Diskussion:Satz von Moivre-Laplace

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Beweis

Dieser Abschnitt ist unglücklich aufgebaut und schlecht lesbar. Es ist unklar, welche Aussage überhaupt bewiesen werden soll, da die Begriffe Normalverteilung und Binomialverteilung unscharf verwendet werden. Zunächst heißt es "Die Normalverteilung kann aus der Binomialverteilung hergeleitet werden, wenn [...]". Dann werden vier Bedingungen aufgezählt, unter denen diese Herleitung möglich sei, wobei unklar bleibt, ob diese vier Bedingungen nun erfüllt sind oder nicht, und unter welchen Voraussetzungen sie erfüllt sind. Dann ist von Annäherungen für $n\to \infty$ die Rede, wobei $n$ auf beiden Seiten der jeweiligen Gleichungen steht. Was hier stattdessen stehen könnte, ist ein klarer Beweis beruhend auf den Verteilungsfunktionen von Binomialverteilungen und Normalverteilungen oder auf der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung und der Dichtefunktion der Normalverteilung. Die angegebene Quelle scheint mir nicht die Qualitätsanforderungen der WP zu erfüllen, sie enthält noch nicht einmal den Namen eines Autors. Das Abschreiben eines Beweises ist überdies möglicherweise eine Urheberrechtsverletzung. Ich schlage vor, diesen Beweis zu löschen.--Sigma^2 (Diskussion) 22:34, 11. Okt. 2023 (CEST)

Nachdem es nun innerhalb von vier Wochen keinen Widerspruch und keine Überarbeitung des Beweises gab, werde ich den Beweis aus dem Artikel hierher verlagern, damit er z. B. hier überarbeitet werden kann.

Beweis (Fassung vom 8.11.2023)

Die Normalverteilung kann aus der Binomialverteilung hergeleitet werden, wenn die Differenz $k-np$ zwischen der Anzahl $k$ der Erfolge und dem Erwartungswert $np$ von der Größenordnung ${\mathcal {O}}({\sqrt {n}})$ ist und $k$ und $n-k$ von der Größenordnung ${\mathcal {O}}(n)$ sind.

Aus der Stirlingformel $n!=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)\right)$ ergibt sich dann folgende Näherung für die Binomialverteilung:

${\begin{aligned}B(k\mid p,n)&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&={\frac {n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}{k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}(n-k)^{n-k}e^{-(n-k)}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}p^{k}(1-p)^{n-k}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)\right)\\&=n^{n}\left({\frac {p}{k}}\right)^{k}\left({\frac {1-p}{n-k}}\right)^{n-k}{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)\right)\\&=\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)\right)\\\end{aligned}}$

Um den Ausdruck $\left({\tfrac {np}{k}}\right)^{k}\left({\tfrac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}$ als Potenz von $e$ darzustellen, wird der natürliche Logarithmus dieses Ausdrucks approximiert. Definiert man $d:=k-np$, dann gilt

${\begin{aligned}\ln \left({\frac {np}{k}}\right)&=\ln \left({\frac {np}{np+d}}\right)=-\ln \left({\frac {np+d}{np}}\right)=-\ln \left(1+{\frac {d}{np}}\right)\\\ln \left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)&=\ln \left({\frac {n(1-p)}{n(1-p)-d}}\right)=-\ln \left({\frac {n(1-p)-d}{n(1-p)}}\right)=-\ln \left(1-{\frac {d}{n(1-p)}}\right)\\\end{aligned}}$

Aus der Potenzreihe $\ln(1+x)=x-{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\mathcal {O}}(x^{3})$ für den natürlichen Logarithmus folgt

${\begin{aligned}\ln \left(\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}\right)&=k\ln \left({\frac {np}{k}}\right)+(n-k)\ln \left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)\\&=k\ln \left(1+{\frac {d}{np}}\right)-(n-k)\ln \left(1-{\frac {d}{n(1-p)}}\right)\\&=-(np+d)\left({\frac {d}{np}}-{\frac {d^{2}}{2n^{2}p^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{3}}}\right)\right)-(n(1-p)-d)\left(-{\frac {d}{n(1-p)}}-{\frac {d^{2}}{2n^{2}(1-p)^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{3}}}\right)\right)\\&=-d-{\frac {d^{2}}{np}}+{\frac {d^{2}}{2np}}+{\frac {d^{3}}{2n^{2}p^{2}}}-(np+d){\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{3}}}\right)+d-{\frac {d^{2}}{n(1-p)}}+{\frac {d^{2}}{2n(1-p)}}-{\frac {d^{3}}{2n^{2}(1-p)^{2}}}-(n(1-p)-d){\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{3}}}\right)\\&=-{\frac {d^{2}}{2np(1-p)}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{2}}}\right)\\\end{aligned}}$

Wendet man die Exponentialfunktion auf diese Gleichung an, dann erhält man

$\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}=e^{-{\frac {d^{2}}{2np(1-p)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{2}}}\right)\right)$

Außerdem gilt die Näherung

${\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}={\sqrt {\frac {n}{2\pi (np+d)(n(1-p)-d)}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi np(1-p)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {d}{n}}\right)\right)$

Weil $d:=k-np$ von der Größenordnung ${\mathcal {O}}({\sqrt {n}})$ ist, gilt ${\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{2}}}\right)={\mathcal {O}}\left({\frac {d}{n}}\right)={\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)$. Daraus folgt, dass die Binomialverteilung folgendermaßen dargestellt werden kann:

$B(k\mid p,n)={\frac {1}{\sqrt {2\pi np(1-p)}}}e^{-{\frac {(k-np)^{2}}{2np(1-p)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)\right)$

Dieser Wert nähert sich für große $n$ der Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu =np$ und der Varianz $\sigma ^{2}=np(1-p)$ an.

Einzelnachweis

--Sigma^2 (Diskussion) 00:09, 8. Nov. 2023 (CET)

Artikelname

Ich bin für eine Umbenennung in Satz von de Moivre-Laplace. Wer verkürzt eigentlich – außer der deutschen Wikipedia – den Namen de Moivre zu Moivre? --Sigma^2 (Diskussion) 23:25, 8. Nov. 2023 (CET)

Noch eine Frage an Duden-Kenner. Müsste es Satz von De Moivre-Laplace heißen?--Sigma^2 (Diskussion) 23:32, 8. Nov. 2023 (CET)

Fehlender Faktor

Fehlt da nicht eklatant ein Faktor $\frac12$ im Exponenten? --79.245.209.121 23:22, 1. Mai 2024 (CEST) Und obendrein schränkt die EN-Wikipedia die Approximation auf den Fall ein, dass $k$ in der Nähe des Erwartungswertes liegt!? (nicht signierter Beitrag von 79.245.209.121 (Diskussion) 23:32, 1. Mai 2024 (CEST))

Fehlender Faktor ist ergänzt.--Sigma^2 (Diskussion) 01:06, 4. Mai 2024 (CEST) Danke für den Hinweis.--Sigma^2 (Diskussion) 01:25, 4. Mai 2024 (CEST)

Warum in der EN-Wikipedia von Nachbarschaft des Erwartungswertes die Rede ist, ist unklar. Die Nachbarschaft muss nicht nah sein. So steht es auch im Beweis: „This can be shown for an arbitrary nonzero and finite point $c$.“ Dabei ist

$k=np+c{\sqrt {np(1-p)}}=\mu _{n}+c\sigma _{n}\;$.

Gemeint ist wohl, dass man $k$ als Abweichung vom Erwartungswert formuliert. Das hat aber nichts mit „Nähe“ zu tun.--Sigma^2 (Diskussion) 01:30, 4. Mai 2024 (CEST)