Diskussion:Prähilbertraum

Zur Nomenklatur

"Innenproduktraum" ist ein in der deutschen Fachliteratur unüblicher Anglizismus. Der Artikel sollte nach "Prähilbertraum", "Prä-Hilbertraum" oder "Skalarproduktraum" verschoben werden. Allerdings muß vorher außer der Einleitung auch noch der Text angepaßt werden :-( --Peter S 18:12, 1. Feb 2005 (CET)

Zu "Innenproduktraum": es gab einen Artikel "Innenproduktraum", den ich nach "unitärer Vektorraum" verschoben habe. Den langsamen Abbau des Wortes "Innenproduktraum" finde ich OK, wenn wir aber den Artikel von "unitärer Vektorraum" nochmals umbnennen, aber was soll dann mit "unitärer Vektorraum" passieren? Einen eigenen Artikel ist der komplexe Spezialfall nicht wert, es sein denn, Du kannst Fakten liefern, die nur im komplexen Fall gelten. Darüber hinaus habe ich die Literatur durchgesehehn, die Unterscheidung reeller/komplexer Fall wird tatsächlich nur vereinzelt gemacht (siehe meinen früheren Text der Einleitung); insbesondere in en:Inner product space findet sich die Trennung auch nicht; vgl. Diskussion:Innenproduktraum --NeoUrfahraner 06:58, 2. Feb 2005 (CET)

Redirects von den Spezialfällen "euklidischer Vektorraum" und "unitärer (Vektor-)Raum" auf den Oberbegriff (ich bin mir nicht sicher ob Skalarproduktraum - eher klassisches Deutsch - oder Prähilbertraum - international und moderner - das bessere Lemma ist) auf den Oberbegriff sind doch kein Problem - oder übersehe ich etwas?

(Ein Unterbegriff als Lemma für den Oberbegriff gefällt mir hingegen nicht.)

(zusätzliche) Einzelartikel sind sicher (noch?) nicht notwendig, die (gemeinsame) Basisinformation kann aber noch ausgebaut werden (z.B. Dualraum)

--Peter S 12:19, 2. Feb 2005 (CET)

Letzlich geht es lediglich um die Frage, ob man "unitärer Vektorraum" auf komplexe Vektorräume beschränken will oder den Begriff auch für reelle Vektorräume verwendet. Das ist in der Literatur nicht einheitlich; Beispiele für Bücher, die "unitärer Vektorraum" auch für reelle Räume verwenden, habe ich auf Diskussion:Innenproduktraum angegeben. Wenn Du die Begriffe wirklich trennen willst, würde ich jedenfalls "Prähilbertraum" als Lemma bevorzugen; Skalarproduktraum habe ich bisher nie gehört (ist aber selbsterklärend). Derzeit gibt es übrigens ein Redirect von "Prähilbertraum" auf "Innenproduktraum", hoffentlich drehen wir uns nicht im Kreis. Wenn redirect, dann sollte für "unitärer Vektorraum" kein eigener Artikel bleiben, sondern nur ein Redirect; ein eigener Artikel für den endlichdimensionalen Fall "euklidischer Vektorraum" soll aber bleiben - der endlichdimensionale Spezialfall ist jedenfalls wichtig genug. --NeoUrfahraner 12:50, 2. Feb 2005 (CET)

Die Situation ist (noch) verwirrter:

• Die mir vertraut und vernünftig erscheinende Unterscheidung reell/komplex, euklidisch/unitär, orthogonal/unitär, symmetrisch/hermitisch, die ich in der Einleitung formuliert habe, wurde auch durch das (aktuelle) 6-bändige Lexikon der Mathematik bestätigt.
  

Natürlich kann man den reellen Fall immer als Einschränkung des komplexen Falls sehen - aber es ist doch praktisch, kurze und prägnante Bezeichnungen für den (oft nicht unwichtigen) Unterschied zu haben.
Weitere Recherchen ergaben:

• Die (schon ältere) Encyclopedia of Mathematics (10 Bände) unterscheidet zwischen Euclidean und unitary spaces.
• Der (noch ältere) Naas-Schmidt verwendet "unitärer Raum" für beide Fälle.
• Bei Naas-Schmidt steht aber auch eine Bemerkung, daß "euklidische" manchmal auch für den komplexen Fall verwendet wird!

Etliche Funktionalanalysis-Lehrbücher gehen darauf überhaupt nicht ein (und reden höchsten von euklidischer Metrik oder unitären Matrizen) (Yosida - engl., Heuser - deutsch)

• Bei Heuser finden sich aber - sehr zu meiner Überraschung! - die Begriffe "Innenprodukt" und "Innenproduktraum", die bisher noch nie gesehen habe. Ich hätte gedacht, daß dieser schlechte Anglizismus (ich bleibe dabei) erst jüngeren Datums sein könnte.

Man kann also nur (wieder einmal) feststellen, daß es in der Mathematik (fast) keine allgemein anerkannten Definitionen gibt -- man muß im Zweifelsfall immer die Definitionen nachlesen!
Lösungsvorschlag: Es hilft nicht viel, dem Leser einfach alle Möglichkeiten anzubieten. Eine Enyklopädie soll nicht bloß registrieren, sondern auch ordnend eingreifen. Also sinnvollerweise nicht viele Synonyme und Varianten, sondern eigene Begriffe für die Spezialfälle.
"Euklidischer Vektorraum" leitet derzeit auf "Euklidischer Raum", einen Artikel, der zu vektorraumlastig ist. "Euklidischer Raum" sollte wohl eher die geometrische Sichtweise betonen.
--Peter S 19:42, 2. Feb 2005 (CET)

Was nun? Meiner Meinung nach sollten zwei getrennte Artikel, einer für den (reellen?) endlichdimensionalen Fall (da ist vieles leichter) und einer für den unendlichdimensionalen Fall bleiben. Eine Trennung reell/komplex halte ich zumindest im unendlichdimensionalen Fall für nicht notwendig. Wegen des neutralen Standpunktes sollten aber gesagt werden, dass die Bezeichnungsweisen nicht einheitlich ist und die von Dir beschriebenen Variationen erwähnt werden. --NeoUrfahraner 06:54, 3. Feb 2005 (CET)

Zur Einleitung

Was meinst Du mit "manchmal ist es auch umgekehrt."? Dass der reelle Fall manchmal nicht eingeschlossen wird (das steht ja schon dort), oder dass umgekehrt der "euklidische" manchmal auch für den komplexen Fall verwendet wird?

daß der komplexe Fall manchmal mit eingeschlossen ist. --Peter S 16:03, 10. Feb 2005 (CET)

Der zweite Teil der Einleitung liest sich jetzt nach dem Vorhergegenden irgendwie holprig, bringt manche Information doppelt und sollte meines Erachtens irgendwie mit dem Absatz "Defintion" verschmolzen werden. --NeoUrfahraner 15:25, 10. Feb 2005 (CET)

stimmt - ist mir auch aufgefallen. War mir aber (noch) nicht klar, wie man das am besten löst. Ich mache jetzt einen Versuch. --Peter S 16:03, 10. Feb 2005 (CET)

OK, gefällt mir jetzt besser --NeoUrfahraner 17:15, 10. Feb 2005 (CET)

Rechtschreibung

Momentan sind im Artikel alte ("daß", "läßt") und neue Rechtschreibug ("muss") vermischt. Spricht was dagegen, dass ich auf die neue vereinhteiliche? --NeoUrfahraner 17:49, 10. Feb 2005 (CET)

Ich bin - wie man wohl merkt - ein bekennender Altschreiber. Wenn jemand meint, das dürfe hier nicht so stehenbleiben, dann kann ich's auch nicht ändern :-) Ich werde nicht wieder alles rückkorrigieren. Allerdings: bei manchen Neuschreibungen (bei sinnstörenden Getrennt- und Großschreibungen und bei einigen Fremdwörtern) gebe ich nicht wortlos nach. --Peter S 18:08, 14. Feb 2005 (CET)

Dann lasse ich es so, wie es ist - es gibt jedenfalls wichtigere Dinge. --NeoUrfahraner 10:20, 15. Feb 2005 (CET)

Winkel im komplexen Fall

Momentan wird im Artikel behauptet, das Skalarprodukt zweier Vektoren ließe sich immer schreiben als Norm(1.Vektor)*Norm(2.Vektor)*Cosinus(Winkel phi). Ich würde gerne -sollte es keine Einsprüche geben- irgendwie einbauen, dass man dies für gewöhnlich nur tut, wenn der Körper = R ist. Es ist mir auch nicht bewusst, dass man im komplexen Fall überhaupt von Winkeln zwischen Vektoren spricht. Vor allem, wenn diese Winkwl plötzlich nicht mehr reell würden, fände ich das ungewöhlnich...

Kompliziert wird diese Geschichte allerdings dadurch, dass Orthogonalität (also Skalarprodukt 0) durchaus auch im komplexen Fall anzutreffen ist... --Cosine 00:54, 23. Nov. 2006 (CET)

Gut Frage. Natürlich kann man die Formel mit einem komplexen Winkel rechnen, aber ob das wirklich üblich ist? Ich habe jedenfalls ein "im reellen Fall" dazugeschrieben. Falls wer Information zum komplexen Fall auftreiben kann, müsste man das wohl sowieso in ein paar Sätzen ausführen. --NeoUrfahraner 09:22, 23. Nov. 2006 (CET)

Begriffe "euklidisch" und "unitär"

Es wäre mathematisch gesehen völlig sinnlos diese Definition von euklidisch und unitär anzunehmen. Es ändern sich die Sätze für Prähilberträume und euklidische Räume sonst kaum. Aber eine andere Sache, wie Orthogonalbasen existieren nicht i.A.. Auch die Verwendung einschlägiger Literatur, wie: "Lehrbuch der Mathematik Band 2: Lineare Algebra" und andere bedienen sich dabei folgender Regelung: euklidischer Vektorraum: endlichdimensionaler reeler Prähilbertraum unitärer Vektorraum: endlichdimensionaler komplexer Prähilbertraum (die bezeichnung unitärer Vektorraum für beide Fälle ist dabei extra angeführt, als Abkürzung) Prähilbertraum: Vektorraum mit Skalarprodukt (egal ob reel, oder komplex, und egal welche Dimension- auch überabzählbar, hier wankelt die Existenz der Orthogonalbasen) Siehe auch die anderen Artikel zu dem Thema. lg --Manu MM 00:34, 15. Jul. 2007 (CEST)

Ordnung

Das mit der hermiteschen Form und dem Winkel und der Parallelogrammgleich gehört IMHO hier garnicht rein, sondern in den Artikel Skalarprodukt bzw. hermitesche Form. Sonst müsste man das gleiche auch bei Hilbertraum angeben.

1. Axiom

Wie ist das erste Axiom zu verstehen? ($\langle x,x\rangle \geq 0$) Die komplexen Zahlen sind doch kein geordneter Körper, außerdem erzwingt ja das zweite Axiom, dass $\langle x,x\rangle =0$.

Aus dem dritten Axiom folgt, dass $\langle x,x\rangle$ reell ist. --NeoUrfahraner 21:47, 26. Mär. 2008 (CET)

Polarisationsidentität

Mir erscheinen die Vorzeichen vor dem 3. und 4. Term der Polarisationsidentität (für hermitische sesquilinearform, also antilinar im 1. Argument!) vertauscht zu sein. Vielleicht kann jemand ja meine Erscheinung noch mal überprüfen und ggfs die Formel korrigieren.

Definition

Nirgendwo in diesem Artikel wird der Begriff des Prähilbertraums definiert! Nur die Definition eines Skalarprodukts wird gegeben! Dies soll geändert werden. (nicht signierter Beitrag von 141.84.69.20 (Diskussion | Beiträge) 11:58, 16. Mai 2009 (CEST))

Konvention für die Definition von Sesquilinear

Ich habe die Definition geändert, so dass sie mit der in den Artikel Skalarprodukt und Sesquilinearform übereinstimmt. Ich hoffe, dass ich damit niemanden verärgert habe. Außerdem habe ich die Schreibweisen auch angepasst und den Fettdruck entfernt. Das ist in der Mathematik üblicher. Da die Vektoren in den meisten Anwendungen abstrakt sind, sollte das auch für die Physiker kein Problem darstellen. -- Digamma 21:22, 12. Jul. 2010 (CEST)

Strukturerhaltende Abbildungen

Ich finde, der Artikel muss zumindest einen kurzen Abschnitt über Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, enthalten. Im endlichdimensionalen reellen Fall heißen diese "lineare Isometrien", bei Selbstabbildungen "orthogonale Abbildungen". Beim (endlichdimensionalen?) komplexen Fall heißen die Selbstabbildungen "unitär". Kennt jemand die allgemeinen Bezeichnungen? -- Digamma 22:30, 5. Aug. 2010 (CEST)

Definition im reellen und im komplexen Fall

Meines Erachtens wäre es sinnvoll, das Skalarprodukt im reellen und im komplexen Fall getrennt zu definieren, wie im Artikel Skalarprodukt, damit ein Leser, der sich nur für den reellen Fall interessiert, sich nicht mit komplexer Konjugation und dem Begriff "semilinear" herumschlagen muss. Spricht etwas dagegen? -- Digamma 13:33, 11. Jan. 2011 (CET)

Eigentlich schon. Für mich ist Mathematik ohne komplexe Zahlen so etwas wie deutsche Literatur ohne Göthe und Schiller. Dass die Kultusminister sie so weitgehend aus den Lehrplänen entfernt haben, ist ein bildungspolitischer Skandal. Tut bitte in mathematischen Artikeln nicht so, als wären komplexe Zahlen nur etwas für Spezialisten.– Binse (Diskussion) 17:13, 31. Dez. 2019 (CET)

Aber in vielen Kontexten werden nur reelle Vektorräume betrachtet. Da sind die komplexen Zahlen fehl am Platz. Und da man komplexe Zahlen in vielen Ländern nicht in der Schule lernt, wird das Verständnis unnötig erschwert. Meiner Meinung nach ist das reelle Skalarprodukt nicht einfach ein Spezialfall des komplexen, sondern umgekehrt ist das komplexe Skalarprodukt eine Erweiterung des reellen. --Digamma (Diskussion) 11:22, 1. Jan. 2020 (CET)

Du hast ja recht, dass komplexe Zahlen und ihre Anwendung hier und auch sonst oft eine Verallgemeinerung des reellen Gegenstand sind. Anderseits ist bei mathematischen Gegenständen, die reell oder komplex betrachtet werden können, der reelle Fall meist komplizierter als der komplexe (Denk etwa an die Nullstellen von Polynomen). Und wer sich für Prähilberträume interessiert, hat doch wahrscheinlich etwas mehr mathematischen Hintergrund als nur den Schulstoff. Darum halte ich die Darstellung wie gegeben für sinnvoll. Obwohl es natürlich auch andersrum geht.– Binse (Diskussion) 15:49, 9. Jan. 2020 (CET)

Aber gerade beim Skalarprodukt ist es andersherum, da ist der komplexe Fall komplizierter, weil das Skalarprodukt nur in einer Variablen linear, in der andern aber semi-linear ist. --Digamma (Diskussion) 17:30, 9. Jan. 2020 (CET)

Beispiele:Vektoren endlicher Dimension

Es wird dort gesagt, dass jeder Vektorraum K^n zusammen mit dem Standardskalarprodukt nicht nur ein Prähilbertraum sondern auch vollständig und somit ein Hilbertraum ist.

Aber ist nicht der Vektorraum Q^n über dem Körper der rationalen Zahlen ein Beipiel für einen Vektorraum, der mit dem Standardskalrprodukt zwar zum Prähilbertraum wird, nicht aber zum Hilbertraum? Da viele Cauchy-Folgen rationaler Zahlen einen nicht-rationalen Grenzwert haben. (siehe als Beispiel die Folge unter dem Abschnitt "Vollständigkeit" in https://de.wiki.x.io/wiki/Cauchy-Folge, welche gegen Wurzel(2) konvergiert. (nicht signierter Beitrag von 89.217.253.91 (Diskussion) 06:15, 17. Mai 2020 (CEST))

Bei Prähilberträumen setzt man voraus, dass der Körper $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ ist. --Digamma (Diskussion) 10:32, 17. Mai 2020 (CEST)

Zur Notation

Zur Notation: Im besagten Abschnitt steht nur, wie das Innere Produkt selbst notiert wird, nicht aber, wie der Vektorraum mit innerem Produkt notiert wird.

Ich würde im Zweifelsfall sagen

$\left(V,\langle ,\rangle \right),$

aber ich bin mir nicht ganz sicher.--Slow Phil (Diskussion) 13:33, 17. Jul. 2021 (CEST)