Diskussion:Voigtsche Notation

Innere Energie

Hallo Ulrich67,

Du schreibst: "Der Zusätzliche Faktor 2 bei den letzten 3 Komponenten sorgt dafür, dass das Skalarprodukt aus Spannung in Dehnung in der Voigtsche Notation gleich dem inneren Tensorprodukt in der Tensorschreibweise ist. Diese Produkt hat wegen dem Zusammenhang mit der elastisch gespeicherten Energie eine besondere Bedeutung." Dazu habe ich ein paar Fragen:

• Könnte es nicht auch sein, dass der Faktor 2 eingefügt wurde, damit im Voigtschen Verz.Vektor die Schubwinkel gamma_ij = 2 epsilon_ij stehen?
• Meinst du mit "inneres Produkt in der Tensorschreibweise" vielleicht "inneres Produkt von Tensoren"? Bzw.: Was genau meinst du mit inneres Produkt?
• Worin besteht die "besondere Bedeutung"? Du meinst eine besondere Bedeutung für jemand, der die freie Energie F ausrechnen möchte?

Begriff "Steifigkeit"

Der Begriff Steifigkeit (Steifigkeitstetrade/Steifigkeitsmatrix) wird im Zusammenhang mit dem Konstitutivgesetz zwar oft verwendet und ist auch in der Literatur oft anzutreffen, jedoch ist er falsch angewendet. Der Begriff Steifigkeit impliziert einen Zusammenhang mit der Geometrie (z.B. Balkensteifigkeit, Plattensteifigkeit, etc.), den es an dieser Stelle jedoch gar nicht gibt. Eigentlich geht es in diesem Zusammenhang ja lediglich um die Elastizität. Deshalb sollte besser der Begriff der Elastiztiätsmatrix/-tetrade genutzt werden. Holm Altenbach gibt in seinen Vorlesung regelmäßig kleine Exkurse zu derartigen Falschverwendungen von Begrifflichkeiten. --141.44.155.82 16:06, 14. Aug. 2014 (CEST)

Hallo, wer sagt denn außer Herrn Altenbach noch so alles, dass von "Steifigkeiten" nur gesprochen werden darf, wenn neben dem Material auch die Geometrie relevant ist? Wo steht denn die einzig mögliche Definition von Steifigkeit? Meiner Meinung nach gibt es eine solche Definition (leider) nicht. Der Begriff "Steifigkeit" bzw. "Steifigkeitsmatrix" wird in unzähligen Fachbüchern verwendet - und zwar auch, wenn es allein um das Material (und nicht um die Geometrie) geht. Und sogar das, was umgangssprachlich unter Steifigkeit verstanden wird (nämlich das Verhältnis zwischen einer Kraftgröße und einer Verformung) passt... Beim Zugstab hat man 'F = sigma A = EA epsilon' und 'EA' nennt man üblicherweise die Längs- bzw. Dehnsteifigkeit. Und hier hat man nun 'sigma = E epsilon' bzw. 'sigma A = E A epsilon' und nennt 'E' die Steifigkeit. Wo ist das Problem? Dass die Dimensionen nicht übereinstimmen kann jedenfalls nicht das Problem sein. Denn die Biegesteifigkeit hat ja auch eine andere Dimension. Das ist doch alles wirklich nicht so entscheidend, oder? --Kassbohm (Diskussion) 19:06, 14. Aug. 2014 (CEST) Meinetwegen kann man es auch anders nennen. Ich hab den Begriff genommen, der meiner Meinung nach am häufigsten in diesem Zusammenhang gebraucht wird... --Kassbohm (Diskussion) 19:06, 14. Aug. 2014 (CEST)

$EA$ ist die Steifigkeit, $E$ ist lediglich die Elastizität. Ein Beispiel aus dem wiki-Artikel 'Steifigkeit' verdeutlicht die Problematik:

"Ein Zugstab mit dem Querschnitt A = 100 mm² und einem Elastizitätsmodul von 210.000 N/mm² hat eine Steifigkeit von E·A = 2,1·10⁷ N."

Quelle: http://de.wiki.x.io/wiki/Steifigkeit#absolute_Steifigkeiten.2C_Federkonstanten

--141.44.155.85 11:30, 2. Sep. 2014 (CEST)

Neue Gliederung

1. Iteration

Ein Vorschlag:

0 Einleitung

Warum, Wieso, Weshalb? Achtung, ist $\sigma _{ij}$ wirklich ein Tensor? Eigentlich nicht, sondern lediglich seine Koeffizientenmatrix. Vielleicht besser $[\sigma _{ij}]$ um diese darzustellen. Eine klarere Trennung zwischen Tensor und Matrix wäre wohl auch gut.

Äh, da steht im Artikel aber sehr deutlich, dass es um die Komponenten von Tensoren geht - das, was du Koeffizienten nennst... Ich denke nicht, dass es nötig ist, auf den Begriff Tensor überhaupt einzugehen. Warum sollte das nötig sein? Ohne die Verwendung von Tensorprodukt/Tensor ist alles erheblich einfacher - und auch für Leute verständlich, die die Schreibweise nur im Zusammenhang von Matrizen verwenden - und gar keine Tensoren kennen... --Kassbohm (Diskussion) 18:41, 12. Aug. 2014 (CEST)

OK, falls es doch noch benötigt wird, kann man es ja in der Einleitung nachtragen. --78.53.201.144 21:09, 12. Aug. 2014 (CEST)

Vorschlag: ${\boldsymbol {T}}=\sigma _{ij}\;{\boldsymbol {e}}_{i}\otimes {\boldsymbol {e}}_{j}$ mit $[\sigma _{ij}]$= ${\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\{\text{sym}}&&\sigma _{33}\\\end{bmatrix}}$

In Folge könnte man dann fette kleine griechische Buchstaben als 'Voigt-Vektoren' und gerade-stehende fette große lateinische Buchstaben als Matrizen einführen.

Nur so viele Schreibweisen und Definition wie unbedingt nötig, finde ich. Alles Andere macht die Sache komplizierter als sie ist. --Kassbohm (Diskussion) 18:41, 12. Aug. 2014 (CEST)

OK, ich bin zwar kein großer Verfechter der indizistischen Schreibweise, an dieser Stelle erscheint es jedoch wohl wirklich didaktisch sinnvoller zu sein, diese zu nutzen. --78.53.201.144 21:09, 12. Aug. 2014 (CEST)

1 Vorgehensweise zur Zusammenziehung

1.1 Tensoren 2. Stufe

Folgende Grafik der englischen Wikipedia wäre beispielhaft zur Vorgehensweise:

Als Beispiel dient hier eine expemplarische Matrix $[A_{ij}]$ eines beliebigen Tensors zweiter Stufe. Die Koeffizientenmatrix dieses Tensors hat 9 Dimensionen.

$[A_{ij}]={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}$

Symmetrie wenn $A_{12}=A_{21}$, $A_{23}=A_{32}$ und $A_{31}=A_{13}$!

$[A_{ij}]^{\text{Voigt}}={\begin{bmatrix}A_{11}\\A_{22}\\A_{33}\\A_{23}\\A_{13}\\A_{12}\end{bmatrix}}$

Indizes können zusammengezogen werden, so dass gilt: $ij\rightarrow \alpha$

Diese Zuordnung ist in folgender Tabelle zusammengefasst.

$ij$	11	22	33	23	13	12
$\alpha$	1	2	3	4	5	6

$[A_{\alpha }]^{\text{Voigt}}={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\A_{4}\\A_{5}\\A_{6}\end{bmatrix}}$

1.2 Tensoren 4. Stufe

Als Beispiel dient hier eine expemplarische Matrix $[A_{ijkl}]$ eines beliebigen Tensors vierter Stufe. Die Koeffizientenmatrix eines Tensors vierter Stufe hat 81 Dimensionen. Es handelt sich um eine sogenannte Hypermatrix.

$[A_{ijkl}]={\begin{bmatrix}\\[-2.5ex]{\begin{bmatrix}A_{1111}&A_{1112}&A_{1113}\\A_{1121}&A_{1122}&A_{1123}\\A_{1131}&A_{1132}&A_{1133}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}A_{1211}&A_{1212}&A_{1213}\\A_{1221}&A_{1222}&A_{1223}\\A_{1231}&A_{1232}&A_{1233}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}A_{1311}&A_{1312}&A_{1313}\\A_{1321}&A_{1322}&A_{1323}\\A_{1331}&A_{1332}&A_{1333}\end{bmatrix}}\\[5ex]{\begin{bmatrix}A_{2111}&A_{2112}&A_{2113}\\A_{2121}&A_{2122}&A_{2123}\\A_{2131}&A_{2132}&A_{2133}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}A_{2211}&A_{2212}&A_{2213}\\A_{2221}&A_{2222}&A_{2223}\\A_{2231}&A_{2232}&A_{2233}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}A_{2311}&A_{2312}&A_{2313}\\A_{2321}&A_{2322}&A_{2323}\\A_{2331}&A_{2332}&A_{2333}\end{bmatrix}}\\[5ex]{\begin{bmatrix}A_{3111}&A_{3112}&A_{3113}\\A_{3121}&A_{3122}&A_{3123}\\A_{3131}&A_{3132}&A_{3133}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}A_{3211}&A_{3212}&A_{3213}\\A_{3221}&A_{3222}&A_{3223}\\A_{3231}&A_{3232}&A_{3233}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}A_{3311}&A_{3312}&A_{3313}\\A_{3321}&A_{3322}&A_{3323}\\A_{3331}&A_{3332}&A_{3333}\end{bmatrix}}\\[3.5ex]\end{bmatrix}}$

linke Subsymmetrie: $A_{ijkl}=A_{jikl}$

rechte Subsymmetrie: $A_{ijkl}=A_{ijlk}$

Hauptsymmetrie: $A_{ijkl}=A_{klij}$

Voigt Notation:

$[A_{ijkl}]^{\text{Voigt}}={\begin{bmatrix}A_{1111}&A_{1122}&A_{1133}&A_{1123}&A_{1113}&A_{1112}\\A_{2211}&A_{2222}&A_{2233}&A_{2223}&A_{2213}&A_{2212}\\A_{3311}&A_{3322}&A_{3333}&A_{3323}&A_{3313}&A_{3312}\\A_{2311}&A_{2322}&A_{2333}&A_{2323}&A_{2313}&A_{2312}\\A_{1311}&A_{1322}&A_{1333}&A_{1323}&A_{1313}&A_{1312}\\A_{1211}&A_{1222}&A_{1233}&A_{1223}&A_{1213}&A_{1212}\\\end{bmatrix}}$

Aufgrund der Hauptsymmetrie kann die Matrix auch wie folgt dargestellt werden:

$[A_{ijkl}]^{\text{Voigt}}={\begin{bmatrix}A_{1111}&A_{1122}&A_{1133}&A_{1123}&A_{1113}&A_{1112}\\&A_{2222}&A_{2233}&A_{2223}&A_{2213}&A_{2212}\\&&A_{3333}&A_{3323}&A_{3313}&A_{3312}\\&&&A_{2323}&A_{2313}&A_{2312}\\&&&&A_{1313}&A_{1312}\\{\text{sym}}&&&&&A_{1212}\\\end{bmatrix}}$

Indizes können zusammengezogen werden, so dass gilt: $ij\rightarrow \alpha$ und $kl\rightarrow \beta$

Diese Zuordnungen sind in folgenden Tabellen zusammengefasst.

$ij$	11	22	33	23	13	12
$\alpha$	1	2	3	4	5	6

$kl$	11	22	33	23	13	12
$\beta$	1	2	3	4	5	6

(nicht signierter Beitrag von 78.53.201.144 (Diskussion) 23:12, 12. Aug. 2014 (CEST))

$[A_{\alpha \beta }]^{\text{Voigt}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&A_{14}&A_{15}&A_{16}\\&A_{22}&A_{23}&A_{24}&A_{25}&A_{26}\\&&A_{33}&A_{34}&A_{35}&A_{36}\\&&&A_{44}&A_{45}&A_{46}\\&&&&A_{55}&A_{56}\\{\text{sym}}&&&&&A_{66}\\\end{bmatrix}}$

2 Voigtsche Notation in der Elastizitätstheorie

2.1 Spannunsgtensor ${\boldsymbol {T}}$ zu ${\boldsymbol {\sigma }}$

speziell, linearer Spanungstensor

Meinst du mit 'linear' Cauchy? --Kassbohm (Diskussion) 18:41, 12. Aug. 2014 (CEST)

Ja! --78.53.201.144 21:09, 12. Aug. 2014 (CEST)

2.2 Verzerrungstensor ${\boldsymbol {E}}$ zu ${\boldsymbol {\varepsilon }}$

speziell, linearer Verzerrungstensor, das mit dem Faktor 2 erscheint mir etwas missverständlich

2.3 Konstitutivtensor ${\boldsymbol {\mathcal {C}}}$ zu ${\textbf {C}}$

$[C_{ijkl}]$

2.4 Konstitutive Beziehungen

aktuell Materialgesetz, Kopplung der vorstehend beschriebenen Zusammenziehungen aufgrund des Hookeschen Gesetzes ${\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\mathcal {C}}}:{\boldsymbol {E}}$ zu ${\boldsymbol {\sigma }}={\textbf {C}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}$

3. Äquivalenz Vektor-Matrix Schreibweise zur Tensornotation

4. Vor- und Nachteile sowie Hinweise

5. Alternative Notationen

5.1 Nye Notation

5.2 Mandel Notation

$[\sigma _{ij}]^{\text{Mandel}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&{\sqrt {2}}\sigma _{12}&{\sqrt {2}}\sigma _{23}&{\sqrt {2}}\sigma _{13}\end{bmatrix}}^{T}$

$[C_{ijkl}]^{\text{Mandel}}={\begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&{\sqrt {2}}C_{1112}&{\sqrt {2}}C_{1123}&{\sqrt {2}}C_{1113}\\C_{2211}&C_{2222}&C_{2233}&{\sqrt {2}}C_{2212}&{\sqrt {2}}C_{2223}&{\sqrt {2}}C_{2213}\\C_{3311}&C_{3322}&C_{3333}&{\sqrt {2}}C_{3312}&{\sqrt {2}}C_{3323}&{\sqrt {2}}C_{3313}\\{\sqrt {2}}C_{1211}&{\sqrt {2}}C_{1222}&{\sqrt {2}}C_{1233}&2C_{1212}&2C_{1223}&2C_{1213}\\{\sqrt {2}}C_{2311}&{\sqrt {2}}C_{2322}&{\sqrt {2}}C_{2333}&2C_{2312}&2C_{2323}&2C_{2313}\\{\sqrt {2}}C_{1311}&{\sqrt {2}}C_{1322}&{\sqrt {2}}C_{1333}&2C_{1312}&2C_{1323}&2C_{1313}\\\end{bmatrix}}$

Literatur

Siehe auch

Kommentar: Die Voigt Notation wird auch in weiteren Bereichen angewendet. Beispielhaft sei hier die Darstellung der kinematischen Beziehung sowie die der Impulsbilanz im Rahmen der Behandlung mit der Finite-Elemente-Methode zu nennen.

--78.53.201.144 16:20, 12. Aug. 2014 (CEST)

1. Schritt

Vielleicht könntest du als ersten Schritt:

• die "neutrale Symbolik" in der Einleitung erzeugen (aber bitte zunächst ohne Tensoren) und
• schärfer hervorheben, dass es nur um Komponenten von Tensoren geht bzw. nur um Matrizen und
• den Abschnitt mit den 3x3x3x3-Matrizen ebenfalls in die Einleitung verschieben.

In diesen Punkten sind wir uns ja vollkommen einig. Und dann machen wir die nächsten Schritte? Ist das gut? --Kassbohm (Diskussion) 18:41, 12. Aug. 2014 (CEST)

Die Voigtsche Notation ist nun einmal eng mit der Spannung und Dehnung verknüpft. Das merkt man schon daran, dass für Spannung und Dehnung eine andere Abbildung genutzt wird. Von daher ist es Problematisch hier nicht mir Sigma und Epsilon zu arbeiten. Die Bezeichnung Tensoren braucht es wohl nicht - zumindest in der Einleitung, später beim Tensorprodukt wäre es schon hilfreich, sonst müsste man da relativ viel zu schreiben. Bei der Schreibweise ist es eigentlich egal wie man es macht - mit den Index oben v oder kleine fette Buchstaben. Man muss es vor allen erklären. Die Erklärung ist irgendwie zu den Nachteilen der Schreibweise gewandert - gehört aber eigentlich gleich nach Vorne. Die Größen mit 4 Indices würde ich gerade nicht schon in der Einleitung haben wollen: Zum einen wird dadurch die Einleitung schwerer verständlich und für Neulinge abschreckend. Der Kern liegt auch in der Schreibweise für Matrizen mit 2 Indices bzw. Tensoren 2. Stufe und die Frage wo man den extra Faktor 2 einfügt (nämlich bei der Verzerrung). Das mit den Tensoren 4. Stufe ist nur eine logische Fortführung, da ist keine neue Konvention drin - das könnte man sich im Prinzip herleiten, man sollte es aber im Artikel ausschreiben weil die Herleitung nicht so trivial ist, und das gerade Punkte sind die man ggf. nachschlagen will.--Ulrich67 (Diskussion) 20:03, 12. Aug. 2014 (CEST)

Langsam ernährt sich das Eichhörnchen. Der erste Schritt ist getan. Habe mal hier begonnen den Neuaufbau zu entwickeln. Man kann es ja dann stückchenweise in den Artikel portieren. Einen Abschnitt mit 3x3x3x3-Matrizen in der Einleitung finde ich auch nicht sinnvoll. Dort sollten wirklich nur die drei W beantwortet werden. --78.53.201.144 21:09, 12. Aug. 2014 (CEST)

Ich denke, das ist Geschmackssache. Beides (4 Indizes auch in der Einleitung oder nicht) hat Vor- und Nachteile. Wenn jemand das unbedingt gerne in der Einleitung hätte: Warum nicht? Das ist ja nicht weiter kompliziert... --Kassbohm (Diskussion) 20:28, 12. Aug. 2014 (CEST)

Wenn man die Einleitung noch um den Teil mit 4 Indices erweitert, wird die sie einfach recht lang, und wäre z.B. auf einem kleineren Bildschirm nicht mehr auf einer Seite zu sehen. Man könnte in der Einleitung erwähnen, das die Schreibweise auch auf Größen mit mehr Indices weiter geführt wird, nicht auf Tensoren 4. Stufe wie den Elastischen Konstanten, sondern auch 3. Stufe in der Piezoelektrizität.--Ulrich67 (Diskussion) 21:05, 16. Aug. 2014 (CEST)

Hallo Ulrich67. Im Moment ist C ja im Hauptteil und nicht in der Einleitung (also so, wie du es gewünscht hattest). Und von mir aus kann das auch so bleiben. Hallo 78.53.201.144: Was sagst du dazu? --Kassbohm (Diskussion) 08:24, 17. Aug. 2014 (CEST)

2. Iteration

Hallo nochmal, ich habe jetzt ein paar Vorschläge von 78.53.201.144 im Artikel umgesetzt. Es fehlt noch eine neuer Abschnitt Alternativen Notationen. Hallo 78.53.201.144 und Ulrich67: Was sollte außerdem noch ergänzt werden? Was sollte noch verbessert werden? Kassbohm (Diskussion) 08:36, 17. Aug. 2014 (CEST):

Hallo, ich finde den Einstieg noch etwas zu unstrukturiert. Das Beispiel des Spannungstensors/-vektors könnte doch auch als separater Unterpunkt (ebenso wie Verzerrungstensor) eingebunden werden. Warum werden die Indizes $ij$ nun durch ein Komma getrennt, fett geschrieben und sind eingeklammert? Die farbige Kennzeichnung der Komponenten der Matrizen finde ich hingegen sehr gut. Hinsichtlich der Zusammenziehung schafft die Reihenfolge der Ausführungen wohl noch etwas Verwirrung, eigentlich wird doch erst der Tensor in Matrix bzw. einen Vektor überführt und erst dann die Indizes zusammengezogen. Wäre folgende Darstellung dahingehend nicht besser?

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{ij}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\{\text{sym}}&&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}\longrightarrow &{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\\\end{bmatrix}}:={\begin{bmatrix}\color {red}{\varepsilon _{1}}\\\color {red}{\varepsilon _{2}}\\\color {red}{\varepsilon _{3}}\\\color {blue}{\varepsilon _{4}}\\\color {blue}{\varepsilon _{5}}\\\color {blue}{\varepsilon _{6}}\\\end{bmatrix}}^{\text{V}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{\alpha }\end{bmatrix}}^{\text{V}}\end{aligned}}$

--92.224.169.137 08:50, 21. Aug. 2014 (CEST)

Hallo 92.224.169.137. Die Einleitung ist vielleicht noch verbesserungswürdig, ja. Die Klammer zeigt an, dass das ein geordnetes Paar ist. Der Tensor wird nicht in die Matrix überführt, sondern die Matrix zeigt in Komponenten des Tensors (in Bezug auf irgendeine Basis). Bei dem Definitionssymbol ":=" steht doch üblicherweise das, was definiert wird, links vom ":", oder? --Kassbohm (Diskussion) 09:15, 21. Aug. 2014 (CEST)

Hallo, vielleicht wäre dann "=:" besser!? --92.224.169.137 09:44, 21. Aug. 2014 (CEST)

Warum denn? Warum sollte das in irgendeiner Weise besser sein? Es so zu machen, wie du vorschlägst, wäre unüblich. Üblicherweise schreibt man doch das, was man erklären oder definieren will, auf die linke Seite, oder? --Kassbohm (Diskussion) 09:59, 21. Aug. 2014 (CEST)

Üblicherweise steht das zu definierende links, aber immer steht es beim := oder =: an der Seite mit dem ":". Von daher müsste es richtig schon mit =: sein, besser wäre es wohl in anderer Reihenfolge, so dass man das gebräuchlichere := nehmen kann. So findet man es oft auch in der mathematischen Schreibweise für die Definition einer Funktionen: x -> y := ... . Um die Gleichung schon in der Einleitung zu vermeiden, könnte man den Spannungstensor auch gut in den Hauptteil verschieben. Das hätte auch den Vorteil, das man in der Einleitung nicht noch die Schreibweise mit dem hochgestellten V (oder wie immer man hier die Voigt-Notation hervorheben will) erklären müsste. --Ulrich67 (Diskussion) 20:57, 21. Aug. 2014 (CEST)

3. Iteration

Es fehlen immer noch alternative Notationen (Mandel, Nye). --Kassbohm (Diskussion) 09:20, 22. Aug. 2014 (CEST)

Nye Notation

Diese Form der Überführung der Tensor-Notation in eine Vektor-Matrix-Notation geht auf den britischen Pysiker John Frederick Nye zurück. Im Vergleich zur Voigtschen Notation besteht eine andere Reihenfolge der Komponenten für ($i\neq j$) im Vektor bzw. Matrix. Vielleicht wäre hier eine abgewandelte Form (blauer Pfeil umgekehrt) der in der Einleitung gezeigten Grafik sinnvoll.

Spannungen:

$[\sigma _{ij}]^{\text{Nye}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{12}\\\sigma _{13}\\\sigma _{23}\end{bmatrix}}$

Verzerrungen:

$[\varepsilon _{ij}]^{\text{Nye}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{12}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{23}\end{bmatrix}}$

Material:

$[C_{ijkl}]^{\text{Nye}}={\begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&C_{1112}&C_{1113}&C_{1123}\\&C_{2222}&C_{2233}&C_{2212}&C_{2213}&C_{2223}\\&&C_{3333}&C_{3312}&C_{3313}&C_{3323}\\&&&C_{1212}&C_{1213}&C_{1223}\\&&&&C_{1313}&C_{1323}\\{\text{sym}}&&&&&C_{2323}\\\end{bmatrix}}$

Konstitutive Beziehung in Nye-Notation:

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{12}\\\sigma _{13}\\\sigma _{23}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&C_{1112}&C_{1113}&C_{1123}\\&C_{2222}&C_{2233}&C_{2212}&C_{2213}&C_{2223}\\&&C_{3333}&C_{3312}&C_{3313}&C_{3323}\\&&&C_{1212}&C_{1213}&C_{1223}\\&&&&C_{1313}&C_{1323}\\{\text{sym}}&&&&&C_{2323}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{12}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{23}\end{bmatrix}}$

Die Zusammenziehung wird nun nach folgendem Schema vorgenommen.

$ij$	11	22	33	12	13	23
$\alpha$	1	2	3	4	5	6

$kl$	11	22	33	12	13	23
$\beta$	1	2	3	4	5	6

Quelle:

H.J. Böhm: Continuum Micromechanics of Materials, Skriptum, Institut für Leichtbau und Struktur-Biomechanik, TU Wien,2010

J.F. Nye, Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford University Press, 1957
--78.53.207.10 17:53, 23. Aug. 2014 (CEST)

Nur für die andere Reihenfolge muss man die ganzen Matrixformen eigentlich nicht noch einmal wiederholen. Wichtig ist da vor allem der Hinweis das selten auch andere Reihenfolgen genutzt werden. Da sollte die geänderte Tabelle und eventuell noch die Formel für $\sigma$ ausreichen. Die deutlich andere alternative Schreibweise wäre dann noch die mit dem Faktor Wurzel 2 symmetrisch bei der Spannung und Dehnung - nach der englischen Wiki Version ist das die Mandel Notation. Da fehlt mir allerdings noch eine brauchbare Quelle. --Ulrich67 (Diskussion) 21:00, 26. Aug. 2014 (CEST)

So selten wird diese "andere" Reihenfolge aber nicht verwendet. Vor allem in den USA, wird in Lehre und Forschung sehr oft die Nye-Notation genutzt. Ein weiteres Beispiel findet sich bei der Nutzung des FEM-Programmsystems ABAQUS. Aber sicher hast Du recht wenn Du schreibst, dass die Tabelle(n) und ein Beispiel der Anwendung auf die Koeffizientenmatrix des Spannungstensors im Artikel ausreichen würde. Ich hatte sie lediglich der Vollständigkeit halber hier rein geschrieben.

Neben der erwähnten Mandel-Notation existieren noch weitere (zum Teil Misch-) Formen. Ein Beispiel ist die Anwendung von Bertram (siehe Lehrbuch S. 98, wird dort auch Voigt-Notation genannt, ist allerdings normiert).

A. Bertram, R. Glüge : Festkörpermechanik, Lehrbuch, Lehrstuhl Festigkeitslehre, Institut für Mechanik, OvGU Magdeburg, 2013

siehe: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:ma9:1-3025

Eine Quelle zur Mandel-Notation findest Du mit: J. Mandel, Cours de mécanique des milieux continus, Gauthiers-Villars, Paris, 1966.

--78.53.206.114 18:33, 28. Aug. 2014 (CEST)

Ich lese gerade den Reprint 2012 von J.F. Nye, Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford University Press.

Die im Wiki-Artikel als Nye-Notation bezeichnete Notation habe ich dort nicht finden können. In dieser Ausgabe verwendet Nye die Reihenfolge der Voigt-Notation, ohne dass der Name Voigt erwähnt wird.

Liegt hier ein Unterschied zur Erstausgabe von 1957 vor? --OT-Martin (Diskussion) 21:23, 11. Mär. 2022 (CET)