Diskussion:Mathematische Optimierung

Zum Archiv

Wie wird ein Archiv angelegt?

Automatische Archivierung

Auf dieser Seite werden Abschnitte ab Überschriftenebene 2 automatisch archiviert, die seit 7 Tagen mit dem Baustein {{Erledigt|1=--~~~~}} versehen sind.

Grundsätzliche Kritik

Ich schließe mich vielen bestehenden Punkten an und möchte weitere vorbringen. Dieser Artikel ist so wichtig und er könnte noch deutlich besser sein.

- Als Lemma für den Artikel würde "Mathematische Optimierung" besser passen als "Optimierung (Mathematik)" und auch dem entsprechen, wie beispielsweise Literatur, Lehrstühle oder Vorlesungen benannt werden. Momentan verlinkt erstgenannter Artikel auf den zweitgenannten. Der Begriff der "Optimierung" ist einfach zu vieldeutig und wenn man immer dazu sagen muss, dass man es im mathematischen Sinne meint, kann man es auch gleiche "Mathematische Optimierung" nennen. Dies entspricht auch der Kommunikation in der Community. Ja, ist verschoben.--Doc.Heintz (Disk | ) 09:13, 8. Dez. 2023 (CET)

- Die Verwendung der Begriffe: Niemand in der Community nennt die (Entscheidungs)Variablen "Parameter". Das wird unter "Struktur" schon von @Sdo und @Grothey erwähnt. Der gesamte erste Absatz könnte präziser und anschaulicher (gleichzeitig) formuliert werden. Die Mathematische Optimierung ist ein Teilgebiet der angewandten Mathematik, welches sich mit der Lösung von Optimierungsproblemen beschäftigt. Der Artikel Optimierungsproblem wurde neu formuliert und lässt sich jetzt hoffentlich besser in die aktuelle Struktur eingliedern.

- Wissenstand an vielen Stellen veraltet: Wie schon @ArturSchweidtmann korrekt erwähnt, stimmen viele Aussagen nicht (manche sind veraltet, andere waren nie wahr). So gibt es etwa leistungsfähige globale Solver für (strukturierte) nichtkonvexe Optimierungsprobleme wie etwa MINLPs (s. etwa Gurobi oder CPLEX), die Instanzen in praxisrelevanter Größe lösen.

- Die Struktur kommt mir nicht intuitiv oder systematisch vor. Nach dem ersten Absatz sollte die Definition der grundlegenden Begriffe VOR den Beispiele erfolgen (welche übrigens gern erweitert werden sollten). Bei der Klassifikation kann auf Optimierungsproblem verwiesen werden.

- Für die Lösungsmethoden würde ich viel auf bestehende Artikel verlinken.

- Hier fehlt noch ein ausführlicher Artikel zu Optimierungsmodell, in welchem auf die Kunst der Modellierung im Bereich der Optimierung eingegangen ist.

- Die Abbildungen könnten optisch ansprechender sein.

- Einzelnachweise fehlen komplett.

- Der Tonfall ist teilweise sehr umgangssprachlich.

- ... und einige Punkte mehr. Sehr schön wäre außerdem eine Darstellung der Zusammenhänge zum Machine Learning oder ein Teil zur Geschichte der Optimierung.

Ich würde in den nächsten Tagen gern einen Vorschlag präsentieren und freue mich auf eine konstruktive Zusammenarbeit. --BumbleMath (Diskussion) 08:46, 8. Dez. 2023 (CET)

Erste Teile sind jetzt bearbeitet, weitere werden folgen. --BumbleMath (Diskussion) 00:00, 9. Dez. 2023 (CET)

Aus meiner Sicht fehlt jetzt neben der Klärung, was mit der Literaturliste passieren soll noch eine Überarbeitung des Theorieteils und ein Abschnitt zur Geschichte der MO. --BumbleMath (Diskussion) 10:17, 10. Dez. 2023 (CET)

Okay, Geschichte ist auch veröffentlicht. Ich habe fertig. --BumbleMath (Diskussion) 23:48, 11. Dez. 2023 (CET)

s.t.

Hallo, ist es üblich, auch im Deutschen das Kürzel s.t. für such that zu verwenden? Wie wäre es mit sodass? Oder ist das in der Literatur total out? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 20:45, 25. Jan. 2024 (CET)

Hallo, das ist eine sehr gute Frage. Es geht wohl alles:

- "s.t." bei Oliver Stein,

- "u.d.N." bei Geiger/Kanzow, den Ulbrich-Brüdern und Koop/Moock, was für "unter den Nebenbedingungen" steht,

- "sodass" bei Pieper,

- manche versuchen es komplett zu vermeiden (Alt, Burkard/Zimmermann).

Also, es ist zunächst nicht falsch, es so zu lassen, aber ich würde tatsächlich momentan zu "u.d.N." tendieren. --BumbleMath (Diskussion) 21:35, 25. Jan. 2024 (CET)

Danke, u.d.N. wäre auch mein Favorit. In einer Anmerkung ggf. die Abkürzung erklären wäre mein Vorschlag. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 07:44, 26. Jan. 2024 (CET)

Ich kenne s. t. in der Optimierung als Abkürzung für subject to.--Sigma^2 (Diskussion) 19:23, 27. Jan. 2024 (CET)

Ja, ich auch. Ist halt eher aus dem Englischen, aber teilweise auch in deutschen Büchern, wobei andere Schreibweisen zu überwiegen scheinen. --2A02:3102:8460:23C0:3C27:BB70:8375:C593 19:43, 27. Jan. 2024 (CET)

Das war übrigens ich. Vergessen, mich einzuloggen. --BumbleMath (Diskussion) 19:45, 27. Jan. 2024 (CET)

Habe es gerade auf u.d.N. geändert und bin dabei in einen Bearbeitungskonflikt mit dir gekommen, @Sigma^2. Ist es für dich auch okay, auf u.d.N. zu gehen? Wollte es gerade auch in den anderen Artikeln nachziehen. --BumbleMath (Diskussion) 23:05, 27. Jan. 2024 (CET)

Ist o.K. Um dem enzyoklädischen Anspruch gerecht zu werden, könnte man in einer Anmerkung auf die Verwendung von s. t. auch in der deutschsprachigen Literatur hinweisen. --Sigma^2 (Diskussion) 11:30, 29. Jan. 2024 (CET)

Archiv eingerichtet

Es ist etwas unübersichtlich, welche Diskussionspunkte noch relevant sind. Ich habe daher ein Archiv eingerichtet. Ich schlage vor, die Diskussionspunkte systematisch durchzugehen und gegebenenfalls mit Erledigt-Baustein zu markieren.--Sigma^2 (Diskussion) 19:33, 27. Jan. 2024 (CET)

Gute Idee. Mache ich! --BumbleMath (Diskussion) 19:45, 27. Jan. 2024 (CET)

Fertig. --BumbleMath (Diskussion) 23:20, 27. Jan. 2024 (CET)

Struktur Mathematische Optimierung / Optimierungsproblem

Der Artikel verweist im Abschnitt Optimierungsprobleme auf den Hauptartikel Optimierungsproblem. Dann ist dort der Hauptort für die Klärung der Grundbegriffe zulässige Menge, Zielfunktion, Entscheidungsvariable usw. Die Weiterleitungen zulässige Menge usw. sollten dorthin gehen und im Artikel Optimierungsprobleme sollten die Begriffe WP-intern verlinkt werden. Ich werde das angehen.--Sigma^2 (Diskussion) 20:08, 27. Jan. 2024 (CET)

Einiges habe ich vereinheitlicht und die Weiterleitungen und Links vereinheitlicht.

Die (sinnvolle) Anlage einer Weiterleitung von Nebenbedingung (Optimierung) auf Optimierungsproblem wurde sofort wieder gelöscht mit der Begründung, sie sei früher schon einmal gelöscht worden. Nebenbedingung ist im Artikel Optimierungsproblem eingeführt und eher vage und allgemein Kontext im Artikel Nebenbedingung.

Am jetzigen Zustand ist suboptimal, dass die Begriffserklärungen und Definitionen im Artikel Optimierungsproblem sehr knapp sind, so dass ein Leser, der dorthin verwiesen wird, kaum mehr erfährt, als im Artikel 'Mathematische Optimierung'. (nicht signierter Beitrag von Sigma^2 (Diskussion | Beiträge) 11:53, 29. Jan. 2024 (CET))

Danke!

Zwei Punkte:

1. Warum Nebenbedingung (Optimierung) gelöscht wurde, verstehe ich nicht. Habe dasselbe ja auch mit anderen Begriffen der Optimierung so gemacht. Vielleicht können wir hier nochmal nachfragen?
2. Die Begriffserklärungen in Optimierungsproblem werde ich noch erweitern. Vielleicht auch jeweils mit separaten Unterkapiteln.

--BumbleMath (Diskussion) 15:27, 29. Jan. 2024 (CET)

Ich muss sagen, dass ich auch allgemein nicht so einfach finde, zu entscheiden, was unter Mathematische Optimierung und was unter Optimierungsproblem passt. MO ist auf jeden Fall mehr als ein Opt.Probl., aber es gibt auch Themen, die in beiden Artikeln passen würden. --BumbleMath (Diskussion) 15:35, 29. Jan. 2024 (CET)

Optimierungsprobleme

Die Bezeichnung 'Nebenbedingung' erschließt sich nur im Zusammenhang mit einer 'Hauptbedingung'. Für ein Optimierungsproblem mit einer Zielfunktion $f:D\to \mathbb {R}$ mit Definitionsbereich $D\subseteq V$ und der Restriktionsmenge $M\subseteq V$ scheint mir $x^{*}\in D$ die für eine Optimalstelle $x^{*}$ zu erfüllende Hauptbedingung und $x^{*}\in M$ die zu erfüllende Nebenbedingung zu sein. In diesem Zusammenhang stellen sich die Fragen, ob das Minimierungsproblem nicht besser als

$P:\qquad \min _{x\in D}f(x)\quad {\text{u.d.N.}}\quad x\in M$

geschrieben wird, und ob die zulässige Menge nicht besser durch $D\cap M$ als durch $M$ definiert ist.--Sigma^2 (Diskussion) 12:30, 29. Jan. 2024 (CET)

Welche Sprechweise ist in der Optimierungstheorie üblich, falls die Menge $\{f(x)\mid x\in D\cap M\}$ kein Minimum besitzt? 'Das Problem hat keine Lösung'?, 'Das Problem ist schlecht gestellt'? Es wäre gut, das kurz zu erwähnen.--Sigma^2 (Diskussion) 12:30, 29. Jan. 2024 (CET)

Zu deinen Punkten hier die nummerierten Antworten zwecks besserer Bezugnahme. Zunächst ganz allgemein sind alle deine Anmerkungen wohldurchdacht, aber werden leider in der Literatur (die historisch gewachsen ist) nicht sauber und schon gar nicht einheitlich gehandhabt (wie auch oft in anderen Teilen der Mathematik).

1. Es gibt keine Hauptbedingung in der Optimierung, das Hauptziel ist die Optimierung (Minimierung/Maximierung), welche allerdings durch die Nebenbedingung eingeschränkt wird, dass wir nur zulässige Punkte betrachten. Für den Definitionsbereich gilt immer $D\subseteq M$, sodass sich deine Frage nicht stellt. Dies wird oft nicht explizit angegeben. In der linearen/quadratischen/polynomiellen Optimierung stellt sich die Frage nicht, da die Zielfunktion dort überall definiert wird und in der Variational Analysis (z.B. bei Rockafellar) wird die Funktion künstlich auf ganz $V$ definiert, indem man $+\infty$ als Funktionswert zulässt. Ist ein Taschenspielertrick, den ich jetzt hier nicht weiter ausführen möchte. Der Definitionsbereich spielt aber nie eine große Rolle.
2. Was man unter das $\min$ schreibt ist Geschmacksfrage. Manche schreiben darunter gar nichts, andere die Entscheidungsvariablen ohne umgebenden Raum usw. Man kann auf jeden Fall auch deine Variante nehmen, ohne dass sich jemand beschweren würde, gängig ist es allerdings nicht.
3. Das sind sogenannte unlösbare Probleme und da es drei Arten von Unlösbarkeit gibt (Unbeschränktheit, offene zulässige Mengen, nicht angenommene endliche Infima), lohnt sich dafür ein Unterabschnitt. Danke!

--BumbleMath (Diskussion) 15:33, 29. Jan. 2024 (CET)

Über Lösbarkeit sollte man auch mehr reden. Da kommt dann der Satz von Weierstraß in unterschiedlichen Ausprägungen ins Spiel. --BumbleMath (Diskussion) 18:50, 29. Jan. 2024 (CET)

Notwendige Optimalitätsbedingungen in der Variationsrechnung

Was noch fehlt, ist eine Bezugnahme auf Optimalitätsbedingungen unendlichdimensionaler Optimierungsprobleme, insbesondere in der Variationsrechnung, wo das die Euler-Lagrange-Differentialgleichungen sind. Ich könnte mich hierzu einlesen, habe aber dazu bisher nicht gelehrt oder geforscht. Falls da einer aus dem Stand etwas dazu schreiben kann, bitte nur zu! --BumbleMath (Diskussion) 18:53, 29. Jan. 2024 (CET)

Hier ist der Link zur deutschen Version, wobei die englische Fassung viel ausführlicher ist und dazu auch einen eigenen WP-Artikel hat. --BumbleMath (Diskussion) 18:55, 29. Jan. 2024 (CET)

Könnte interessant für Physiker oder Mathematiker mit Ahnung von Funktionalanalysis sein. --BumbleMath (Diskussion) 18:56, 29. Jan. 2024 (CET)

+1 "Variationsableitungen" sind in der theoretischen Physik weit verbreitet. biggerj1 (Diskussion) 19:52, 29. Jan. 2024 (CET)

Optimierung nur auf Vektorräumen?

Hallo, im ersten zusammenfassenden Abschnitt zu Optimierungsproblemen ist davon die Rede, dass die Entscheidungsvariablen in einem Vektorraum $V$ liegen, „z.B. $\mathbb {R} ^{n}$“. Hier werfen sich mehrere Fragen für mich auf:

1. Ist es immer notwendig, die Vektorraumstruktur dabei zu haben? Gibt es nicht auch Optimierung z.B. auf Mannigfaltigkeiten oder sogar nur (lokal kompakten) topologischen Räumen, wo zuerst nicht ganz klar ist, was der „umliegende Raum“ ist?
2. Müssen es stets reelle Räume sein, oder gibt es auch Optimierung auf z.B. komplexen Vektorräumen? Ich habe außerdem das Gefühl, dass man, wenn dann, auch die Struktur eines Hilbertraumes möchte, da Skalarprodukte sicherlich ein sehr nützliches Tool sind.

Hier würde ich mir noch ein paar präzisere Erklärungen wünschen. Btw habe ich nichts gegen den Pragmatismus der angewandten Mathematik, aber wenn man Strukturen fordert, kann es aus meiner Sicht schon helfen, kurz zu erklären, warum man das tut. Danke! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:22, 1. Feb. 2024 (CET)

Hi, das ist interessanterweise eine Diskussion, die ich auch so ähnlich schon hier hatte. Ich denke, die Antwort lässt sich in mehrere Ebenen aufteilen:

1. Was ist mathematisch die Minimalanforderung, um Optimierung zu definieren? Nun, wir brauchen eine Abbildung f, die Elemente einer beliebigen Menge M auf eine geordnete Menge K abbildet, sodass wir unter den Funktionswerten das Kleinste/Größte definieren können. Also noch weniger als ein topologischer Raum. Die komplexen Zahlen fallen für K allerdings schonmal raus.
2. Was sind die Minimalanforderungen, um ein Optimierungsproblem sinnvoll lösen und analysieren zu können? Nun, für die Definition von Stetigkeit brauchen wir mindestens einen topologischen Raum, für Differenzierbarkeit sogar noch mehr und für Konvexität (DAS zentrale Thema der Optimierung) einen Raum, in dem wir Elemente addieren und skalieren können, warum also nicht ein Vektorraum. Üblicherweise reicht es auch nicht, dass die Funktion f nur auf der zulässigen Menge M definiert ist, da wir Stetigkeit und Differenzierbarkeit immer auf offenen Obermenge von M betrachten und M selbst für Lösbarkeitsaussagen kompakt (im Endlichdimensionalen) oder kompakt+x (im Unendlichdimensionalen) sein sollte, insbesondere also NICHT offen. Nunja, wenn ich also eh schon eine Obermenge brauche, die gewisse Struktur mitbringt, schlage ich vor, einen Vektorraum zu verwenden.
3. Ein Aspekt sollte noch hinzugefügt werden und zwar ist es oft nicht die natürliche Formulierung eines Optimierungsproblems es direkt algebraisch beschreibend in einen Vektorraum einzubetten. Beispielsweise wird das Problem des Handlungsreisenden in der Sprache der Graphentheorie am natürlichsten formuliert. Dies lässt sich natürlich wieder algebraisch in einem Vektorraum beschreiben, aber das ist wiederum Teil der Modellierung und kann auf zig verschiedene Arten geschehen. Sollten wir also hier trennen und möchte ich noch ergänzen, wie ich es auch im Artikel zum Optimierungsproblem schon teilweise getan habe.

Ich habe also das Gefühl, man lässt sehr wenige Probleme unter den Tisch fallen, wenn man alles in einen Vektorraum einbettet und vereinfacht die Darstellung. Unter Anmerkungen könnte man natürlich auch die Minimalanforderungen für Mathematiker noch etwas ausführen.

Hoffe, das hilft. --BumbleMath (Diskussion) 18:38, 1. Feb. 2024 (CET)