Diskussion:Lebesgue-Maß

(erl.) Beträge

Müssen in der ersten Definition nicht auch Absolutbeträge anstatt einfach nur Klammern stehen? also |b_1 - a_1|... anstatt (b_1 - a_1). Ansonsten kann das Maß ja auch negativ werden.-- 88.217.47.105 18:47, 6. Jul. 2009 (CEST)

Nein, denn $[a_{1},b_{1}]$ ist ein wohl ein echtes Intervall und damit ist $b_{1}-a_{1}$ immer positiv. --Christian1985 23:25, 6. Jul. 2009 (CEST)

Abgrenzung

Was zur Zeit im Artikel steht, gehört in die Bereiche Maß und Maßtheorie. Das Lebesgue-Maß wird nicht genau definiert. --hh 23:54, 26. Mär 2004 (CET)

Der alte, zwischenzeitlich auskommentierte Teil:

Es ist historisch interessant, daß Ansätze zu dieser Betrachtungsweise bereits bei Euklid zu finden sind.

Cavalieri erweiterte das Konzept Euklids, indem er davon ausging, daß jede höhere Dimension im Prinzip aus unendlich vielen Elementen bestehe, welche der Dimension nach um einen Grad kleiner sein müssen.

Nachdem die Integration von Funktionen mit dem Begriff der Länge unmittelbar verknüpft ist, führt der Maßbegriff, auf die Integration angewandt, in vielen Bereichen der Mathematik, wie Funktionentheorie, Topologie, Funktionalanalysis etc. zu einer neuen Betrachtungsweise.

Wenn eine Funktion über einem Lebesgue-messbaren Bereich definiert wird, dann existiert auch das Lebesgue-Maß der Funktion.

Jede differenzierbare Funktion ist Lebesgue-messbar.

Das gilt nun aber auch für eine Klasse von Funktionen, welche in einem endlichen Intervall (abzählbar) unendlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt. Eine solche Funktion ist die Dirichlet-Funktion.

Solche Funktionen sind zwar nicht integrierbar durch das Riemann-Integral, aber im Sinne des Lebesgue-Integrales.

Pjacobi 19:29, 13. Sep 2004 (CEST)

Konstruktion des äußeren Maßes

Wir haben in der Vorlesung(siehe auch Bauer bzw. Elstrodt: Maß u. Int. Theorie)daß äußere Lebesgue-Maß mithilfe des elementargeometrischen Inhalt $\lambda$ auf den allgemeineren n-dimensionalen (halboffenen) Parallelepipede eingeführt, auf dem Ring der durch diesen Halbring erzeugt wird ist $\lambda$ sogar ein Prämaß. Z.b. kommt es mir so vor als wenn das Intevall $[e,\pi ]$ nicht in der Menge der Dyadischen Elementarzellen enthalten ist, noch sind mir allerdings einige Sachen Unklar, als dass ich den Artikel schon ändern möchte. Desweiteren müßte man vorher auch erstmal den Artikel zu den Parallelepipeden auf n-dimensionale Räume erweitern. Gruß Azrael. 19:26, 5. Mai 2007 (CEST)

Eindeutigkeit

In der letzten Änderung 16:07, 27. Apr. 2008 84.56.60.140 (6.542 Bytes) (sonst zuviele Mengen mit unendl. Maß) (rückgängig) wurde das Adjektiv "eindeutig" aus der Beschreibung von $\lambda$ genommen. Ich denke aber, das Borel-Lebesgue-Maß ist eindeutig, oder? --Drizzd 17:32, 28. Apr. 2008 (CEST)

Ich habe es rausgenommen, um die Lesbarkeit zu erhöhen. Die Eindeutigkeit steht ja gleich im nächsten Satz: "Durch diese Bedingung wird der Inhalt λ(B) beliebiger Borel-Mengen eindeutig festgelegt."--88.64.72.208 11:58, 1. Mai 2008 (CEST)

Dann sollten wir einfach diesen Satz weglassen. Mich hat die Definition so jedenfalls verwirrt, weil ja von dem Maß gesprochen wird, aber die Eindeutigkeit nicht unmittelbar klar ist. --Drizzd 18:44, 1. Mai 2008 (CEST)

Vitali-Menge

Der Begriff Vitali-Menge ist auf diese Seite gelinkt. Vitali-Menge wird hier allerdings nicht erklärt!--FerdiBf 12:42, 24. Aug. 2008 (CEST)

Ach, die Vitali-Menge ist unten in der Notiz: "...Nicht messbar sind z. B. die sogenannten Vitali-Mengen, die aus je einem Vertreter jeder Restklasse modulo Q (Ideal der rationalen Zahlen) in R (Ring der reellen Zahlen) bestehen...". Irgendwann kriegt sie einen eigenen Artikel. --Alexandar.R. 14:28, 29. Aug. 2008 (CEST)

In der Praxis mit dem Auswahlaxiom

"Nichtmessbare Mengen werden in der Praxis mit dem Auswahlaxiom gezeigt." Hierbei stört mich die Formulierung "in der Praxis", das klingt so, als würde man sie in der Theorie anders zeigen, aber in der Praxis mit dem Auswahlaxiom? Außerdem legt diese Formulierung nahe, dass man die Existenz von nichtmessbaren Mengen auch ohne Auswahlaxiom zeigen könne. Soweit ich weiß ist das aber nicht möglich, genauer: Die Aussage "Jede Teilmenge der reellen Zahlen ist Lebesgue-messbar" ist (wenn man ZF glaubt) unabhängig vom Auswahlaxiom, man könnte sie also ebenso zu ZF hinzufügen und würde keine Widersprüche erhalten (außer ZF hat schon welche). Aus diesen zwei Gründen bin ich mit der Formulierung nicht so zufrieden... --Cosine (Diskussion) 09:33, 22. Jan. 2013 (CET)

Ja, das ist richtig. Ich hab's jetzt umformuliert. -- HilberTraum (Diskussion) 11:51, 22. Jan. 2013 (CET)

@Cosine Du hast dich etwas verquer ausgedrückt, die Aussage „alle Teilmengen der reellen Zahlen sind Lebesgue-messbar“ ist nicht unabhängig vom Auswahlaxiom (die Negation folgt nämlich aus dem Auswahlaxiom), sondern unabhängig von ZF, insofern man einigen Aussagen über die Existenz großer Kardinalzahlen glaubt.

@Beide Ich finde die Aussage „Die Existenz von nicht Lebesgue-messbaren Mengen kann nur unter Verwendung des Auswahlaxioms gezeigt werden“ recht fraglich. Der Beweis von Solovay verwendet die Existenz einer (schwachstark) unerreichbaren Kardinalzahl. Es gibt noch einen anderen Beweis für die Konsistenz der Nicht-Existenz nicht-Lebesgue-messbarer Mengen mit ZF, aber der verwendet noch stärkere Annahmen über die Existenz großer Kardinalzahlen (aus denen die Konsistenz des Determiniertheitsaxiom (welches die Nicht-Existenz nicht-Lebesgue-messbarer Mengen impliziert) mit ZF folgt). Kennt ihr einen Beweis für die Konsistenz, der keine großen Kardinalzahlen benutzt? (man sollte sich vor Augen halten, wie stark diese Annahmen sind: Ihre relative Konsistenz zu ZFC ist in ZFC nicht beweisbar!) Außerdem braucht man offensichtlich nicht das volle Auswahlaxiom, das Auswahlaxiom für Mengen der Kardinalität des Kontinuums reicht vollends aus. --Chricho ¹ ² ³ 20:20, 22. Jan. 2013 (CET)

Hallo Chricho! Von Mengenlehre habe ich zugegebenermaßen so wenig Ahnung, dass ich deinen Ausführungen kaum folgen kann, aber ich hatte bei Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie nachgesehen, da heißt es auf S. 98: "Ohne Gebrauch des Auswahlaxioms ist es prinzipiell unmöglich, die Existenz einer nicht Lebesgue-meßbaren Teilmenge von $\mathbb {R}$ nachzuweisen. Genauer hat R. SOLOVAY [...] bewiesen: Wenn es ein Modell von ZF gibt, in dem eine unerreichbare Kardinalzahl existiert, so gibt es auch ein Modell von ZF, in dem eine schwache Form des Auswahlaxioms, das sog. Prinzip der abhängigen Wahlen, gilt und in dem jede Teilmenge von $\mathbb {R}$ Lebesgue-meßbar ist." Den ersten Satz von Elstrodt hatte ich umformuliert in den Artikel aufgenommen. -- HilberTraum (Diskussion) 20:52, 22. Jan. 2013 (CET)

Ach ich bin da auch kein Experte, nur ein wenig Überblickswissen, ignorier einfach alle Wörter, die du nicht kennst, sind nur da, damit das bei Bedarf nachgeprüft werden kann. Der Beweis von Solovay geht eben nur mit der Existenz einer solchen Kardinalzahl (deren Konsistenz mit ZFC sich nicht in ZFC beweisen lässt), und ich denke, dass wenn wir hier in der Wikipedia mathematische Aussagen machen, sie sich standardmäßig auf ZFC beziehen sollten und Aussagen, die unter solchen Rückgriffen auf große Kardinalzahlen zustande kommen (beim großen Fermat ist es vllt. nochmal etwas anderes, weil man da wohl davon ausgeht, dass sich das eliminieren lässt; oder bei Gebieten, in denen man standardmäßig damit arbeitet muss das natürlich auch nicht nach jedem Satz stehen, aber hier geht es explizit um Fragen der Beweisbarkeit (aus der Existenz einer solchen Kardinalzahl folgt zum Beispiel auch die Konsistenz von ZFC, und wir schreiben ja auch nicht in den ZFC-Artikel, dass ZFC konsistent ist)). Meinungen dazu? Ist die Problematik klar? Grüße --Chricho ¹ ² ³ 22:12, 22. Jan. 2013 (CET)

So ganz ist mir das Problem noch nicht klar. Mach doch mal einen Vorschlag, was man zur Existenz nicht Lebesgue-messbarer Mengen in den Artikel schreiben könnte. Nur dass man mit Hilfe des Auswahlaxioms solche konstruieren kann? -- HilberTraum (Diskussion) 22:47, 22. Jan. 2013 (CET)

Das Problem ist, dass Solovays Beweis nicht in ZFC funktioniert (er benutzt ein zusätzliches Axiom um die Konsistenz zu zeigen) und sowas kann man zumindest in diesem Fall dann nicht einfach als Tatsache darstellen. Ich habe noch ein wenig recherchiert: Woran ich eigentlich hätte denken müssen: Es ist mit ZF konsistent, dass $\mathbb {R}$ die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist. Dies hieße, dass jede Teilmenge der reellen Zahlen eine Borel-Menge ist. Definiert man Lebesgue-messbare Mengen irgendwie als Erweiterung der Borel-Mengen, so ist damit auch jede Menge Lebesgue-messbar. Das Problem ist, dass es in einem solchen Modell von ZF wahrscheinlich (d. h. ich kenn keine genauen Beweise) wenig Sinn macht, Analysis zu betreiben, weil man kaum etwas zeigen kann, womöglich nicht einmal, dass das Lebesgue-Maß σ-additiv ist (siehe dieses Diagramm). Es kommt dann wahrscheinlich an allen Stellen sehr genau darauf an, wie herum man etwas definiert und es macht wenig Sinn. Aber genau weiß ich es nicht. Wenn man irgendwelche nicht-trivialen analytischen/maßtheoretischen Sachen mit den reellen Zahlen machen will, braucht man wohl schon countable choice oder sogar dependendent choice. Und dann geht es, soweit ich Beweise kenne, nicht mehr so einfach, zu zeigen, dass sich damit nicht die Existenz nicht Lebesgue-messbarer Mengen zeigen lässt. Da benutzen dann die Beweise, die mir bekannt sind, große Kardinalzahlen. Die Frage ist, ob man überhaupt eine sinnvolle, überschaubare, präzise Aussage dazu in die Einleitung packen kann. Ich weiß da gerade keinen Rat. --Chricho ¹ ² ³ 00:03, 23. Jan. 2013 (CET)

Ich zähl mal Möglichkeiten auf:

• Sagen, dass sich die Existenz nicht in ZF ohne Auswahlaxiom zeigen lässt → irreführend, weil sich in dem Kontext von Maßtheorie nur mit ZF so gut wie nichts machen lässt und schon elementare Eigenschaften des Lebesgue-Maßes wahrscheinlich Probleme ergeben
• Sagen, dass sich unter Voraussetzung bestimmter Axiome, die nur in bestimmten Teilen der Mathematik benutzt werden, zeigen lässt, dass eine stärkere Version des Auswahlaxioms gebraucht wird als für die meisten elementaren Sätze der Analysis/Maßtheorie → schon recht kompliziert, evtl. auch irreführend, da es (siehe Punkt 1) nicht so kompliziert gemacht werden muss
• Einen Satz finden, der beide vorherigen Punkte mit einschließt → würde jeglichen Rahmen für so einen Abschnitt sprengen
• Einen extrem schwammigen Satz finden, dass sich in irgendwelchen Sinnen unter Umständen zeigen lässt, dass die Nichtkonstruktivität da notwendig ist
• Wieder wie vorher: nur sagen, dass man das Auswahlaxiom benutzt, ohne jegliche Aussage darüber, ob man es braucht

--Chricho ¹ ² ³ 00:16, 23. Jan. 2013 (CET)

Da hab ich ja was angestoßen... Ich kannte nur diese (umgangssprachliche) Aussage, dass man das Auswahlaxiom braucht, sehe aber ein, dass das wohl eine starke Vereinfachung war. Was haltet Ihr von einer Formulierung derart: "Eine nicht-Lebesgue-messbare Menge lässt sich nicht explizit angeben, ihre Existens kann man aber mit dem Auswahlaxiom zeigen". Das sollte jetzt rein logisch nicht falsch sein, man muss den Leser nicht mit Kardinalzahlen verwirren, die ihm zu hoch sind und trotzdem erfährt der Leser (oder die Leserin), dass er oder sie nicht anfangen muss, selbst von Hand explizit eine nicht-Lebesgue-messbare Menge zu konstruieren, weil das zum Scheitern verurteilt ist. Meinungen? --Cosine (Diskussion) 11:23, 23. Jan. 2013 (CET)

Das kann man auch nicht so einfach sagen. Ich denke, dass man sich mit Formulierungen „lässt sich nicht explizit angeben“ noch weiter aufs Glatteis begibt. Es ist so, dass sich in ZFC nicht zeigen lässt, dass jede in ZF konstruierbare Menge Lebesgue-messbar ist (siehe hierzu hier die Antwort 1, oder es gibt auch das bekannte Ergebnis, das sich unter Annahme des Konstruierbarkeitsaxioms eine nicht Lebesgue-messbare Menge auf eine „$\Delta _{2}^{1}$-Weise“ konstruieren lässt, das Argument ist dann ähnlich wie bei dem Link). Es lässt sich also ohne das Auswahlaxiom eine Menge konstruieren, von der man in ZFC weder zeigen noch widerlegen kann, dass sie Lebesgue-messbar ist (sie ist es nicht, falls das Konstruierbarkeitsaxiom gilt). Bei einer Wohlordnung der reellen Zahlen ist der Fall übrigens so ähnlich gelagert: Es lässt sich ohne das Auswahlaxiom eine Wohlordnung definieren, die unter Annahme des Konstruierbarkeitsaxioms eine Wohlordnung der reellen Zahlen ist (und genau diese Wohlordnung ist dann eine nicht messbare Teilmenge von $\mathbb {R} ^{2}$, Descriptive Set Theory, S. 42). --Chricho ¹ ² ³ 15:45, 23. Jan. 2013 (CET)

PS: In dem verlinkten Skript findet sich an einer ähnlichen Stelle der Satz „On the other hand we (probably) can’t prove in ZFC that there is a projective set where any of the regularity properties above fail.“ Das eingeklammerte „probably“ bezieht sich darauf, dass eben große Kardinalzahlen benutzt wurden. Da der Laie bei „wahrscheinlich“ aber wahrscheinlich ganz andere Assoziationen hat, halte ich eine Verwendung eines solchen Ausdrucks hier auch nicht für sinnvoll.

Vorschlag: „Die Existenz einer nicht Lebesgue-messbaren Menge lässt sich nicht-konstruktiv, unter Verwendung des Auswahlaxioms beweisen. Es existieren verschiedene Sätze, dass eine solche Nicht-Konstruktivität in einem bestimmten Sinne notwendig ist, und dies unter bestimmten Annahmen sogar auf eine stärkere Weise als bei vielen anderen grundlegenden Sätzen der Analysis.“ Was haltet ihr davon? --Chricho ¹ ² ³ 16:06, 23. Jan. 2013 (CET)

Klingt gut, mach einfach mal: du bist hier glaub' ich sowieso gerade der Einzige, der sich damit auskennt :) -- HilberTraum (Diskussion) 16:37, 23. Jan. 2013 (CET)

Ist jetzt drin. Allerdings erstmal ohne jedwede Verweise, anhand derer man sich klar machen kann, was genau gemeint ist. Ein eigener Abschnitt dazu am Ende wär vllt. gut. Bezüglich mancher Aspekte da bin ich aber verwirrt und müsste das erstmal genauer klären. --Chricho ¹ ² ³ 17:06, 23. Jan. 2013 (CET)

Vielen Dank! Und ich habe wieder etwas gelernt :-) Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 11:30, 24. Jan. 2013 (CET)

Meine Änderung vom 22. Jan. 2013 zielte auf die Problematik ab, die Chricho anspricht. Die ursprüngliche Formulierung (von mir vor 6 Jahren) war etwas unpräzise, weil nicht klar ist, wieviel man vom Auswahlaxiom wirklich braucht. --141.53.34.161 08:32, 25. Jan. 2013 (CET)

Ja so schlecht schien mir das auch gar nicht mit dem „in der Praxis“. Aber jetzt scheint es mir klarer – bist du auch zufrieden? Grüße --Chricho ¹ ² ³ 08:53, 25. Jan. 2013 (CET)

Ja, ich finde, die neue Formulierung stellt die Sache besser dar. Grüße --141.53.34.161 10:14, 28. Jan. 2013 (CET)

Spezialfall des Lebesgue-Stieltjes-Maßes

@NikelsenH: Es geht mir um diesen Edit: [1]. Ich sehe das Lebesgue-Maß nach der Definition des Lebesgue-Stieltjes-Maßes im dortigen Artikel nur im eindimensionalen Fall als Spezialfall des Lebesgue-Stieltjes-Maßes. Von daher halte ich die Bemerkung für falsch. --Jobu0101 (Diskussion) 09:58, 2. Dez. 2016 (CET)

Das Lebesgue-Stieltjes-Maß lässt sich auch auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ definieren, auch wenn das im aktuellen Artikel noch nicht ausgeführt ist. Das liegt im wesentlichen daran, dass die Notation wenig überschaubar ist, da sie den Differenz-Operator verwendet, und die entsprechende Verallgemeinerung der Verteilungsfunktion (im Sinne der Maßtheorie) auf höhere Dimensionen (Mehrdimensionale Verteilungsfunktion, verwandt mit der Multivariate Verteilungsfunktion), noch nicht als Artikel existiert. Ich setzt mal einen Einzelnachweis dahinter. LG --NikelsenH (Diskussion) 10:58, 2. Dez. 2016 (CET)