Diskussion:Lie-Gruppe

eine triviale erklärung für nicht-ganz-so-sehr-mathematiker wäre sehr hilfreich.

Als Physiker würde ich sagen: "Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, deren Elemente differenzierbar von einer Anzahl $n$ reeller Parameter abhängt. Z.B. werden die Drehungen im Raum durch die drei Eulerschen Winkel parametrisiert". Das ist zwar mathematisch nicht 100% korrekt, gibt aber eine erste Vorstellung.

Mir nicht. Ganz generell würde ich gern mal wissen, ob das nur ein "Spielzeug" für Mathematiker ist, oder ob man damit irgendwelche Ergebnisse erzielen kann, die sich außerhalb der Mathematik befinden. --Plenz 15:19, 25. Apr. 2007 (CEST)

Nein es handelt sich nicht um ein Spielzeug fuer Mathematiker. Kontinuierliche Symmetrien, wie zum Beispiel Rotations- oder Translationssymmetrien eines physikalischen Systems entsprechen nach einem Theorem von Emmy Noether Erhaltungsgroessen, in diesem Fall Impuls- und Drehimpulserhaltung. Drei der vier fundamentalen Wechselwirkungen in der Natur koennen als Eichfeldtheorien beschrieben werden. Die Darstellungstheorie der Liegruppe SU(3) klassifiziert einen grossen Teil der vielen Elementarteilchen. (nicht signierter Beitrag von Chaoslynx (Diskussion | Beiträge) 10:51, 19. Okt. 2011 (CEST))

Ich fände es sehr hilfreich, wenn jemand den englischen und französischen Artikel - die deutlich ausführlicher sind - übersetzen und zusammenfassen könnte.

@Plenz: ich denke, der verlinkte SpiegelOnline-Artikel zeigt sehr schön, welche Anwendungen dieses "Spielzeug" hat. Nimm es mir nicht übel, aber deine Wortwahl stört mich hier schon ein wenig. Mathematiker betreiben häufig Grundlagenforschung, bei welcher die Anwendung nicht von vornherein ersichtlich ist (in manchen Fällen vielleicht nie). Lie-Gruppen im Speziellen wurden aber durch die Physik angeregt und die Definition im Text ist eigentlich "klar". Das Problem ist, dass man sehr genau verstehen muss, was eine Mannigfaltigkeit ist, bzw was eine solche ausmacht. Und das ist überhaupt nicht trivial! Ich denke, man könnte durch geschicktes Präsentieren einiger der guten Beispiele viel verbessern. Aber die Erklärungen und Definitionen an sich können kaum vereinfacht werden... Grüsse und nichts für ungut! Noch nen schönen 1. Mai :) 84.226.105.12 13:49, 1. Mai 2007 (CEST)

Nein, tut mir leid, der Artikel hat mich kaum weiter gebracht. Mir ist schon grundsätzlich völlig unverständlich, wie etwas, was nur in der Gedankenwelt von Menschen existiert, also erfunden wurde, untersucht werden kann/muss, um seine Eigenschaften zu entdecken. Irgendwie kommt mir das völlig paradox vor. Dies nur mal, um die Schwierigkeiten zu beschreiben, die ein mathematischer Laie beim Lesen dieses Artikels hat. --Plenz 14:40, 1. Mai 2007 (CEST)

Hmm... Wenn dieses Unverständnis grundsätzlicher Natur ist, wird es wohl nicht am Artikel über Lie-Gruppen liegen. Meiner Meinung nach verdient jeder Gedanke, das ihm nachgegangen wird (inwiefern sich das „lohnt“ ist eine andere Frage). Die Philosophie als eine der ältesten Wissenschaften (wenn nicht die älteste überhaupt) befasst sich ausschliesslich damit.

Die Mathematik ist in diesem speziellen Fall nur das Werkzeug der Physiker, um ein „Modell zu basteln“, welches die Wirklichkeit beschreibt. Wenn das Modell dermassen kompliziert ist, ist es irgendwie „offensichtlich“, dass es „nur“ ein Modell ist. Dass sich aber die Kraft als Masse mal Beschleunigung berechnen lässt, mag vielleicht viel „zwingender“ oder „natürlicher“ erscheinen, ist aber auch nur Teil einer Theorie, welche die Wirklichkeit zu beschreiben versucht. Wenn man dies (die Mechanik) besser verstehen möchte, kommt man aber nicht ohne Differential- und Integralrechnung aus. So brauchen Naturwissenschaftler in vielen Gebieten hochentwickelte Mathematik, um ihre Theorien „qualitativ“ zu machen (was meist erst die Möglichkeit gibt, die Theorie zu überprüfen).

Dass der Artikel für jemanden, der sich in dieser Thematik nicht auskennt, sicherlich schwer verständlich ist, möchte ich nicht abstreiten. Ich meine aber, dass dies auch bei Artikeln aus anderen Themenbereichen der Fall sein kann. Ich glaube kaum, dass ein Artikel über Lie-Gruppen so geschrieben werden kann, dass ihn ein „Laie“ bei erstmaligem Durchlesen als verständlich bewerten würde. 84.227.131.21 21:12, 1. Mai 2007 (CEST)

Ich bin zwar kein mathematischer Laie, aber ich bin auch der Meinung, dass dieser Artikel vom Duktus her eher den Charakter von einem Texts eines Studenten, der seinen Prof beeindrucken will, hat. Natürlich kann man nicht in jedem mathematischen Stichwort erstmal elementarste Dinge erklären. Aber jemand, der in einem Mathebuch zum ersten Mal über den Begriff der Lie-Gruppe stolpert und dann hier landet, dem ist wenig geholfen. Kurz gesagt halte ich es für sinnvoll, bei komplizierteren mathematischen (und anderen naturwissenschaftlichen) Fragen ruhig eine laien-kompatible, durchaus nicht ganz "saubere" Einleitung voranzustellen. Und BITTE das Unwort "trivial" weglassen! Was für den Autor trivial sein mag, ist es möglicherweise für den Leser noch lange nicht. --VillaStraylight 18:44, 30. Jun. 2007 (CEST)

Nur als kleines Beispiel, was ich als (äußerst) interessierter und engagierter Laie, der sich in der Mathematik fortbilden möchte, alles nachschlagen mußte, wobei mich langsam das Gefühl beschleicht, daß ich entweder zu dumm bin, Mathematik zu verstehen, oder daß es letztendlich nicht zu verstehen IST. Ich bin auf meiner Reise durch die mathematischen Artikel folgenden Weg gegangen (meist über den ersten unbekannten Begriff): Lie-Gruppe → Lie-Algebra → Vektorraum → Körper (Algebra) → Einheitengruppe → Ringtheorie → Abelsche Gruppe → Gruppentheorie → Zweistellige Verknüpfung → Kartesisches Produkt → Tupel → geordnetes Paar, wo ich es schließlich aufgab. Ich möchte gerne ein tieferes Verständnis der Mathematik erlangen, doch sämtliche Anläufe meinerseits scheiterten schon im Ansatz. Gibt es ein vernünftiges Lehrbuch, wo man nicht schon auf der ersten Seite von Formeln erschlagen wird, deren Formalismus, der noch dazu nirgends erläutert wird, man nicht einmal versteht? Mit schönen Grüßen, --Tirkfl 15:38, 23. Jan. 2008 (CET)

@Tirkfl: Mathematik verfuegt unter anderem auch ueber eine eigene Sprache, die sich ueber Jahrhunderte entwickelt hat. An der Universtaet wird man an diese langsam heran gefuehrt. Die Theorie der Liegruppen kann aus ganz verschiedenen Blickwinkeln beschrieben werden und benoetigt in ihrer modernen Formulierung deshalb mathematisches Vokabular, welches an der Universitaet ungefaehr in den ersten ein bis zwei Jahren vermittelt wird. Wenn dir wirklich daran liegt sie zu verstehen, wirst du nicht darum herum kommen ein mit einem Grundstudium der Mathematik vergleichbares Programm dir aufzuerlegen. Du bist also hoechstwahrscheinlich nicht zu dumm Mathematik zu verstehen, genauso wenig wie du zu dumm bist Latein zu lernen, nur weil du Ovid ohne Lateinkenntnisse nicht uebersetzen kannst. Leider reicht es auch nicht einfach nur Vokabeln (Lie-Algebra, Vektorraum, usw.) nachzuschlagen, sondern man benoetigt auch "Grammatik", d.h. man muss wissen was man mit Lie-Algebren, Vektorraeumen, usw. alles anstellen darf.

Ein gutes Buch ist der "Princeton Companion to Mathematics", dort wird weitgehend auf Formeln verzichtet und es geht weder um Formeln noch Formalismus sondern Ideen. Ein deutsches Buch ist "Die Geschichte der Mathematik im 19. Jhd." von Felix Klein aus dem man eine Menge Mathematik lernen kann, ohne dass dabei ein gewaltiger Formalismus aufgebaut wird. Das sind natuerlich keine Lehrbuecher, aber dummerweise sind die meisten elementaren Lehrbuecher, die ich kenne, ohne begleitende Vorlesung und regelmaessige Uebungen wohl nur schwer zu meistern. (nicht signierter Beitrag von Chaoslynx (Diskussion | Beiträge) 10:51, 19. Okt. 2011 (CEST))

Grob gesprochen...

Den Abschnitt habe ich als Bemerkung ausgelagert. Bitte, Benutzer:DreamingInRed kontaktieren oder den Abschnitt selbst umschreiben. --Alexandar.R. 10:29, 27. Jul. 2007 (CEST)

Prinzipiell finde ich es in Ordnung, den angesprochen Abschnitt aus der Einleitung an eine andere Stelle zu verlagern, aber vielleicht sollten wir einmal zusammen darüber nachdenken, ob sich nicht eine bessere Stelle findet, als die jetzige. Denkbar wäre ein eigener Unterabschnitt. Hierzu: Ich hatte den Abschnitt mit der Absicht geschrieben, auch Lesern, die nicht das nötige mathematische Vorwissen mitbringen, eine - wenn auch vage - Idee davon zu vermitteln, worum es geht. Der Wunsch nach so einer Erklärung findet sich ja auch auf dieser Diskussionseite. Ich halte es für wünschenswert, dass auch interessierte Laien einen Einblick erhalten. Etwas mehr als eine Fußnote wäre hierzu vielleicht besser geeignet. --DreamingInRed 11:09, 27. Jul. 2007 (CEST)

Mein Satz war Reaktion auf diese Änderung diff.... In letzter Zeit gibt es ganz schön viele "Angriffe" auf die Seite. Also die Idee mit dem zusätzlichen Abschnitt finde ich nicht schlecht. Man könnte es z.B. so machen: in "Definition" mit Unterbaschnitten "Motivation" (für deinen Text) und danach "Formale Definition". --11:18, 27. Jul. 2007 (CEST)

Du sprichst beispielsweise von stetige zusammenhängend. Muss eine Liegruppe eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit sein? -- Ralf Scholze 11:17, 27. Jul. 2007 (CEST) ----

Zur Frage von Ralf Scholze: Wie gesagt, es ist der Versuch einer vagen Erklärung für Außenstehende. Technische Feinheiten sind da nur eingeschränkt unterzubringen. Zu Deiner Frage: Die disjunkte Vereinigung abzählbar vieler zusammenhängender Lie-Gruppen ist ebenfalls eine Lie-Gruppe, aber nicht zusammenhängend. Die Erläuterungen sind aber wirklich nicht gedacht, um eine exakte Definition zu ersetzen.--DreamingInRed 11:40, 27. Jul. 2007 (CEST)

Was ich hier sage stimmt so nicht. Eine Unachtsamkeit von mir. Ein Bsp. für eine Lie-Gruppe, die nicht zuammenhängend ist, ist bspw. die Einheitengruppe der reellen Zahlen, also $\mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Und genau da zu Beispiels liegt bei grob gesprochen ... der Hase im Pfeffer. Auch ein motivierender Unterabschnitt muss korrekt sein. -- Ralf Scholze 11:55, 31. Jul. 2007 (CEST) ----

Prinzipiell stimme ich Dir da ja zu. Dir sollte aber eigentlich klar sein, dass ich mit der Verwendung der Phrase stetig zusammenhängend nicht zum Ausdruck bringen wollte, dass der einer Lie-Gruppe zugrunde liegende topologische Raum zusammenhängend sein muss. Auch würde ich nicht soweit gehen zu sagen, dass es unkorrekt ist, was in dem Abschnitt geschrieben steht. Aber es gibt wohl auch Leute, denen man am besten nur die Definition an die Hand gibt... --DreamingInRed 14:09, 31. Jul. 2007 (CEST)

Mein Problem mit grob gesprochen ist im Prinzip ganz einfach. Der eigentliche Artikel wendet sich aufgrund der Voraussetzungen an Wissen an Leute mit Vordiplom in Mathematik oder Physiker mit Schwerpunkt theoretischer/mathematischer Physik. "Im Grobgesprochen" geht es dann wieder um Winkel, Bogenmaß, quasi mindestens 4 Semster zurück. En völliger Stilbruch. -- Ralf Scholze 13:41, 2. Aug. 2007 (CEST) ----

Zur Antwort von Alexandar.R.: Ja, ich fänd es auch ganz gut, wenn man das so machen könnte. Einen Abschnitt für eine Motivation und einen mit der formalen Definition. Vielleicht sollte man sich auch noch überlegen, wie man das didaktisch geschickt anstellt. Vielleicht kann man das Interesse im Portal Mathematik auch einmal auf diesen Artikel lenken. Immerhin behandelt er ein zentrales Thema, steht aber seinem english-sprachigen Bruder sehr hinterher. --DreamingInRed 11:47, 27. Jul. 2007 (CEST)

Seltsamer Satz: "Ist G eine einfache Lie-Gruppe mit Zentrum Z, dann ist die Faktorgruppe G/Z auch einfach im gruppentheoretischen Sinne." Diese Aussage ist sicher richtig, aber doch wohl etwas sinnbefreit, da man G/Z={e} oder G/Z=G haette. 89.54.75.239 16:34, 31. Dez. 2008 (CET)

Wie im Abschnitt davor steht, heißt eine Liegruppe einfach, wenn ihre Liealgebra einfach ist. Das ist nicht ganz dasselbe wie Einfachheit im gruppentheoretisxhen Sinne: aus dieser Definition von Einfachheit folgt nur, dass normale Untergruppen diskret (oder ganz G) sein müssen. Der Quotient G/Z ist dann aber auch im gruppentheoretisxhen Sinne einfach, also er hat keine normalen Untergruppen außer 1 und G/Z. --Suhagja (Diskussion) 09:40, 23. Aug. 2012 (CEST)

Erste Beispiele

Der zehnte Punkt dieses Abschnittes besagt: "Interessantere und typischere Beispiele sind die Gruppen invertierbarer Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung sowie deren Untergruppen", obwohl bereits die ersten sechs Beispiele die Allg. lin. Gruppe und fünf ihrer Untergruppen sind. Versehen oder hat das einen Sinn der mir gerade entgleitet? --80.132.52.97 12:16, 26. Jul. 2009 (CEST)

Stimmt. Hab das mal angepasst. --Controlling 18:12, 29. Nov. 2009 (CET)

Glatt oder analytisch?

Ich bin nicht sicher, deshalb ändere ich es nicht. Diese Frage wirft sich für mich auf: Müssen Lie-Gruppen nur glatte oder sogar analytische Kartenwechsel haben? Um von der Lie-Algebra auf die Gruppe zu kommen mit der Exponentialabbildung benutzt man, sofern ich das sehe, die Taylor-Entwicklung (vielleicht machen das aber auch nur die Physiker so), die ja nur für analytische Funktionen gegen die gewünschte Funktion konvergiert. Ich hoffe, jemand anders weiß genauer Bescheid. --129.206.196.110 18:56, 29. Dez. 2010 (CET)

Von der Lie-Algebra kommt man mit der Exponentialabbildung im allgemeinen nicht auf, sondern zunächst nur in die Gruppe. Zwischen "glatt" und "analytisch" ist noch ein deutlich wahrnehmbarer Unterschied, vgl. das Exponentialbeispiel in Glatte_Funktion#Beispiele. --Stefan Neumeier 21:17, 14. Mär. 2011 (CET)

Jo!

Ja ich habe jetzt diverse Artikel die sich mit dem Thema befassen gelesen und begreife es immer noch nicht so richtig.Nur so viel sollte nicht velleicht versucht werden herauszustreichen das das ganze ein Ansatz ist partizielle Differenzialgleichungen "allgemein" zu lösen da diese symetrisch sind?

Gerade das dürfte doch auch ein Gewisses Verständniss über die Materie Offenbaren?Das man durchaus nachvollziehen kann was Differentialgleichungen sind und darüberhinaus partitielle Differentialgleichungen vorausgesetzt man kennt sich etwas mit Analysis aus (ungefähr auf dem niveau des Abis).--Weiter Himmel 03:53, 5. Jun. 2011 (CEST)

Lie-Gruppen werden heute in sehr vielen mathematischen Teilbereichen betrachtet. Typisch zum Lösen von partiellen Differentialgleichungen sind sie aber glaube ich nicht mehr. Aber du hast Recht, aus diesem Grund wurden sie eingeführt. Im Artikel Lie-Theorie sollte auf diesen Aspekt eigentlich eingegangen werden, aber dieser Artikel ist viel zu kurz. Vielleicht findet sich ja jemand, der diesen Artikel verbessern kann. Jedoch auf dem Niveau des Abiturs wird das nicht ablaufen können, dazu ist die Definition der Lie-Gruppe und ihrer Lie-Algebra zu abstrakt. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 11:16, 5. Jun. 2011 (CEST)

Dimension (Lie-Algebra der Lie-Gruppe)

Im Abschnitt "Lie-Algebra der Lie-Gruppe" steht:

"Die Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit M bilden mit der Lie-Klammer eine unendlich-dimensionale Lie-Algebra."

Ich hatte irgendwie erwartet, dass die Dimension der Lie-Algebra gleich der Dimension von M waere. Steht auch so 3 Saetze weiter: "Insbesondere gilt also \dim G = \dim\mathfrak{g}."

Mag das jemand ueberpruefen?

--79.219.119.174 17:17, 24. Aug. 2012 (CEST)

Die Lie-Algebra ALLER Vektorfelder ist unendlich-dimensional, das ist schon richtig. Die Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ ist allerdings nur die Unter-Lie-Algebra der LINKS-INVARIANTEN Vektorfelder und deren Dimension ist gleich der Dimension von $G$. --Suhagja (Diskussion) 16:17, 11. Sep. 2012 (CEST)

Exponentialabbildung

Stimmt das

Jedes Skalarprodukt auf $T_{e}G={\mathfrak {g}}$ definiert eine $G$-invariante Riemannsche Metrik auf $G$. Mittels der Riemannschen Metrik definiert man die Exponentialabbildung $\exp \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow G$. Die Exponentialabbildung hängt nicht vom gewählten Skalarprodukt ab, tatsächlich kann man sie auch definieren durch $\exp(A)=\Phi _{1}(e)$, wobei $\Phi _{t}$ der Fluss des links-invarianten Vektorfelds $A$ und $e\in G$ das neutrale Element ist.

so? Nach meinen Quellen muss, damit die über den Fluss definierte Exponentialabbildung mit der Riemannschen übereinstimmt, die Metrik bi-invariant sein, linksinvariant genügt nicht. Bi-invariante Metriken müssen aber im allgmeinen auf nicht-kompakten Liegruppen nicht existieren. --Digamma (Diskussion) 21:56, 1. Okt. 2012 (CEST)

Vielen Dank für die Überarbeitung. --Digamma (Diskussion) 21:25, 17. Okt. 2013 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 21:25, 17. Okt. 2013 (CEST)