Diskussion:Laplace-Runge-Lenz-Vektor

jetzt habe ich mir so viel Mühe gegeben und dann bin ich nicht mal Autor ... immer dieses automatische Ausloggen :-( Also, wer Kritik üben will, weiß jetzt, an wen er sich wenden kann.

--LaKaMO 01:52, 14. Okt 2005 (CEST)

Fehler in der Definition von alpha

Die Definition von alpha ist bezueglich Coulomb-Kraft nicht richtig. Da ist das Vorzeichen falsch. -- 193.175.8.66 13:56, 4. Mär. 2011 (CET)

Erhaltung

Im Beweis der Erhaltung des Laplace-Runge-Lenz-Vektors bin ich an folgender Stelle hängen geblieben.

[...] die Tatsache, dass ${\dot {\vec {r}}}=\left|{\vec {r}}\right|\cos \left(\angle {\vec {r}},{\dot {\vec {r}}}\right)$ ist, d.h. durch das Skalarprodukt mit dem Ortsvektor wird nur der radiale Anteil der Geschwindigkeit, also ${\dot {r}}$ auf jenen projiziert.

Auf der linken Seite des Gleichheitszeichen steht ein Vektor, auf der rechten ein Skallar. Auch der Text hilft mir nicht weiter hier zu verstehen, warum ${\vec {r}}\left({\vec {r}}{\dot {\vec {r}}}\right)={\dot {r}}r{\vec {r}}$ gelten soll. Das würde doch ${\vec {r}}{\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}r$ bedeuten?!

-- Towa 11:16, 6. Dez 2005 (CET)

Hallo LaKaMO, vielen Dank für diesen gelungenen Artikel. Aber beim Ableiten von ${\vec {r}}/{r}$ hast du ein bisschen gemogelt, denn wenn man d/dt (${\vec {r}}$²)^-0,5 mit der Kettenregel durchrechtnet, bleiben da doch mehr vektoren übrig, und wenn man dann die Subtraktion durchführt bleibt da nur 0 übrig, naja du hast halt ein weing getrickst und hast einmal den vektor ${\vec {r}}$ und einmal den Betrag aus dem Bruch rausgezogen und daraus den Einheitvektor in r-Richtung gemacht, aber den muss man dann auch durch die Rechnung mitschleppen. Vielleicht könnte man das noch ein wenig ausfürlicher machen, damit man auch alles Argumentationsschritte schnell nachvollziehen kann.

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Nee, das Ableiten ist in Ordnung. Die Frage ist wohl wirklich, warum ${\vec {r}}{\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}r$ gilt. -- Towa 00:49, 7. Dez 2005 (CET)

Ich glaube ich hab's - siehe Artikel. -- Towa 01:52, 7. Dez 2005 (CET)

Ja, da war wohl einfach ein Vektor-Zeichen zu viel in die linke Seite der Formel geraten. Die Stelle ist wirklich die zum Nachdenken. Daher auch die sprachliche Formulierung mit der Projektion. --LaKaMO 23:50, 28. Jan 2006 (CET)

Streng genommen ist es doch falsch, wenn man sagt, dass der Drehimpuls nicht ändert. Wenn man davon ausgegehen, dass der Zentralkörper fix im Zentrum steht, wählt man ein Bezugsystem, in dem sich der Drehimpuls ändern kann. Hat man zu Beginn den Zentralkörper im Zentrum, so ist dessen Beitrag zu Drehimpult Null. Aber der bleibt ja nicht Null! Da der Gesamtdrehimpuls sich nicht ändert, muss sich der Drehimpuls des anderen Körpers zum Ausgleich änden. -- Towa

Das verstehe ich nicht. Dass der Zentralkörper fix im Zentrum steht, wird zumindest im Artikel nicht behauptet. Eigentlich befinden wir uns in einem "wie auch immer erzeugten" Zentralfeld, dessen Ursprung der Ursprung unseres Koordinatensystems ist. Uns interessiert nur der Probenkörper (also die Erde, das Elektron,...), der sich in diesem Potenzial bewegt...und dessen Drehimpuls konstant ist wegen

${\dot {L}}={\frac {d}{dt}}\left({\vec {r}}\times m\cdot {\dot {\vec {r}}}\right)={\dot {\vec {r}}}\times m{\dot {\vec {r}}}+{\vec {r}}\times \left(-m\alpha {\frac {\vec {r}}{r^{3}}}\right)=0$.

Um auf das Zweikörperproblem zu kommen, führst du Relativkoordinaten ein (Abstand der beiden Körper und Schwerpunktkoordinate), wobei der Koordinatenursprung nun der Schwerpunkt ist, um den sich eine "reduzierte Masse" $m_{1}m_{2}/(m_{1}+m_{2})$ im Abstand ${\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}$ bewegt. Das ist in den meisten Mechanik-Büchern zur Theoretischen Physik gut nachzulesen (Kepler-Problem). --LaKaMO 15:28, 29. Jan 2006 (CET)

Was ich meine, ist folgendes: Auf unseren Körper wirkt eine Kraft, also muss es auch irgentwo eine Gegenkraft geben. Beide Kräfte ändern Impuls und Drehimpuls des Körpers auf den sie wirken. Insgesammt bleibt der Impuls und der Drehimpuls erhalten. Es bleibt aber nicht unbedingt der Drehimpuls des Probekörpers erhalten, was im Beweis aber benutzt wurde. -- Towa

Impuls ja, Drehimpuls nein. Die Kräfte wirken gerade auf der Verbindungslinie der beiden Körper, in der sich auch der Schwerpunkt derselben befindet. Der Schwerpunkt ist Ursprung des Koordinatensystems, also ist auch der Radiusvektor der beiden Körper parallel zur wirkenden Kraft. Der Drehimpuls ändert sich aber nur durch Normalkomponenten einer Kraft bezüglich des Vektors des Angriffspunktes. Entschuldige, dass ich da so mathematisch bleibe, aber das ist für mich gerade die einfachste Begründung. Schau dir die Formel nochmal an, die ich oben geschrieben habe, und sag, ob du da einen Fehler findest bzw. wo falsche Annahmen eingehen könnten. --LaKaMO 10:50, 30. Jan 2006 (CET)

Ja, das überzeugt mich :-) Vielleicht sollte der Beweis, dass der Drehimpuls des Probekörpers konstant ist in den Artikel aufgenommen werden. Ich kenne die von dir angesprochenen Bucher nicht und bin auch kein Physiker. Aber einfach zu sagen, dass der Drehimpuls konstant ist, ist dort sicher zu wenig, da zumindest ich den Drehimpulserhaltungssatz anwenden wollte, der aber nur für das ganze System gilt. Gruß, Towa 13:06, 30. Jan 2006 (CET).

Ich finde den Beweis mit Polarkoordinaten verwirrend. Ohne weiter Erklärungen (Link?) fand ich das Bild besser. Zumindest sollten alle auftretende Symbole benannt werden.

Ich habe den Beweis von ${\vec {r}}{\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}r$ vereinfacht, d.h. ohne Bezug auf Polarkoordinaten. Man muss lediglich wissen, dass das Betragsquadrat eines Vektors gleich dem Skalarprodukt mit sich selbst ist, und dass beim Ableiten eines Skalarprodukts die Leibniz-Regel (Produktregel) gilt. (Benutzer: rudolf.dann@t-online.de)

Benennung und Bild

Grüße allerseits!

Ich habe eine Frage zu der Größe $\alpha$ im Potential $V={\frac {\alpha {\vec {r}}}{r}}$ kommt es vor, genau so wie weiter unten:$\alpha =\left(\angle {\vec {r}},{\dot {\vec {r}}}\right)$. Haben die beiden $\alpha$ etwas miteinader zu tun? Im Gravitationspotential wäre $\alpha =mM\gamma$, was meiner Meinung nichts mit dem Winkel zu tun hat. Weiß jemand ob das richtig ist? -- schachar

Ja, das stimmt. Da gibt es zwei verschiedene $\alpha$. Leider weiß ich nicht, wie man das svg-Bild ändern kann. Geht das mit der Wikipedia-Software überhaupt? Wenn nicht, sollte das eventuell implementiert werden (feature request)!? -- Towa 07:47, 2. Feb 2006 (CET)

Ich hab' mir das Bild nochmal genauer angeschaut. An einer Strecke steht ${\dot {\varphi }}$. Sicherlich ist diese Länge von $r$ abhängig, darum schlage ich mal $r{\dot {\varphi }}$ als Beschrieftung vor. -- Towa 07:58, 2. Feb 2006 (CET)

Wenn das so ist, dann ließe sich doch wieder berichtigen, wenn man statt des $\alpha$ ein $a$ im Potential setzt? Dann könnte man auch die Graphik so lassen. -- schachar 19:16, 2. Feb 2006 (CET)

Also, ich habe die Potenziale so gelassen und an den zwei Stellen $\beta$ statt $\alpha$ geschrieben. Der Winkel hat keinen so speziellen Namen in der Literatur, das Potenzial schon eher. Die Grafik passe ich noch an.

Ergänzungen

Ich kenne das selbe Ding unter "Verallgemeinerter Lenzscher Vektor", dann aber ohne den Massenvorfaktor, der für sämtliche überlegungen ja sowieso unerheblich ist. Ferner lässt sich die Eigenschaft des Vektors, Erhaltungsgröße zu sein, auch sowohl aus dem Noether-Theorem als auch aus der Hamilton-Gleichung mittels Poisson-Klammer herleiten. Soll das hier rein, oder wäre das zu viel des guten? Gruß --Prometeus 21:35, 21. Feb 2006 (CET)

Ich fände es hübsch, weiß aber nicht, ob das Meinung der nicht-physikalischen Leserschaft ist. Die jetzige Herleitung ist zumindest mit Physik-LK noch einigermaßen verständlich. Noether&Hamilton brauchten dann zumindest eine Mechanik-Vorlesung. Schreib's doch erstmal rein, allerdings bin ich bei einer geeigneten Überschrift überfragt. Vielleicht Verallgemeinerung? Wo taucht der Vektor denn abgesehen von den schon beschriebenen Potenzialen noch auf? Anwendungen etc. Statt Masse wird dann immer mit Impulsen gerechnet? Kann man das dann in der Quantenmechanik verwenden? --LaKaMO 13:25, 4. Mär 2006 (CET)

Englische LRL-vektor Seite ist Exzellent-Artikel-Kandidat

Hallo!

Die englische Version dieser Seite ist gerade ein Kandidat, Exzellent-Artikel zu werden. Leider, befürchte ich, gibt es allzuwenige Editoren da die sich dafür interresieren werden. :( Wenn Sie English können — wie ich vermute — wären Sie so nett, diese englische Seite mal anzuschauen und ihre Meinung und Ratschläge dazu geben? Vielen herzlichen Dank! :) Weide 20:53, 1. Jan. 2007 (CET)

F = - grad V

Bei der Herleitung der Kraft stimmt doch was nicht. Im Artikel steht: ${\vec {F}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\vec {r}}}}={\frac {\alpha }{r^{3}}}{\vec {r}}={\dot {\vec {p}}}$

Es müsste aber lauten: ${\vec {F}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\vec {r}}}}=\alpha {\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}}}{\frac {1}{r}}=-{\frac {\alpha }{r^{3}}}{\vec {r}}={\dot {\vec {p}}}$ Das Vorzeichen ist meiner Meinung nach im Artikel falsch. Oder irre ich hier total?

Proportionalitätskonstanten

Ist das richtig so, dass in dem $\alpha$ noch das m bzw. $q_{1}$ drin steht? 91.9.254.37 15:15, 18. Mär. 2007 (CET)

Zu dumm zum Formatieren

Ich habe gerade die Formeln umgebaut. Dabei musste ich oft den harten Zeilenumbruch nutzen um die Gleichungen untereinander zu bekommen, was laut Bearbeitenseite nicht so toll ist. Wenn mir jemand eine bessere Methode erklären/sie anwenden könnte, wäre das gut. z.B. würde die align-Umgebung aus dem AMS-TeX-Package das Problem lösen, aber ich habe keine Ahnung wie man das hier zum laufen kriegt. --Esmen 00:14, 22. Mär. 2007 (CET)

Exzentrizität

Unter "Herleitung der Bahnkurve" wurde die Exzentrizität definiert als:

$\epsilon =-A/m\alpha$.

Im Englischen Artikel steht da kein Minus, was meiner Meinung nach auch richtig ist. Habs mal nachgerechnet und dann geändert. Bitte mal prüfen.

Herleitung der Bahnkurve

Ich habe 2 mal nachgerechnet und kann nicht nachvollziehen, wie das Minus-Zeichen bei r = - ... kommt. Kann das bitte jemand überprüfen und ggf. ändern? 78.52.229.168 01:30, 5. Jan. 2009 (CET)

Gut gesehen … —Quilbert 問 17:27, 7. Jan. 2009 (CET)

Isotropie

"In einem System mit 1/r-Potenzial gilt Isotropie" Ich glaube, dieser Satz ist nicht ganz richtig. Vollständig Isotrop ist der Raum nur aus der sicht eines Korrdinatensystems im Ursprung des Feldes, da die "Gravitationsfeldlinien" alle durch diesen Punkt gehen und man daher in diesem Punkt unendlich viele Symmetrieachsen hat. In jedem anderen Punkt ist der Raum nur bezüglich einer unendlichzähligen Symmetrieachse isotrop, welche durch den Ursprung des Feldes geht, wenn man weit genug von diesem entfernt ist und die "Gravitationsfeldlinien" als quasiparallel angenommen werden könne (was sie streng genommen natürlich nie sind). (nicht signierter Beitrag von 178.190.120.164 (Diskussion) 17:40, 22. Okt. 2011 (CEST))

Konstante der Bewegung eines Körpers oder der Bewegung von zwei Körpern ?

Im Artikel steht der Satz "Für zwei auf Basis der Newton'schen Physik interagierende Körper ist der Vektor eine Konstante der Bewegung, d.h. er ist auf jedem Punkt der Bahn gleich (Erhaltungsgröße)".

In der Formel wird dagegen nur der "Ort des Körpers", der "Impuls des Körpers" und der "Drehimpuls des Körpers" erwähnt.

Kann es sein, dass der LRL-Vektor zweier Körper wirklich nur vom Ort, Impuls und Drehimpuls eines Körpers (gemessen relativ zum anderen Körper) abhängt?

Fehlt da noch eine unerwähnte Koordinatentransformation oder gilt das ganze nur in Näherung für den Fall, dass ein Körper gegenüber dem anderen sehr schwer ist?

Gruß, -- Wortverdreher 10:03, 23. Jan. 2012 (CET)

Das Zweikörperproblem lässt sich immer auf ein Einkörperproblem reduzieren, in dem der eine Körper den Schwerpunkt des Systems umkreist und eine verschwindende Masse hat. Insofern kann man den LRL-Vektor auch bei zwei Körpern vergleichbarer Masse nutzen. Ort und Impuls eines Körpers legen seine Eigenschaften (bis auf die Masse, aber die bleibt konstant) bereits fest, insofern kann der Vektor gar nicht von weiteren, unabhängigen Größen abhängen. --mfb 12:19, 23. Jan. 2012 (CET)

Müsste in dem Fall nicht der Ortsvektor (im Artikel: "Ort des Körpers") vom Schwerpunkt des Systems aus gemessen werden? Im Artikel sieht es so aus, als ob der komplette Abstandsvektor verwendet werden müsste. -- Wortverdreher 13:38, 23. Jan. 2012 (CET)

Beide sind proportional (mit fester Konstante, die von den Massen abhängt), das spielt also auch keine Rolle. --mfb 11:37, 24. Jan. 2012 (CET)

Hmmm, irgendwie verstehe ich da was nicht, oder wir reden aneinander vorbei. Zur Illustration dessen, was ich meine, mal ein anderes Beispiel: Die kinetische Energie eines Körpers ist 0.5*m*v*v (mit m=Masse und v=Geschwindigkeit). Und diese kinetische Energie ist unter bestimmten Bedingungen eine Konstante. Wenn ich jetzt behaupte, dass m*v*v die kinetische Energie ist, dann ist das schon irgendwie richtig, denn diese Zahl ist unter den selben Bedingungen konstant. Beide Zahlen sind aber verschieden, und die eine Zahl gibt die kinetische Energie, wie sie definiert ist, an, die andere nicht. Wenn ich also von zwei Vektoren behaupte, dass sie beide den LRL-Vektor darstellen und das damit begründe, dass beide zueinander proportional sind, dann ist entweder die Behauptung falsch, oder der LRL-Vektor ist nicht eindeutig definiert. Und letzteres kann ich mir irgendwie nicht vorstellen. Aber ich lerne natürlich immer gerne dazu. -- Wortverdreher 15:59, 24. Jan. 2012 (CET)

Meine Aussage ging eher in diese Richtung: Unabhängig davon, welchen Abstand man nimmt (zum Schwerpunkt oder zum anderen Körper), bleibt der LRL-Vektor innerhalb eines Orbits erhalten. Der Rest ist also Definitionssache. Bei der kinetischen Energie ist das nicht richtig, sobald man sie mit anderen Energieformen vergleicht. Aber das geschieht hier ja nicht, der LRL-Vektor ist in keine allgemeinere Erhaltungsgröße (wie Energie oder Drehimpuls) eingebunden. --mfb 11:29, 25. Jan. 2012 (CET)

Um genau diese Definitionssache geht es mir hier. Eine physikalische Größe bis auf vielfache zu bestimmen, wird dem Anspruch eines Wikipedia-Artikels über diese Größe meiner Meinung nach nicht gerecht. Ich kenne mich mit der Materie hier nicht gut genug aus, um es selbst umzuformulieren. Aber ich finde, dass der Artikel so umformuliert werden muss, dass sich eine eindeutige Definition des LRL-Vektors daraus erkennen lässt. Und speziell für meine Frage bedeutet das: Was ist mit (Ort, Impuls, ...) des Körpers gemeint, wenn es im Artikel ganz offensichtlich um 2 Körper geht. --Wortverdreher 13:57, 25. Jan. 2012 (CET)

So wie es im Artikel steht, würde ich es als "relativ zum Schwerpunkt" interpretieren. --mfb 17:13, 25. Jan. 2012 (CET)

was ist gamma?

in der Proportionalitätskonstante $\alpha$ taucht im Kepler-Fall der Buchstabe $\gamma$ auf ist aber nirgends erklärt. Ist es die Gravitationskonstante? --Kondephy (Diskussion) 19:24, 26. Sep. 2012 (CEST)

Hallo Kondephy! Ja, so ist es. Aber auch die Bezeichnungen $m,$ $M,$ $q_{1},$ $q_{2},$ $\pi ,$ $\epsilon _{0}$ und $\epsilon _{r}$ für andere Konstanten sind in der fraglichen Zeile nicht erklärt. Wenn Du meinst, daß das nötig sei, dann kannst Du es ja ändern. Liebe Grüße, Franz (Diskussion) 19:34, 26. Sep. 2012 (CEST)

Hi, ich habe $\gamma$ und $\epsilon _{0}$ ergänzt. Wer sich für den Runge-Lenz-Vektor interessiert ist sicher nicht die absolute OMA und kann sich q für Ladung und m für Masse denken. Mir war nur $\gamma$ nicht so geläufig wie G, das beispielsweise auch auf der Seite Gravitationskonstante verwendet wird. Sollte man das vllt einheitlich machen? --Kondephy (Diskussion) 09:37, 27. Sep. 2012 (CEST)

die Herleitung mithilfe von baccab

Hallo Benutzer:Spaciger, deine Herleitung ist fehlerhaft, nämlich in der Zeile:

$-{\vec {r}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {1}{r}}\neq {\vec {r}}{\frac {1}{r^{2}}}{\dot {r}}$,

sondern

$-{\vec {r}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {1}{r}}=-{\vec {r}}\left({\dot {\vec {r}}}\cdot {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}\right)={\vec {r}}{\frac {{\dot {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}}{r^{3}}}$.

Entsprechend hebt sich dann auch der Term gegen den ersten Term aus dem doppelten Kreuzprodukt weg, wo ebenfalls nicht ${\dot {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}}={\dot {r}}r$ gilt. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 18:34, 25. Mai 2021 (CEST)

Hey Monsterle wir haben das fast gleiche Ergebnis. Du darfst nur nicht den Zähler deines Bruches zu Vektoren machen. Dann kürzen sich ein r im Zähler mit einem im Nenner weg und wir haben das gleiche Ergebnis in der Ableitung. Ich schreibe es dir auch nochmal gerne als Produktregel auf: --Spaciger (Diskussion) 20:49, 25. Mai 2021 (CEST)

Hey ich denke schon das die Ableitung Richtig war. Du hast vergessen, dass im Nenner keine Vektoren standen. Würdest du also die Vektorstriche im Zähler weglassen, würden sich ein r vom r^3 Wegkürzen. Hier nochmal als Produktregel:

$-{\frac {d({\frac {\vec {r}}{r}})}{dt}}={\frac {d}{dt}}({\vec {r}})(r)^{(-1)}=-\left({\vec {r}}\,{\dot {\vec {r}}}\,(r)^{(-1)}+{\vec {r}}(-1)(r)^{(-2)}{\dot {r}}\right)=-{\frac {{\vec {r}}{\dot {\vec {r}}}}{r}}+{\frac {{\vec {r}}{\dot {r}}}{r^{2}}}$

Beim Kreuzprodukt wird die bac-cab Regel genutzt. Durch die Scalarprodukte fallen dort die Vektoren in der Klammer weg--Spaciger (Diskussion) 20:49, 25. Mai 2021 (CEST)

Entschuldigung, ich muss klar widersprechen. So funktioniert die Mathematik nicht. Wenn du dir das ganze in kartesischen Koordinaten aufschreibst, ich weiß, das ist ein Heidenaufwand, wirst du erkennen, dass meine Variante korrekt ist:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {1}{r}}=\sum _{j}{\frac {\mathrm {d} x_{j}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{j}}}\left(\sum _{i}x_{i}^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j}{\dot {x}}_{j}\left(\sum _{k}x_{k}^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{j}}}\sum _{i}x_{i}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j}\sum _{i}|{\vec {x}}|^{-3}{\dot {x}}_{j}(2\delta _{ij}x_{i})=-{\frac {{\dot {\vec {x}}}\cdot {\vec {x}}}{|{\vec {x}}|^{3}}}$

--Blaues-Monsterle (Diskussion) 00:23, 26. Mai 2021 (CEST)

Wenn du die Beträge der Vektoren ableitest, wie kommst du auf einmal wieder auf Vektoren? Die gehören da nicht hin? Und dann haben wir das gleiche. Mit freundlichen Grüßen --91.65.219.160 08:57, 26. Mai 2021 (CEST)

Die mathematische Vorschrift bei der Kettenregel lautet: leite nach den äußeren Funktionen ab, multipliziere sie mit der Ableitung der inneren Funktion und summiere darüber. In unserem Fall haben wir drei äußere Funktionen $r_{i}$ und die äußere Ableitung ist jeweils $\mathrm {d} r^{-1}/\mathrm {d} r_{i}=-r^{-3}r_{i}$. Die innere Ableitung ist dann entsprechend $\mathrm {d} r_{i}/\mathrm {d} t={\dot {r}}_{i}$. Das führt zu $\textstyle \mathrm {d} r^{-1}/\mathrm {d} t=-\sum r_{i}{\dot {r}}_{i}r^{-3}$. Dein Ausdruck hingegen lautet $\textstyle {\dot {r}}r^{-2}={\sqrt {\sum {\dot {r}}_{j}^{2}}}r^{-2}$ und wenn du mich fragst, wie meine Mathematik funktionieren soll, und ich das beantwroten kann, möchte ich im Gegenzug von dir wissen, wie ich durch das Nachdifferenzieren an die Terme unter der Wurzeln kommen kann. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 11:42, 26. Mai 2021 (CEST)

Ich habe noch einen alternativen Rechenweg, der wohl näher an deinem dran sein sollte, aber wo am Ende (natürlich) auch mein Ergebnis rauskommt. Wenn man nicht direkt nach den $r_{i}$ ableitet, sondern zuerst nach dem skalaren $r$, dann erhalten wir: $\mathrm {d} r^{-1}/\mathrm {d} t=-r^{-2}\mathrm {d} r/\mathrm {d} t$, aber (! - und hier liegt wohl der Denkfehler) $\mathrm {d} r/\mathrm {d} t\neq {\dot {r}}$, sondern $\textstyle \mathrm {d} r/\mathrm {d} t=\mathrm {d} /\mathrm {d} t{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\dots =\sum {\dot {x}}_{i}x_{i}r^{-1}$ wie oben. Man könnte auch einfach sagen: "Betragsbildung und Ableitung vertauschen nicht" (${\dot {r}}=|\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} t|\neq \mathrm {d} |{\vec {r}}|/\mathrm {d} t=({\dot {\vec {r}}}\cdot {\vec {r}})r^{-1}$) --Blaues-Monsterle (Diskussion) 15:12, 26. Mai 2021 (CEST)