Diskussion:Riemannsches Integral

Riemannsches Integral vs. Darboux'sche Integral

Der hier behandelte Integralsbegriff ist nicht das Riemannsche integral sondern das Darboux'sche Integral, das Riemannsche Integral beruht auf einer Riemann-Zerlegung. (Zumindest laut meinem uni skriptum) diese Integrale sind zwar in der art Äquivalent dass sie für reellwertige Funktionen den selben wert haben, allerdings lässt sich das Darboux'sche Integral nicht auf Komplexwertige Funktionen anwenden.

Es ist nicht richtig, daß Riemann-integrierbare Funktionen im Integrationsintervall nur endlich viele Unstetigkeitsstellen haben dürfen. Beispiel: Auf dem Intervall I=[0,1] werde die Funktion f definiert durch f(x)=x, falls x=1/n mit einer positiven ganzen Zahl n gilt, bzw. f(x)=0 für alle anderen x aus I. Offensichtlich gibt es hier im Integrationsintervall unendlich viele Unstetigkeitsstellen, nämlich 1/1, 1/2, 1/3, ... Trotzdem ist f Riemann-integrierbar. Das Integral ist 0.

--141.35.13.48 15:58, 17. Jun 2005 (CEST)

Hab' den Satz rausgeworfen. Du weißt schon, dass Du das auch selbst tun kannst? ;-) --Gunther 14:37, 20. Jun 2005 (CEST)

Frage: Unten steht aber Grenzwert Unterintegral, ist es dabei unerheblich, wenn ein Teilintervall endliche Größe behält? Unten steht es doch auch so "dass die Breite der Elementarflächen gegen Null geht."--Roomsixhu 13:37, 21. Jun 2005 (CEST)

inf und sup sind keine Grenzwerte, da sollte man ein besseres Wort finden. Auch der darauffolgende Satz verschweigt eine ganze Menge: Gemeint ist der Netzlimes über alle Zerlegungen.--Gunther 14:34, 21. Jun 2005 (CEST)

Riemann-Stieltjes-Integrale?

Ist das Riemann-Stieltjes-Integral das selbe wie ein Riemann-Integral oder gibt es da unterschiede?--Habakuk <>< 12:02, 22. Dez 2005 (CET)

Ok, habs selbst gefunden...--Habakuk <>< 12:04, 22. Dez 2005 (CET)

Unverständlich

Vielleicht ist diese Markierung übertrieben, jedoch finde ich, dass nach der Einleitung etwas mehr erklärt werden sollte. Richtig verstanden habe ich dies nämlich nicht. Gruß und Bitte um Verbesserung, --Bangin ф18:19, 31. Mai 2006 (CEST)

Ich habe es mal umgeschrieben und dabei auch die weiter oben genannten Kritikpunkte berücksichtigt. Ich bemühe mich außerdem um ein Bild, das in diesem Fall wohl tatsächlich mehr als beliebig viele Worte sagt.--Gunther 19:25, 31. Mai 2006 (CEST)

Teilweise unverständlich, oder vielmehr schwerverständlich ist die Schreibweise von Ober- und Untersummen mit dem "sup" oder "inf". Ich, als mathematisch unbedarfter Mensch kann mit der Schreibweise nur soviel anfangen, dass ich die auf das lateinische zurückführen kann. Aus der Schule kenne ich nur eine Unterscheidung in der Art des Indizes (k+1 oder k-1). Es mag ja sein, dass das in der SChreibweise drinsteckt, aber dem unbeleckten Nutzer sagt die verwendete Schreibweise erstmal gar nichts. --Romm 18:04, 5. Mär. 2009 (CET)

Deshalb folgt im nächsten Satz ja der entsprechende Wikilink... --Scherben 15:58, 8. Mär. 2009 (CET)

Kriterien für Riemann-Integrierbarkeit

Es fehlt ein Abschnitt mit den bekannten hinreichenden Bedingungen für die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion f auf einem Intervall [a, b], z.B.: - f stetig auf [a, b] => f Riemann-integrierbar auf [a, b] - f monoton auf [a, b] => f Riemann-integrierbar auf [a, b] - f bis auf endlich viele Stellen stetig auf [a, b] => f Riemann-integrierbar auf [a, b] (siehe Analysis-Bücher wie Walter oder Königsberger)

Hau rein. --Scherben 18:00, 7. Nov. 2008 (CET)

Guter Einwand. Ich habe jetzt immerhin einmal ein Kriterium angegeben.--biggerj1 (Diskussion) 20:13, 19. Feb. 2014 (CET)

"Zwei" klassische Integralbegriffe

Es gibt drei Integralbegriffe, außer den beiden in der Einleitung erwähnten den über Regelfunktionen. Ich hab mir ein paar Skripte angeschaut, das scheint mir sogar der zu sein, der in den Anfängervorlesungen als erstes eingeführt wird. Er mag nicht so "klassisch" sein wie die beiden anderen. Gerade aber weil er mit dem Riemann-Integral verwechselt wird, sollte man ihn erwähnen. Jemand ne Idee, wie?--Frogfol (Diskussion) 12:00, 1. Mär. 2014 (CET)

Behandelt wird der Integralbegriff über Regelfunktionen im Artikel Integralrechnung. Für mich ist sowieso nicht ganz klar, wie diese beiden Artikel zueinander stehen. Wenn ich dich richtig verstehe, möchtest du nicht, dass das Integral von Regelfunktionen hier behandelt wird, sondern, dass hier der Begriff des Riemann-Integrals von dem Begriff des Integrals von Regelfunktionen abgegrenzt wird. Reicht dazu ein Satz im Anschluss an den ersten Absatz der Einleitung? Ich habe mal einen Versuch gewagt. --Digamma (Diskussion) 18:12, 1. Mär. 2014 (CET)

Mir ging es darum, wie du vermutetest, die Integralbegriffe voneinander abzugrenzen. Insofern reicht das von dir hinzugefügte.--Frogfol (Diskussion) 13:21, 2. Mär. 2014 (CET)

Einleitung

Die in der Einleitung beschriebene Vorgehensweise betrifft die "Darbouxsche Definition" des Riemann-Integrals. Die gleichberechtigte "Reimannsche Definition", die immerhin auf Riemann zurückgeht, nach dem das Riemann-Integral benannt ist, wird nicht erwähnt. Ich finde das etwas unglücklich. --Mathze (Diskussion) 10:50, 23. Feb. 2023 (CET)

"Herleitung des Riemann-Integrals" aus dem Differentialquotienten

Ich sehe hier keine "Herleitung" des Riemann-Integrals (was auch immer das heißen mag), sondern eine (etwas obskure) Herleitung des Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Da damit offensichtlich fehl am Platz, empfehle ich eine Löschung hier, über eine Verschiebung in den Artikel Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung könnte man nachdenken, der zweite Teil des Hauptsatzes wird dort nicht unabhängig vom ersten bewiesen. (Dann aber bitte nicht ganz so obskur). Den Platz, der hier frei wird, könnte man nutzen, um ein Riemann-Integral ohne den Hauptsatz, nahe an der Definition, als Beispiel zu berechnen. --Mathze (Diskussion) 11:28, 23. Feb. 2023 (CET)

+1 zur Löschung. --Digamma (Diskussion) 21:52, 23. Feb. 2023 (CET)

Beispielrechnung

Warum genügt es in der Beispielrechnung, zur Bestimmung von Ober- und Untersumme sich auf Zerlegungen zu beschränken, in denen jedes Teilintervall die gleiche Breite hat? Traxer (Diskussion) 11:48, 22. Apr. 2024 (CEST)

Es gilt der folgende Satz für Riemann-Integrierbarkeit: Eine Funktion $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn $f$ beschränkt ist und jede Riemann-Folge von $f$ gegen einen (und damit gegen ein- und denselben!) Grenzwert konvergiert. Ist dies der Fall, so konvergiert jede Riemann-Folge gegen $\int _{a}^{b}f$. Deshalb genügt es, sich eine Riemann-Folge rauszugreifen, z. B. eine mit äquidistanter Zerlegung des Integrationsintervalls, und für diese die Grenzwertberechnung durchzuführen. (Tatsächlich gibt es Funktionen, wo es praktischer ist, keine äquidistante Zerlegungsfolge zu wählen.) --Mathze (Diskussion) 15:27, 22. Apr. 2024 (CEST)

Einleitung

Ich finde die Einleitung nicht so gelungen aus folgenden Gründen:

• Zunächst einmal stört mich der sofortige Rückgriff auf die Anschauung als Flächeninhalt. Es handelt sich um eine Integrationsmethode. Integrale tauchen in mannigfatigen Kontexten auf, zur Berechnung von Längen, Volumina, Gesamtmassen, Gesamtladungen, Wegstrecken, und ja, auch Flächeninhalten. Ich finde den englischsprachigen Artikel hinsichtlich des ersten Satzes ganz gut gelungen.
• Es steht nicht wirklich da, wofür man das Riemann-Integral eigentlich benötigt (außer Flächenberechnung). Ist es nicht so, dass es ganz praktisch ist, weil man damit stetige und stückweise stetige Funktionen integrieren kann (und noch ein paar mehr)? Und gleichzeitig eine gewisse Anschaulichkeit bietet? Für mich war das Riemann-Integral immer ein guter Kompromiss zwischen Anschaulichkeit und Leistungsfähigkeit.
• Dafür steht etwas darüber, wofür man das Riemann-Integral eigentlich nicht benötigt, da das ja auch schon das Regelintegral leistet.

Mein Vorschlag wäre, sich am englischsprachigen Artikel zu orientieren, und das Integral aus der Mathematikgeschichte, Anschaulichkeit udn Leistungsfähigkeit zu motivieren. --Mathze (Diskussion) 18:45, 22. Apr. 2024 (CEST)

Ich kann deine Kritik nicht so richtig nachvollziehen. Das Riemannsche Integral ist keine Integrations-Methode, sondern eine Methode, ein Integral überhaupt präzise zu definieren. Genau das besagt der erste Satz. --Digamma (Diskussion) 20:44, 22. Apr. 2024 (CEST)

Ansonsten stimme ich dir zu: Die Formulierung im englischsprachigen Artikel ist besser. --Digamma (Diskussion) 20:46, 22. Apr. 2024 (CEST)

Ja, Du hast Recht, da habe ich mich unklar ausgedrückt. Es ist eine Methode, ein Integral präzise zu definieren. Wobei das Wort "Methode" in meinen Ohren an dieser Stelle etwas schräg klingt (ich verbinde mit "Methode" so etwas wie den Gauß-Algorithmus oder die Methode der kleinesten Quadrate), ich würde eher von einer "Art" oder "Möglichkeit" sprechen. Können wir uns nicht darauf einigen, dass es genau das ist, was Du hier geschrieben hast: Eine Methode (Art), ein Integral zu definieren (und nicht eine Methode, den Flächeninhalt zu definieren)? Was ein Integral ist, kann man ja dann in dem entsprechenden Artikel nachlesen, dort wird Bezug auf dem Flächeninhalt genommen, aber auf noch viele weitere Aspekte, die man mit einem Integral verbindet. --Mathze (Diskussion) 21:00, 22. Apr. 2024 (CEST)