Diskussion:Semimartingal

Definition

Die Definition scheint mir verbesserungswürdig zu sein.

• Für die Familie $({\mathcal {F}}_{t})$ ist der Definitionsbereich für $t$ nicht angegeben. Gemeint ist wohl $({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t<\infty }$. Damit zusammenhängend ist in der dritten Zeile der Definition unklar, woher ${\mathcal {F}}_{0}$ kommt.
• Die Filtration, und nicht den WR $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},\mathbb {P} )$, als vollständig zu bezeichnen, erscheint mir ungewöhnlich. Eine Filtration kennt kein $\mathbb {P}$. Es ist schwierig zu erkennen, warum gerade $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},\mathbb {P} )$ vollständig sein soll. Müssen die WR $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} )$ für $0<t<\infty$ nicht vollständig sein? Ist die Vollständigkeit von $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ und von $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},\mathbb {P} )$ wirklich für die Definition relevant?
• Ein Bezug auf filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum erscheint mir sinnvoll.
• Die Definition 1 und 2 sollen äquivalent sein. In Definition 2 wird erst ein $\mathbb {R} ^{d}$-wertiger stochastischer Prozess betrachtet, dann wird von kompakten Teilmengen des $\mathbb {R} _{+}$ gesprochen. Wenn in Definition 1 ein reeller oder ein $\mathbb {R} ^{d}$-wertiger stochastischer Prozess gemeint ist, sollte das dort stehen, damit man eine Chance hat, den Zusammenhang zu sehen.
• Ist mit endlicher Variation der Begriff beschränkte Variation (bounded variation) gemeint?

--Sigma^2 (Diskussion) 14:16, 16. Dez. 2023 (CET)

• Es ist schon gebräuchliche Terminologie von einer vollständigen Filtration $\mathbb {F}$ zu sprechen. Eine Filtration $\mathbb {F}$ ist vollständig, wenn ${\mathcal {F}}_{0}$ alle $P$-Nullmengen von ${\mathcal {F}}$ besitzt. Beachte, dass ist nicht dasselbe wie zu sagen $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},P)$ wäre vollständig. Das ist relevant, weil wenn $X$ an die Filltration adaptiert ist, dann ist eine Modifikation von $X$ nicht zwingend adaptiert, wenn die Filtration nicht auch vollständig ist.
• $\mathbb {R} _{+}$ ist die Zeit-Dimension, nicht dass der Prozess $\mathbb {R} _{+}$-wertig ist.
• Eine Funktion hat endliche Variation, wenn sie auf jedem endlichen Interval fast sicher beschränkte Variation hat.--Tensorproduct 10:03, 17. Dez. 2023 (CET)