Diskussion:Raumfüllende Kurve

Da steht "Eine solche Kurve kann nicht zugleich bijektiv und stetig sein ..." — M.W. ist Bijektivität für Kurven nicht definiert (oder wie denn?!); gemeint ist doch die Bijektivität (und Stetigkeit) der Abbildung, deren Graph(?) die Kurve ist, aber dann muss man das auch so formulieren. Wenn ich das richtig sehe, sind diese Kurven alle stetig, die Beispiele sind es jedenfalls, aber aus der hier angegebenen Formulierung der "Definition" scheint mir das nicht zu folgen. Gibt es unstetige FASS-Kurven? Ein Beispiel?! — Nol Aders 22:35, 26. Dez 2005 (CET)

Nimm eine dieser stetigen, nicht bijektiven raumfüllenden Kurven f. Es existiert p != q : f(p) = f(q). Wähle x != f(p). Dann ist g, daß alle Punkte s außer p auf f(s) abbildet und p auf x abbildet nicht stetig (am Punkt p), aber raumfüllend (da sie das gleiche Bild wie f hat). SPTH 19:54, 2. Jan 2006 (CET)

Gemeint ist: Die Kurve kann nicht als Abbildung $[0,1]\to [0,1]\times [0,1]$ bijektiv und stetig sein. Ich weiß allerdings nicht, was self-avoiding bedeuten soll, wenn nicht "injektiv".--Gunther 20:00, 2. Jan 2006 (CET)

Selv-avoiding: Selbst meidend. Das heißt, die Kurve berührt oder schneidet sich nirgends. Sonst wäre der Berührungs- od. Schnittpunkt 2mal auf der Kurve enthalten. --RokerHRO 08:34, 12. Jan. 2007 (CET)

Dann ist keine stetige Quadratfüllende Kurve FASS-Kurve, da sie eben nicht injektiv ist. Ihre Näherungen mögen selbstvermeidend sein, aber die Peano-Kurve selbst hat beispielsweise bei (2/3,1/3) einen Vierfachpunkt. Betrachtet man eine zu Grunde liegende Abbildung des Einheitsintervalls auf das Einheitsquadrat, so liegen die Punkte des Einheitsquadrates, welche ein mindestens zweielementiges Urbild haben, im Einheitsquadrat dicht. Dazu gehören nämlich alle Punkte im Inneren des Einheitsquadrates, welche wenigstens eine Koordinate haben, deren Darstellung im Dreiersystem abbricht (nur endlich viele Nachkommastellen). Am Rand kommen auch noch einige hinzu. --EffDry

Name

Ist der Name "FASS" ein üblicher Name? Ich habe ihn noch nie gehört, und im englischen Artikel steht er auch nicht. --Wuzel 20:35, 5. Mai 2006 (CEST)

Ich ebenfalls nicht, und es gibt ja auch keine Kurve, auf die die Langform der Abkürzung zutrifft. Eine Kurve ist ja das Bild einer stetigen Abbildung des Einheitsintervalles. Ist sie flächen- oder gar raumfüllend, so liegen ihre Mehrfachpunkte sogar dicht. Von "self-avoiding" kann dann keine Rede sein! --EffDry

Wirklichkeit

Ähnelt die Struktur unserer Wirklichkeit als rekursives System nicht einer FASS-Kurve? --80.108.107.62 00:13, 17. Dez. 2010 (CET)

Fraktale

Mir kommt die Peano-Kurve in den Sinn. Und auch, dass hier ggf die für Fraktale typische Mehrdeutigekeit von Dimensionen gegeben ist. (Was ist eine Linie, die eine Fläche füllt?) Ist eine FASS-Kurve ein Spezialfall eines Fraktals? -- 84.112.118.61 11:08, 21. Apr. 2012 (CEST)

Sinus

Wäre eine Sinuskurve ∿ die man horizontal immer weiter zusammenquetscht (also die Frequenz erhöht) nicht auch im Grenzwert eine raumfüllende Kurve? --2.247.249.15 02:14, 29. Nov. 2017 (CET)

Du meinst vermutlich: Frequenz erhöht bei gleichzeitiger Erhöhung der Anzahl der Perioden. Ja, ich denke schon, dass man auf diese Weise im Limes ein ganzes Quadrat schwarz kriegen würde. Der große Unterschied zu all den zitierten Kurven ist, dass bei Deinem Vorschlag die Graphen in ihrer unendlichen Folge keine Nachbarschaftseigenschaften haben. Des Weiteren scheint es unmöglich zu sein, aus der linearen Ordnung der Punkte auf Deinen Kurven eine Ordnung für die Punkte des Quadrates zu machen. Den Herren Peano und Hilbert wäre Deine Idee sicherlich nichts Neues gewesen, sie hat ihnen anscheinend für ihre Zwecke nicht gut genug gefallen. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:56, 29. Nov. 2017 (CET)

Nö, die Herren Peano und Hilbert hätten gemerkt, dass das nicht funktioniert:

Die zusammengequetschte Sinuskurve $\lim _{n\to \infty }\sin(n\cdot x)$ konvergiert nämlich (bis auf x=0) nicht. Dann ist also nach allem Schwarzmachen das Quadrat bis auf einen Punkt blütenweiß.

Sorry, dass ich mich habe aufs Glatteis führen lassen. --Nomen4Omen (Diskussion) 12:37, 30. Nov. 2017 (CET)

Cesàro und Sierpiński

Unter Cesàro-Kurve steht, dass die mit einem bestimmten Parameterwert ein gleichschenkliges Dreieck ausfüllt und somit eine fraktale Füllkurve ist (mit Link nach umseitig). Hört sich nach einer Erweiterung für die Liste an. Aber: mir scheint, dass es dann dieselbe Kurve ist wie die, die im Grenzfall der (in der Liste bereits vorhandene) Sierpiński-Kurve das Dreieck zwischen unterer linker Ecke, Mittelpunkt und unterer rechter Ecke ausfüllt. In dem Fall wären stattdessen Verweise zwischen den beiden Einzelartikeln nötig.

(Und ist die Cesàro-Kurve dasselbe, was in dem kurzen Artikel it:Curve di Cesaro beschrieben wird? Dann fehlt das Interwiki.) --DK2EO (Diskussion) 01:06, 17. Jan. 2022 (CET)