Diskussion:Ordnung (algebraische Zahlentheorie)

Leider sehr duerftig - sollte ausgebaut werden!

Artikel umgeschrieben

Ich habe den Artikel (bis auf die Kategorie) komplett umgeschrieben. Hier ist ist die alte Fassung:

In der algebraischen Zahlentheorie ist eine Ordnung ${\mathcal {O}}$ definiert als:

Es sei $A$ eine endlichdimensionale $\mathbb {Q}$-Algebra. Eine Ordnung in $A$ ist ein Teilring ${\mathcal {O}}\subseteq A$, der als $\mathbb {Z}$ -Modul endlich erzeugt ist und der eine $\mathbb {Q}$ -Basis von $A$ enthält.

==Alternative Definition==

Ein Unterring ${\mathcal {O}}$ des Ganzzahlringes eines Zahlkörpers $\mathbb {K}$ heißt eine Ordnung, wenn ${\mathcal {O}}$ eine Ganzheitsbasis der Länge $[K:\mathbb {Q} ]$ besitzt.

--KleinKlio 00:08, 17. Okt. 2006 (CEST)

Die erste Definition ist eine Verallgemeinerung der "alternativen Definition". Die alternative Definition scheint mir äquivalent zu der zu sein, die jetzt im Artikel steht.--KleinKlio 02:00, 18. Okt. 2006 (CEST)

Ordnungen in allgemeineren Algebren, nämlich Quaternionenalgebren über Q, treten an prominenter Stelle als Endomorphismenringe supersingulärer elliptischer Kurven auf.--Gunther 00:22, 30. Okt. 2006 (CET)

Allgemeinheit und Zugänglichkeit

Die folgende Diskussion wurde von mir (recht unhöflich) in Diskussion:Dedekindring#normal begonnen und später hierher kopiert, im Kern geht es (für mich) um die Frage, wie allgemein dieser Artikel hier sein sollte):--KleinKlio 14:54, 30. Okt. 2006 (CET)

Kann mir einer erklären, was "normal" (roter link) hier bedeutet?

Hintergrund: Würde gern mit Ordnung (algebraische Zahlentheorie), den ich umgeschrieben habe, verlinken, kann aber leider fast kein Wort in der Definition verstehen. --KleinKlio 01:37, 17. Okt. 2006 (CEST)

OK. Jetzt (fast) ohne Ironie.

• Ich dachte bisher, ich wüsste, was "eindimensional" bedeutet (hätte ich keinen Link nachgeschlagen, wenn ich die Def. ansonsten verstanden hätte). Der Artikel belehrt mich eines Besseren.
• Noethersch scheint mir laut link die GAV (größte anzunehmende Verallgemeinerung) zu sein, die man hier bringen kann.
• normal: muss ich wirklich wissen, was normal in den kommutativen Algebren (unter anderen Dingen, denn "normal" gehört nicht zu den Mathematikern fernstliegenden Wörtern) auch mal bedeutet haben kann, um hundsgewöhnliche Primzahlzerlegung in stinknormalen Zahlkörpern zu betreiben? --KleinKlio 02:17, 17. Okt. 2006 (CEST)

"Dedekindring" ist nun einmal der allgemeinste Begriff, in dem solche Sachen wie Zerlegung in Primideale noch funktionieren, das ist Sinn und Zweck dieser Begriffsbildung. Natürlich muss man das nicht wissen, um den Spezialfall von Ganzheitsringen in Zahlkörpern zu verstehen.--Gunther 11:46, 30. Okt. 2006 (CET)

OK, Gunther, ich sehe grade, dass ich hier wohl mal etwas spontan (hier: =unhöflich) gepostet habe, sorry. Konstruktiver Vorschlag: Wenn Du es für sinnvoll hältst, dann bau doch bitte gelegentlich in Ordnung (algebraische Zahlentheorie) unter /*Siehe auch*/ einen kommentierten Link auf Dedekindring ein und schau dabei auch mal, ob der dort verlinkte englische Begriff wirklich eine echte Verallgemeinerung ist. Ich bin mir dessen nicht ganz sicher. Danke und nix für ungut --KleinKlio 12:19, 30. Okt. 2006 (CET)PS zu deiner Bemerkung in der disku Ordnung, die ich leider auch nicht wirklich verstehe, vielleicht wäre das von mir vorgefundene und auf die disku gerettete ein stub für einen de-Artikel Ordnung (Ringtheorie)? --KleinKlio 12:31, 30. Okt. 2006 (CET)

Das lohnt eher nicht. Ich habe einen Abschnitt "Verallgemeinerung" daraus gemacht. Evtl. könnte man noch darauf eingehen, dass es sich tatsächlich um eine Verallgemeinerung handelt, die Charakterisierung als Endomorphismenringe von Gittern ist ja eher unzugänglich.--Gunther 12:51, 30. Okt. 2006 (CET)

Unzugänglich ist sicher Geschmacksache, es kommt wohl darauf an, woran man sich gewöhnt hat. ;-) Was vorher dastand, war jedenfalls noch kein guter stub und zumindest Leutbecher (1996) benutzt noch die (anscheinend historische) Begriffsbildung über die Gitter. Wenn wir kein Lemma „Ordnung (Ringtheorie)“ machen, nehme ich den interwiki link auf die englische Version en:Order (ring theory) wieder rein, IMHO ist mit Deiner /*Verallgemeinerung*/ der Anschluss an diesen Artikel schon geschafft. Ich werde den Abschnitt /*Zusammenhang mit geometrischen Gittern*/ noch ein bisschen klarer machen was das Tensorprodukt angeht, dann finde ich den Artikel (as is) eigentlich recht rund. --KleinKlio 14:30, 30. Okt. 2006 (CET)

Mit "unzugänglich" meine ich, dass das Kriterium "es gibt ein Gitter, so dass O=O(M)" komplizierter nachzuprüfen ist als beispielsweise "O ist ein Ring und ein Gitter" oder andere Charakterisierungen. Aber weitere Diskussion besser dort.--Gunther 14:41, 30. Okt. 2006 (CET)

(„Dort“ ist jetzt „hier“, da ich diese Diskussion hierher kopiert habe). Gunther, wo du recht hast... Habe die offenkundige Verbesserung dankbar aufgenommen und eingearbeitet. --KleinKlio 15:07, 30. Okt. 2006 (CET)

„Rund“ nehme ich zurück. Im Grunde erklärt dieser Artikel noch nicht, was Gitter sollen. Werde also noch Beispiele bringen und gebrochene Ideale (der existierende Artikel gebrochenes Ideal hat sicher sein eigenes Recht, nur gehört er leider auch wieder zur Klasse „nicht oma- (klio-)tauglich“.--KleinKlio 15:44, 30. Okt. 2006 (CET)

Gebrochenes Ideal leidet zum einen an der Allgemeinheit (die Du aber gerade im Kontext von Ordnungen brauchst), für Dedekindringe wie den Ganzheitsring wäre das alles viel einfacher; zum anderen blieb der Artikel auf halbem Wege stecken, weil ich mir mal eine gute Referenz für die diversen Begriffe suchen wollte, was aber nie geschah. Bitte also nicht hier eine Doppelung dazu anfangen, sondern lieber den Artikel dort verständlicher machen, gebrochene Ideale sind kein komplizierter Begriff. Zum "Wozu" der Ordnungen gibt es ein Buch von Cox, Titel "Primes of the form $x^{2}+ny^{2}$", das sich allerdings auf den imaginärquadratischen Fall beschränkt (der ja auch für elliptische Kurven über den komplexen Zahlen der einzig interessante ist).--Gunther 15:52, 30. Okt. 2006 (CET)