,672*10^-11 m³/kg/s²) r=Abstand des Satelliten (zum Erdmittelpunkt) r0= geringster Abstand des Satelliten (zum Erdmittelpunkt) r1 = grössterAbstand des Satelliten (zum Erdmittelpunkt) a= grosse Halbachse = (r0+r1)/2 --Willi windhauch 19:48, 28. Jan. 2011 (CET)

Das ist jetzt aber eine andere Formel. Hier geht es jetzt um Newtonsche Mechanik. Es steckt das Gravitationsgesetz drin und die "Zutaten" Gravitationskonstante und Erdmasse.

Die ursprüngliche Formel bleibt im Rahmen der keplerschen Kinematik. Sie enthält nur Daten über die Bahn, nämlich (nach der Erklärung unten) die Flächengeschwindigkeit und den Halbparameter p, eine Größe, die zusammen mit der großen Halbachse a die Form der Ellipse beschreibt.

Das P bleibt mir noch fremd. Unter "Potential" verstehe ich eine Größe, die vom Ort abhängt, und zwar den Quotienten aus potentieller Energie eines Körpers und seiner Masse, eine Größe, die nur vom Ort innerhalb des Schwerefelds abhängt. Das P scheint aber etwas anderes zu sein, etwas, das das Schwerefeld global beschreibt. -- Digamma 20:23, 28. Jan. 2011 (CET)

Na gut, wenn ich ein wenig nachforsche, seh ich dass der Begriff Gravitationspotential (P) in der Physik anders verwendet wird, deswegen hab ich mein Geschreibsel ein wenig abgeändert.--Willi windhauch 12:45, 29. Jan. 2011 (CET)

$C$ ist offenbar der Drehimpuls geteilt durch die Masse des Himmelskörpers. In Sommerfeld, Mechanik, wird die Größe $C=r^{2}\omega$ „Flächenkonstante“ genannt. Das wäre vermutlich auch hier die bessere Bezeichnung. --ulm 08:29, 28. Jan. 2011 (CET)

Danke, diese Information genügt nun, um die im Hauptartikel angegebene Formel zu erklären. Denn es gilt:

$C^{2}=v_{0}^{2}\cdot r_{0}^{2}=v_{1}^{2}\cdot r_{1}^{2}$

$p=2\cdot {\frac {r_{0}\cdot r_{1}}{r_{0}+r_{1}}}={\frac {b^{2}}{a}}$

$\mu ={\frac {C^{2}}{p}}={\frac {v_{0}^{2}\cdot r_{0}^{2}\cdot a}{b^{2}}}={\frac {v_{1}^{2}\cdot r_{1}^{2}\cdot a}{b^{2}}}=v_{0}^{2}\cdot {\frac {r_{0}+r_{1}}{2}}\cdot {\frac {r_{0}}{r_{1}}}=v_{1}^{2}\cdot {\frac {r_{0}+r_{1}}{2}}\cdot {\frac {r_{1}}{r_{0}}}$

--Willi windhauch 09:27, 30. Jan. 2011 (CET)

Das ist das doppelte der Flächengeschwindigkeit, sehe ich das richtig? Auf jeden Fall steht es im Artikel falsch. -- Digamma 12:17, 28. Jan. 2011 (CET)

Maximal und Minimalgeschwindigkeit

Und dass die letzte Gleichung des Artikels überhaupt nicht hinhaut, das kann ja schon fast der mathematische Laie sehen. Denn die Bahngeschwindigkeit hängt ja nicht nur von der Exzentrität der Ellipse ab, sondern auch von deren Größe, also muss noch das a eingebaut werden.

$v_{max}^{2}={\frac {C^{2}}{p\cdot a}}\cdot {\frac {1+e}{1-e}}\qquad v_{min}^{2}={\frac {C^{2}}{p\cdot a}}\cdot {\frac {1-e}{1+e}}$

Wenn keine berechtigten Einwände kommen, werd ich das demnächst im Hauptartikel ändern. --Willi windhauch 10:18, 31. Jan. 2011 (CET)

Orbit

Den Satz

Mit der idealen, ungestörten Keplerbahn kann eine Bestimmung des Radius und der Geschwindigkeit in Bezug zur wahren Anomalie erfolgen. Die Keplerbahnen können in vier Orbitklassen unterteilt werden (siehe Abb.), wobei man in der Regel bei einer idealen Keplerbahn meist von einem elliptischen Orbit spricht.

verstehe ich nicht. Ist damit gemeint, dass man oft nur bei elliptischen Bahnen von "Keplerbahn" spricht? Es kann ja kaum gemeint sein, dass man auch Hyperbelbahnen als elliptisch bezeichnet.

Außerdem: Warum "elliptischer Orbit", "parabolischer Orbit" und "hyperbolischer Orbit", statt einfach "Ellipse", "Parabel", "Hyperbel"? -- Digamma 21:43, 13. Mai 2011 (CEST)

Inverses Kepler-Problem

Kann mal wer die entsprechenden Abschnitte der englischen Version adaptieren? (nicht signierter Beitrag von 92.224.156.188 (Diskussion) 02:05, 14. Mai 2011 (CEST))

Das, was im englischen Artikel "inverse Kepler problem" genannt wird, wird hier doch schon behandelt, unter dem Titel "Berechnung der exzentrischen Anomalie". Ich halte die Bezeichnung im Übrigen für unpassend. Das Keplerproblem ist die Aufgabe zu jedem Zeitpunkt t den Ort anzugeben, und der wesentliche Schritt dabei ist, zu jedem Wert von M den zugehörigen Wert von E anzugeben. Es ist also das eigentliche Kepler-Problem, nicht die Umkehrung. Es wird nur dadurch zur Umkehraufgabe, weil man zunächst das umgekehrte Problem E → M löst. -- Digamma 09:52, 14. Mai 2011 (CEST)

area?

was heißt area? (nicht signierter Beitrag von StefanHuglfing (Diskussion | Beiträge) 22:21, 10. Jan. 2012 (CET))

Steht im Artikel: "mit der Funktion $\operatorname {area} \,ABC,$ die die Fläche des Kreis- bzw. Ellipsensektors ABC berechnet." Das Wort kommt vom Engl. "area"=Fläche. --Boobarkee 22:34, 10. Jan. 2012 (CET)

Leicht irreführend ist, dass "area ABC" mal für die Fläche des *Dreiecks* ABC verwendet wird, mal für die Kreis- bzw. Ellipsensektorfläche, die das Dreieck enthält. Hier z.B., Zitat: "Die Fläche CXZ besteht aus den Teilflächen CXS und SXZ:" --84.59.136.222 21:08, 9. Dez. 2013 (CET)

Ich denke, dass aus dem Bild immer klar wird, welche Fläche gemeint ist. Wenn zwei der drei Punkte auf dem Ellipsen- oder dem Kreisbogen liegen, ist immer die Sektorfläche gemeint. Mir fällt kein Weg ein, wie man genauer sein könnte, ohne sich deutlich komplizierte auszudrücken. Man müsste wohl allen Teilflächen eigene Bezeichnungen geben und diese in den Formeln verwenden. Das scheint mir aber unübersichtlich zu sein. --Digamma (Diskussion) 17:09, 23. Mär. 2014 (CET)

Mittlere Anomalie

Die Mittlere Anomalie ist der Winkel am Brennpunkt! Kepler hat es selbst so definiert: http://www.rainerstumpe.de/HTML/kepler_ma.html Die Abbildung im Artikel "Kepler-Gleichung" ist falsch. --rast4229Rast4229 21:14, 7. Feb. 2012 (CET)

Der dtv-Atlas Astronomie (1. Auflage 1973; S. 59) gibt Dir recht. --Boobarkee 22:13, 7. Feb. 2012 (CET)

Wenn ich das richtig verstehe, spielt das keine Rolle. --Digamma 22:54, 8. Feb. 2012 (CET)

Wieso? Die mittlere Anomalie im Sinne dieses Artikels hängt linear von der Zeit ab. Die mittlere A. im Sinne des dtv-Atlases (außer im Fall einer Kreisbahn) sicher nicht. Allerdings hat die englische WP einen Kompromiss anzubieten: in en:Mean anomaly wird nicht der Winkel, sondern die überstrichene Fäche als mittlere A. definiert. Die hängt wieder linear von der Zeit ab. --Boobarkee 00:43, 9. Feb. 2012 (CET)

Laut dtv-Atlas: "Die mittlere Anomalie M ist der von der Sonne aus betrachtete Winkel zwischen dem Perihel und dem augeblicklichen Ort eines gedachten, mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die Sonne laufenden Körpers, wobei die Umlaufzeit gleich der des tatsächlichen Planeten ist." (dtv-Atlas Astronomie, S. 59, Hervorhebung von mir).

Die mittlere Anomalie hängt auch hier linear von der Zeit ab. Genau das ist mit "mittlere" gemeint. Der Unterschied ist: Bei der Betrachtung hier läuft der gedachte Körper um den Mittelpunkt der Ellipse und der Winkel wird am Mittelpunkt der Ellipse gemessen, beim dtv-Atlas läuft der gedachte Körper um die Sonne und der Winkel wird an der Sonne gemessen. Die gesamte Situation wird also einfach nur vom Mittelpunkt der Ellipse in die Sonne verschoben (bzw. umgekehrt). An der Größe des Winkels ändert sich nichts. Er beträgt immer $2\pi {\tfrac {t-t_{0}}{U}}$ wobei U die anomalistische Umlaufdauer ist und $t-t_{0}$ die Zeit seit dem Periheldurchgang. --Digamma 13:19, 10. Feb. 2012 (CET)

@Digamma, dieser Punkt geht klar an Dich. Sorry für meine Unachtsamkeit. Damit ist es wirklich egal, ob man den gedachten Körper nun um den Mittelpunkt der Ellipse oder um einen Brennpunkt rotieren lässt. --Boobarkee 16:10, 10. Feb. 2012 (CET)

Es spielt schon eine Rolle, ob die mittlere und exzentrische Anomalie vom Brennpunkt (Sonne) oder dem fiktiven Ellipsenmittelpunkt aus gerechnet werden. Und zwar spielt es eine Rolle für das astronomische Verständnis von Keplers Denken und und anderseits für die Berechnung der Flächen. M ist anderseits einfach der Winkel, der einer Zeit t entspricht.

Interessanter ist, ob die exzentrische Anomalie von der Sonne aus gerechnet werden kann oder wie Kepler auf die exzentrische Anomalie gekommen ist. Auch in der englischen Version wird die exzentrische Anomalie vom Ellipsenmittelpunkt aus definiert. --Peter. (nicht signierter Beitrag von 84.75.9.8 (Diskussion) 23:55, 20. Jul 2012 (CEST))

OK, aber zunächst geht es hier um eine moderne Darstellung, erst in zweiter Linie um Keplers Verständnis der Sache. Dazu müsste der Artikel um einen Abschnitt zur Geschichte erweitert werden.

Was die exzentrische Anomalie betrifft: Das ist gerade der Parameter t in der üblichen Parameterdarstellung $(x,y)=(a\cos t,b\sin t)$. Ich glaube nicht, dass dieser Winkel vom Brennpunkt aus gerechnet werden kann. Der Winkel tritt ganz natürlich auf, wenn man die Ellipse als gestreckten oder gestauchten Kreis auffasst, vgl. Bild rechts, es ist der Winkel zwischen der Hauptachse und dem roten Strahl. --Digamma (Diskussion) 12:12, 21. Jul. 2012 (CEST)

Vielen Dank für die Erklärung von t. --84.75.9.8 13:28, 21. Jul. 2012 (CEST)Peter.

Die mittlere Anomalie M ist kein Winkel in der geometrischen Zeichnung. Die mittlere Anomalie ist die Zeit, ausgedrückt im Winkelmass. Die Kepler-Gleichung ergibt sich in der Herleitung besser, zufolge des Flächensatzes (nach Kürzen mit ab):

t/T * 2π = E - ε sin E .

Erst danach sollte man den linken Teil als Winkelgrösse M definieren. Der hypothetische Körper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ist nicht nötig. --84.75.9.8 01:39, 22. Jul. 2012 (CEST)Peter.

In http://www.educ.ethz.ch/unt/um/mathe/gb/Keplersche_Gleichung.pdf wird die mittlere Anomalie durch R. Strebel als normalisierte Zeit bezeichnet. --84.75.9.8 02:05, 22. Jul. 2012 (CEST) Peter.

Ein anderer Aspekt mit Anfrage zum diskutierten Bild File:Kepler's_equation_scheme_German.svg: die Lage der verschieden Punkte passt nicht zur Exzentrizität. Das ist zwar nur eine Skizze, aber m. E. wäre es lohnend, die Winkel auf e abzustimmen. Das könnte dann etwa aussehen, wie in diesem Entwurf. Wenn dafür im Artikel Aufnahmebereitschaft besteht, würde ich den Entwurf noch etwas ausfeilen und die linke leere Hälfte weglassen.--Modalanalytiker (Diskussion) 16:31, 30. Aug. 2013 (CEST)

Klarstellung keplersche Gesetze

Der Satz "Für diese Ableitung werden nur die keplerschen Gesetze benötigt." könnte lauten: entweder "Für diese Ableitung wurden nur die Keplerschen Gesetze benötigt. " oder direkt: "Für diese Ableitung wurden nur das 1. und 2. Keplersche Gesetz benötigt." (nicht signierter Beitrag von 84.75.9.8 (Diskussion) 23:55, 20. Jul 2012 (CEST))

Mir erschließt sich nicht, welchen Unterschied es macht, ob hier "werden" oder "wurden" steht. --Digamma (Diskussion) 11:30, 21. Jul. 2012 (CEST)

Erstes braucht es ein grosses K, und zweitens heisst "werden", wenn eine Herleitung anschliessend kommt, es kommt aber nichts mehr. "Diese" deutet sprachlich rückwärts und "werden" deutet sprachlich vorwärts. Man kann auch schreiben: Diese Gleichung ist eine Folge des 1. und 2. Keplerschen Gesetzes. Vielleicht gibt es Herleitungen, die das anders machen, z.B. sphärische Trigonometrie??--Peter.

"Werden benötigt" ist aber Präsens und kein Futur. Es steht hier wohl Präsens, weil die Tatsache zeitlos ist, und weil die Aussage sich nicht nur auf die vorangegangene konkrete Darstellung, bezieht, sondern eine logische Aussage macht: Man braucht nicht mehr als die beiden Keplerschen Gesetze, um die Gleichung herzuleiten. Ich hänge aber nicht an dem "werden". Du kannst es gerne ändern.

Man kann die Kepler-Gleichung vermutlich auch direkt aus den Newtonschen Gesetzen herleiten ohne den "Umweg" über die Keplerschen Gesetze. Aber man braucht das 1. Keplersche Gesetz, um die Kepler-Gleichung überhaupt formulieren zu können (damit die Exzentrizität und die exzentrische Anomalie überhaupt definiert sind) und dann folgt aus der Kepler-Gleichung umgekehrt das zweite Keplersche Gesetz. Insofern ist es richtig zu sagen, dass man für die Herleitung die ersten beiden Keplerschen Gesetze "benötigt".

Zum großen "K": Auch wenn es schmerzt: Nach den aktuell gültigen deutschen Rechtschreibregeln schreibt man die "keplerschen Gesetze" mit einem kleinen "k". --Digamma (Diskussion) 21:36, 21. Jul. 2012 (CEST)

Der unmittelbar folgende Satz ist beim ersten Lesen (wenn der Sinn des Themas der Kepler-Gleichung noch unklar ist) missverständlich, da in diesem Zeitpunkt nicht klar ist, ob die Kepler-Gleichung oder die Keplerschen Gesetze gemeint sind. Er könnte deshalb ohne Schaden entweder weggelassen werden, oder lauten: "Die Keplerschen Gesetze können, wie Isaac Newton zeigen konnte, aus dem Gravitationsgesetz abgeleitet werden, das Kepler jedoch nicht bekannt war."

Danke. --Peter (nicht signierter Beitrag von 84.75.9.8 (Diskussion) 23:55, 20. Jul 2012 (CEST))

Der Satz beginnt doch mit "Diese Gesetze ..." Ist das wirklich unklar? Warum soll mit "Gesetze" die Kepler-Gleichung gemeint sein? Ich stimme dir aber zu, dass man den Satz an dieser Stelle problemlos streichen kann. Thema sind ja nicht die Keplerschen Gesetze, sondern wie man mit deren Hilfe das Kepler-Problem löst. --Digamma (Diskussion) 11:30, 21. Jul. 2012 (CEST)

Ja das war unklar, und zwar weil die Frage, was die Kepler-Gleichung überhaupt ist, selber eine implizite Gleichung ist. Dass die Kepler-Gleichung nicht eines der drei Keplerschen Gesetze ist, sondern eine vierte Regel, ergibt sich beim mehrfachen Lesen durchaus. --84.75.9.8 13:41, 21. Jul. 2012 (CEST) Peter

Alle Graphiken mit Orbit und Umkreis

Alle 5 Abbildungen leiden unnötigerweise darunter, dass das Verhältnis b/a einer ganz anderen Exzentriziträt entspricht, als jene, die aus dem Brennpunktversatz abzulesen ist. Um Ellipse und Umkreis unterscheiden zu können, muss die Bahnexzentrizität größer als real gezeichnet werden; das ist in Kauf zu nehmen. Aber davon abgesehen sollten die Graphiken die Abhängigkeiten e(b/a) und M(e,E) korrekt abbilden. Dann würden auch die der Flächen-Illustration dienenden neuen Graphiken überzeugender. Falls ich Vorteile der jetzigen Inkonsistenz übersehe, die mein Vorschlag zunichte machen würde, sollten sie hier zur Sprache kommen. Modalanalytiker (Diskussion) 21:57, 9. Sep. 2013 (CEST)

Die neue Version der Abbildung Kepler's_equation_scheme_German.svg, d. h. die Fassung 15:00, 10 September 2013, verwirklicht eine wesentliche Verbesserung. M. E. könnte die Übertreibung der Exzentrizität noch reduziert werden, allerdings nur so viel, dass Umkreis und Orbit noch gut zu unterscheiden sind. Aber eine solche Optimierung ist zweitrangig gegen die bereits erledigte Überarbeitung. Modalanalytiker (Diskussion) 20:16, 11. Sep. 2013 (CEST)

Kepler-Gleichung, passendes Lemma für mehrere Probleme?

Unter Kepler-Gleichung lässt sich eine rein mathematische Angelegenheit verstehen. Im momentanen Artikel wird sie aber im Zusammenhang mit dem astronomischen "Kepler-Problem" behandelt. Am Schluss geht es um die reine geometrische Gegenüberstellung verschiedener Formen von "Kepler-Bahnen", wozu die Kepler-Gleichung nicht gebraucht wird. Etwas ordnende Arbeit ist demzufolge nötig.
mfG DrIngEnd 15:04, 14. Sep. 2013 (CEST)

Zum ersten Punkt: Hast du Belege dafür, dass die Bezeichnung "Kepler-Gleichung" nicht nur für die konkrete physikalisch/astronomische Gleichung $E-e\cdot \sin E=M$ sondern auch für die rein algebraische Version verwendet wird?

Zum zweiten: Das sehe ich auch so. Der Abschnitt "Ideale Keplerbahn" gehört nicht in diesen Artikel. --Digamma (Diskussion) 20:55, 15. Sep. 2013 (CEST)

"Epsilon" = Numerische Exzentrizität und "e" = Lineare Exzentrizität !

In allen Büchern wird die numerische Exzentrizität mit "Epsilon" angegeben, nur Wikipedia macht da in mehreren verschiedenen Artikel eine Ausnahme!

--Sonneninfo (Diskussion) 20:49, 18. Feb. 2014 (CET)

Bücher über analytische Geometrie oder über Astronomie? Welche? Der "dtv-Atlas zur Astronomie" schreibt z.B. e, die Schulbücher "Astronomie plus" vom Cornelsen-Verlag und "Astrophysik" vom Verlag Buchner schreiben $\varepsilon$. Die englische Wikipedia schreibt in den Artikeln en:Eccentricity (mathematics) und en:Eccentricity (orbit) für die numerische Exzentrizität "e" (und "c" für die lineare Exzentriziät).

Ich habe nichts dagegen, wenn hier auch durchgehend $\varepsilon$ geschrieben wird. Es sollte dann aber besser belegt und begründet sein also nur mit "in allen Büchern wird das so angegeben" und auf jeden Fall sollte es einheitlich sein. Ich habe deine Änderung revertiert, weil du nur eine einzelne Stelle geändert hast, wodurch sogar der eine Absatz inkonsistent wurde. --Digamma (Diskussion) 10:05, 19. Feb. 2014 (CET)

Einleitung und Herleitung

Ich habe in meinem Namensraum Einleitung und Herleitung neu verfasst: [1].
Die ersten Gleichungen habe ich übersprungen:
a) Bei der mittleren Anomalie liegt die Betonung auf (normalisierte) Zeit (Winkel ist sekundär, hier eher irritierend). Der fiktive Körper Y ist auch sonst verzichtbar.
b) Das Stauchungsverhältnis (Kreis - Ellipse) ist Geometrie (Gl.n 2 bis 4 entfallen).
Das Bild werde ich noch ändern. Enthält dann nur noch die Winkel T und E.
mfG DrIngEnd 16:57, 6. Apr. 2014 (CEST)

Symbol

Der Fehler ist hierbei von der Größenordnung ${\mathcal {O}}(e^{3}).$ Was bedeutet das große, nicht geschlossene O? --84.135.130.6 00:47, 14. Jul. 2015 (CEST)

$f\in {\mathcal {O}}(g)$ ist nur eine andere Schreibweise für das (vielleicht bekanntere) $f=O(g)$. Hier ist konkret

$E(e)-\left(M+e\cdot \sin M+{\frac {1}{2}}e^{2}\cdot \sin 2M\right)\in {\mathcal {O}}(e^{3})$

für $e\to 0$ gemeint und das bedeutet im Wesentlichen, daß $M+e\cdot \sin M+{\frac {1}{2}}e^{2}\cdot \sin 2M$ das zweite Taylorpolynom von $E(e)$ (an der Stelle $e=0$) ist, oder daß es sich um die nach dem quadratischen Glied abgebrochene Potenzreihenentwicklung $E(e)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{n}$, also um $a_{0}+a_{1}e+a_{2}e^{2}$ handelt. Für eine genauere Erklärung siehe Landau-Symbole!. --Franz 02:00, 14. Jul. 2015 (CEST)

Danke für die Auskunft. --Dioskorides (Diskussion) 18:16, 15. Jul. 2015 (CEST)

Numerisches Verfahren zum Berechnen von E aus M hinzufügen?

Vor einiger Zeit habe ich in einem Programm unter Anderem die exzentrische Anomalie berechnen müssen, und habe auf Wikipedia nach Gleichungen recherchiert. Ich war zunächst von den komplizierten Gleichungen sehr abgeschreckt, bis ich auf der englischen Wikipedia den Algorhitmus gefunden habe. Es wäre toll, diesen auch in dem deutschen Artikel einzufügen, da wahrscheinlich nicht jeder auch im englischen nachsehen wird. Außerdem kann dazu der Code einfach kopiert werden und es ist kein weiterer Aufwand nötig.

Leider bin ich hier sehr neu und unerfahren, dies ist mein erster Diskussionsbeitrag. Deshalb würde ich jemanden bitten, diese Ergänzung durchzuführen.

Vielen Dank und Liebe Grüße! (nicht signierter Beitrag von 2003:C2:2BC1:B100:5C42:8169:CEED:AA49 (Diskussion | Beiträge) 21:22, 11. Jan. 2017 (CET))

Ich hoffe, du findest die von dir gewünschte Lösung im Abschnitt Kepler-Gleichung#Lösung der Kepler-Gleichung. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:51, 16. Feb. 2019 (CET)

Bessere Trennung der reinen mathematischen Überlegungen/Rechnungen von Kepler

Im Abschnitt [2] habe ich vorgefunden:

Gemäß dem zweiten keplerschen Gesetz ist der Anteil der elliptischen Teilfläche an der Ellipse gleich groß wie der des Kreissektors am Umkreis. Im gleichen Zeitabschnitt überstreicht der Fahrstrahl ${\overline {SP}}$ des Körpers P im Verhältnis die gleich große Fläche wie der Fahrstrahl ${\overline {CY}}$ des Punktes Y:

$\left(2\right)\quad {\frac {\operatorname {area} \,CYZ}{\operatorname {area} \,SPZ}}={\frac {\pi a^{2}}{\pi ab}}={\frac {a}{b}}$

Dabei kann diese Gleichung (2) unmöglich eine Folgerung aus dem 2. keplerschen Gesetz sein. Entweder ist sie vor Kepler schon richtig gewesen und damit ein geometrisches Theorem oder sie ist falsch. Wenn aber ersteres, dann sollte Gleichung (2) (bei so vielen expliziten Herleitungen im Artikel) auch mathematisch (und ohne Verweis auf Kepler) hergeleitet werden. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:51, 16. Feb. 2019 (CET)

Wie soll das ein geometrisches Theorem sein? Der Ellipsensektor SPZ hat doch geometrisch nichts mit dem Kreissektor CYZ zu tun. Der einzige Zusammenhang ist der, dass der Ellipsensektor vom Fahrstrahl in der gleichen Zeit überstrichen wird wie der der Kreissektor von einem gleichmäßig, mit derselben Umlaufdauer rotierenden Radius. Dass die Flächenanteile der beiden Flächen gleich sind, ist dann eine Folge des 2. Keplerschen Gesetzes, dass der Fahrstrahl in gleichen Zeitabschnitten gleiche Flächen überstreicht. --Digamma (Diskussion) 18:59, 16. Feb. 2019 (CET)

Sind die Sektoren "Ellipsensektor SPZ" und "Kreissektor CYZ", also die Punkte S, P, Z, C und Y sowie die Halbachsen a,b nicht geometrisch charakterisiert resp. charakterisierbar? Doch sicherlich nicht durch Kepler2, oder doch? Wenn nicht, dann gilt die Flächengleichheit unabhängig von Kepler2! --Nomen4Omen (Diskussion) 19:16, 16. Feb. 2019 (CET)

Nein, die Punkte sind dynamisch charakterisiert. P ist der Punkt, an dem der reale umlaufende Körper sich zum Zeitpunkt t befindet, Y ist der Punkt an dem sich der fiktive Körper, der mit derselben Umlaufzeit U den Kreis gleichmäßig durchläuft, ebenfalls zum Zeitpunkt t befindet. Die Position des Punktes Y ist durch die Geometrie bestimmt: Der Winkel M entspricht der verstrichenen Zeit. Die Position des Punktes P ist aber durch das 2. Keplersche Gesetz bestimmt. --Digamma (Diskussion) 20:07, 16. Feb. 2019 (CET)

Mit dem Begriff "dynamisch" habe ich nicht viel anfangen können. Mir scheint aber, dass wir uns im Hauptpunkt einig sind, nämlich dass "die Position des Punktes P durch das 2. Keplersche Gesetz bestimmt ist". Daran, dass die nachfolgende Geometrie so aufwendig ist und dass es keine weiteren Hilfslinien zu Y gibt, ist wohl nichts zu ändern.
Meine einleitende Bemerkung muss ich allerdings etwas zurücknehmen, als dass der kritisierte Satz formal richtig ist – nur vielleicht, dass die Gl. (2) aufgestellt wird, um Kepler2 zu erfüllen, also um einen Zusammenhang zwischen Y und P herzustellen.
Etwas Arbeit habe ich in die Vereinheitlichung der Typografie gesteckt, wenigstens, was die erste Hälfte des Artikels angeht. --Nomen4Omen (Diskussion) 14:13, 17. Feb. 2019 (CET)

Mit "dynamisch" meinte ich: Durch die Gesetze der Physik.

Was den Gedankengang zu P betrifft: Ich denke, der Gedanke ist, dass P der Punkt ist, an dem sich der Planet zum Zeitpunkt t befindet. Nicht "damit Kepler 2" gilt, sondern einfach gemäß der Bewegung des Planeten. Aus Kepler 2 folgt dann die Flächengleichheit der beiden Sektoren. --Digamma (Diskussion) 18:51, 17. Feb. 2019 (CET)

Einverstanden. Klar hinter allem stehen die Gesetze der Physik.

Und P ist der Punkt, an dem sich der Planet zum Zeitpunkt t befindet.

Nun geht es um die Beziehung zwischen t und P. Normalerweise nimmt man an (so auch der Text), dass t gegeben ist. Gesucht ist P.

Kepler2 behauptet: Wenn die Flächen gewisser Sektoren (Flächen, die beide Funktionen von t sind) gleich sind, dann spezifiziert das den Planeten P. Es werden Bedingungen hierfür erarbeitet.

Die Rechnung kommt auf die (erstaunlich einfache) Kepler-Gleichung, ein Zusammenspiel von nur 3 Größen.

Nicht ausdrücklich gezeigt wird, aber wir wissen es, dass – Kepler1 in beiden Fällen vorausgesetzt – Kepler2 mit der Kepler-Gleichung äquivalent ist. --Nomen4Omen (Diskussion) 21:04, 17. Feb. 2019 (CET)

Funktionsgleichung

@Johannes Barker, Du möchtest offenbar unbedingt dieses Bild am Anfang des Artikels stehen haben.Ich halte es an dieser Stelle für unangebracht, denn ohne tieferes Verständnis der Kepler-Gleichung sieht man hier nur, dass urgendwas auf dem Intervall von 0 bis $2\pi$ um die Diagonale schwankt. Außerdem stellt es nicht die Gleichung dar - die ist etwas anderes als der Funktionsplot der Gleichung. Ich denke, diese Grafik gehört etwas weiter hinten in den Artikel, wo die Mathematik und die Begriff der Anomalie schon eingeführt und bekannt sind. Der Einleitung würde es ebenfalls gut tun, wenn OMA verstünde, was diese Gleichung nun eigentlich ist. --Alturand…D 18:44, 1. Jul. 2023 (CEST)

Die Kepler-Gleichung in dem Artikel als Graph darzustellen, finde ich sehr hilfreich, aber ich würde sie auch nicht als Einstieg platzieren. Was ich allerdings fragwürdig finde, ist, dass die Grafik ganz ehrlicherweise beschrieben mit einem Online-Kurvenzeichner (https://www.desmos.com/calculator/g1bojeqot5) erzeugt wurde. Alle damit und dort erzeugten Inhalte sind urheberrechtlich geschützt (für Desmos), nur die private oder nicht-kommerzielle Verwendung z. B. für Schulen ist ausdrücklich kostenfrei gestattet (https://www.desmos.com/terms#intellectual-property). Das ist also weder PD noch eine CC-Lizenz. Das reicht, so viel ich weiß, nicht für Wikimedia-Publikationen. Wenn eine CC-Lizenz von Desmos nicht zu erhalten ist, was ich befürchte, müsste man die Grafik selbst erzeugen. Dann wäre zu überlegen, für welche $e$ das sinnvoll ist und ob $e=0.7$ wirklich hervorgehoben werden sollte.
—pendethan (Diskussion) 11:57, 3. Jul. 2023 (CEST)

Die Frage, ob maschinell erzeugte Werke überhaupt urheberrechtlich geschützt sein können, lassen wir mal aussen vor. Die darin enthaltenen Schriften, Muster und Gliederungsvorlagen können es jedenfalls sein, wohingegen die geplotteten Inhalte sicher als abgeleitete Werke der Formulierung des Nutzers anzusehen sind, die nach EU-Urheberrecht ein nicht-übertragbares Urheberrecht begründen, das auch durch Ansprüche Dritter nicht übertragen werden kann, erst recht nicht automatisch, sondern eine ausdrückliche Übertragung von Verwenrtungsrechten erfordert. So ähnlich lese ich jedenfalls (INAL) das Urheberrecht. Die Frage, ob mit Desmos erzeugt Inhalte unter frei wählbaren Lizenzen verbreitet werden können, würde also einer genaueren Untersuchung bedürfen. --Alturand…D 23:23, 5. Jul. 2023 (CEST)

> Du möchtest offenbar unbedingt dieses Bild am Anfang des Artikels stehen haben.Ich halte es an dieser Stelle für unangebracht,

Ja, ein Bild des Funktionsplots gehoert in den Artikel; meiner Meinung nach auch ganz nach oben noch vor der Herleitung.

> denn one tieferes Verständnis der Kepler-Gleichung sieht man hier nur, dass urgendwas auf dem Intervall von 0 bis 2pi um die Diagonale schwankt.

Ja, das ist eben die Keplergleichung.

Die Diagonale ist e=0. Was "schankt" ist e>0.

Um das zu verstehen, braucht man weniger als fuer den Rest des Artikels.

> Außerdem stellt es nicht die Gleichung dar - die ist etwas anderes als der Funktionsplot der Gleichung.

Doch der Graph zeigt wie die Gleichung mathematisch aussieht. Wer wissen will was der Winkel E geometrisch ist, muss halt tiefer lesen.

Mit den Rechten kenn ich mich weiter nicht aus. Aehnliche desmos plots+link habe ich auch schon auf anderen Wikipedia Seiten gesehen (z.B. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Visual_demonstration_of_the_double-angle_trigonometric_identity_for_sine.svg auf https://en.wiki.x.io/wiki/List_of_trigonometric_identities).

Der Plot ist zumindest auch selbst erzeugt.

Den zugehoerigen Desmos link finde ich auch nett, weil man dort die Exzentrizitaet interaktiv waehlen kann

und auch sieht, dass man die Funktion einfach implizit zeichnen kann (d.h. man muss dazu die Gleichung nicht explizit loesen). --Johannes Barker (Diskussion) 20:56, 23. Jul. 2023 (CEST)

"Gibt auch woanders" ist nun im Urheberrecht eine schlechte Ausrede...daher wäre ein "gnuplot"-Plot IMHO angebrachter. Ich würde ihn auch machen, wenn wir uns hier einigen, für welche Werte des Parameters e.

Ansonsten "vor der Herleitung" ist IMHO mal nicht der falsche Ort. Aber dann mit der Konnotation, dass das eine grafische Illustration der Gleichung ist, aber nicht die Gleichung selbst. Und mit einer Erklärung, was man aus der Illustration über die Gleichung lernen kann. --Alturand…D 16:28, 28. Jul. 2023 (CEST)

@Alturand @Pendethan Ich habe die Rechtefrage mit desmos geklaert. Sie erlauben das und haben es nun in ihre Nutzungsbedingungen aufgenommen (https://www.desmos.com/terms?#use):

> Notwithstanding the above, you are authorized to distribute that Content (defined below) which consists of images generated using the Desmos Tools from your User Submissions and Generated Content under a Creative Commons “Attribution-ShareAlike” License (CC-BY-SA-4.0), with attribution to include reference to “Desmos”, “Desmos Studio PBC” or the Desmos logo. --Johannes Barker (Diskussion) 23:12, 23. Aug. 2023 (CEST)

Klasse, Danke für die Klärung! Ich nehme dann mal den Löschantrag zurück. --Alturand…D 23:32, 23. Aug. 2023 (CEST)