Diskussion:Vollständiger Raum

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Absatz verschoben

Dieser Absatz war als im Artikel versteckt, da der Einsteller sich über die Richtigkeit nicht sicher war. Ich stelle ihn mal hier zur Diskussion, da einen versteckten Absatz ja niemand findet. Geisslr 09:55, 7. Apr 2006 (CEST)

Das Baire'sche Kategorientheorem (??) besagt, dass jeder vollständige metrische Raum ein Baire-Raum (??) ist. Das heißt, dass das Innere einer abzählbaren Vereinigung nirgends dichter Teilmengen dieses Raums leer ist.

Zweifel an Ordnungsvollständigkeits-Absatz

Ich habe Zweifel an der Richtigkeit folgender Aussage:

"Für einen metrischen Raum mit verträglicher Totalordnung gilt: Er ist genau dann metrisch vollständig, wenn er ordnungsvollständig ist."

Nehmen wir mal das offene Einheitsintervall X:=]0,1[ mit der gewöhnlichen Ordnung und der gewöhnlichen Metrik. Dann ist nach obiger Definition die Ordnung sicher mit der Metrik verträglich. Als totalgeordnete Menge ist X isomorph zu R, also ist X als totalgeordnete Menge ordnungsvollständig. Als metrischer Raum ist X aber nicht vollständig, weil z.B. (1/n) eine Cauchyfolge ohne Grenzwert in X ist.

So ist die Aussage also falsch. Und ich bin mir auch nicht sicher, ob man die Aussage retten kann, weil die Ordnung einfach nicht "wissen" kann, ob die Metrik vollständig ist oder nicht.

Was übrig bleibt, ist dass bei Q mit Standardordnung und Standardmetrik die Begriffe zusammenfallen. Aber auch bei Q kann man natürlich tricksen, indem man z.B. die Metrik d(x,y)=|arctanx-arctany| verwendet. Die erzeugt die gewöhnliche Topologie auf Q und ist nach obiger Definition mit der Ordnung verträglich. Aber bzgl. dieser neuen Metrik stimmt Vervollständigung nicht mehr mit der Ordnungsvervollständigung (nach Dedekindschen Schnitten) überein. Ich würde also vorschlagen, den Teil "Metrische Vollständigkeit und Ordnungsvollständigkeit"ersatzlos zu streichen. Insbesondere auch, weil die Formulierung "Eine eindeutige Vervollständigung als metrischer Raum, wie sie oben beschrieben ist, ist genau dann möglich, wenn [...]" irreführend ist, weil dies ein bisschen so klingt, als gäbe es metrische Räume, bei denen eine eindeutige Vervollständigung nicht möglich ist. Vorschläge?

Viele Grüße, 130.83.2.27 11:23, 17. Feb. 2012 (CET)

Sorry, hatte revertiert, ohne richtig hinzugucken. Hab's jetzt wieder rückgängig gemacht. Zum Inhalt: Vielleicht Benutzer:Digamma fragen? -- UKoch 23:41, 22. Feb. 2012 (CET)

Der beanstandete Satz zur Ordnungsvollständigkeit ist nicht mehr im Artikel. Allerdings wär es gut, wenn irgendwo im Artikel eine Beziehung zum Begriff der Ordnungsvollständigkeit hergestellt würde. --Sigma^2 (Diskussion) 11:58, 17. Aug. 2024 (CEST)

Konstruktion

Dort steht, dass die auf der Vervollständigung definierte Metrik nur eine Pseudometrik ist, was ich nicht nachvollziehen kann. Die Vervollständigung besteht aus Äquivalenzklassen, in einer solche Klasse liegen alle Cauchy-Folgen, die den gleichen Grenzwert besitzen. Nur gucken wir uns zwei solche Äquivalenzklassen an und definieren deren Abstand als Abstand zweier Repräsentanten, mithilfe der Metrik auf dem ursprünglichen Raum. Dabei sollen die Grenzwerte betrachtet werden, sprich beim Abstand der Äquivalenzklassen handelt es sich um den Abstand der Grenzwerte beliebiger Repräsentanten aus diesen Klassen. Warum sollten nur zwei verschiedene Elemente aus der Vervollständigung den Abstand Null haben können? Das ist nur möglich, wenn sie denselben Grenzwert besitzen, dann gehören sie aber derselben Klasse an und es handelt sich um dieselben Elemente in der Vervollständigung, evt. dargestellt durch versch. Repräsentanten.

Gruß --92.229.234.166 17:56, 25. Apr. 2012 (CEST)

Bitte genauer lesen. Die Pseudo-Metrik ist auf dem Raum der Cauchy-Folgen, also vor dem Schritt des Bildens der Äquivalenzklassen und diesen vorbereitend, motivierend.--LutzL (Diskussion) 19:10, 25. Apr. 2012 (CEST)

Ich versuche ganz genau zu lesen – im Text steht:

»Dieser Abstand ist wohldefiniert, er ist aber nur eine Pseudometrik, denn verschiedene Cauchy-Folgen können den Abstand $0$ haben.«

Wohldefiniert ist gut, aber was soll diese Begründung und wie soll sie wozu motivieren? Auch bei einer vollen (und Nicht-Pseudo-)Metrik können verschiedene Cauchy-Folgen den Abstand $0$ haben. Natürlich können sie das, das ist doch total trivial! Überall können sie das, man nehme bspw. die Folgen

$x:=\left(1,0,0,0,...\right)_{n\in \mathbb {N} }$ und

$y:=\left(0,0,0,0,...\right)_{n\in \mathbb {N} }$,

dann sind die beiden Folgen Cauchy und verschieden. UND sie haben den soeben definierten Abstand ${\tilde {d}}(x,y)=\lim _{n}d(x_{n},y_{n})=\lim _{n}\left(1,0,0,0,...\right)=0$. Der Halbsatz nach dem »denn« motiviert doch für überhaupt gar nichts, weder für eine Nur-Pseudometrik, noch für eine Metrik. Und »verschiedene Cauchy-Folgen können den Abstand $0$ haben«, egal ob vor oder nach dem Bilden der Äquivalenzklassen. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:40, 28. Mai 2018 (CEST)

In der ersten Formelzeile des Abschnitts 'Konstruktion' findet sich folgende 'Definition':

${\tilde {d}}({\tilde {x}},{\tilde {y}}):=\lim _{m,n\in \mathbb {N} }d(x_{m},y_{n})\;.$

Dabei ist die rechte Seite undefiniert. Auch wenn man $\lim _{m,n\in \mathbb {N} }$ als $\lim _{m,n\to \infty }$ liest (was wohl gemeint ist) müsste geklärt und erklärt werden, warum z. B. $\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }$, $\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }$ oder irgendeine andere Art mit der $m$ und $n$ gemeinsam unendlich groß werden, zum selben Grenzwert führen.--Sigma^2 (Diskussion) 12:34, 7. Sep. 2024 (CEST)

Fehlerhaftes Beispiel

Unter Beispiele ist die angegebene vollständige "Metrik" auf dem Intervall (0, 1) fehlerhaft, da sie nicht positiv definit ist, denn d(1/2, 1/2) = 8 (und nicht 0). Findet jemand ein richtiges Beispiel? (nicht signierter Beitrag von 79.252.206.159 (Diskussion) 11:29, 27. Mai 2016 (CEST))

Es steht ja dabei, dass die Formel nur für $x\neq y$ gelten soll. Für $x=y$ ist natürlich $d(x,y)=0$. Trotzdem finde ich das Beispiel seltsam. --Digamma (Diskussion) 12:15, 27. Mai 2016 (CEST)

Auch dann, wenn man $d(x,x)=0$ ergänzt, bleibt es seltsam und erklärungsbedürftig. Für jedes $\epsilon \in (0,1/2)$ gilt

$d(1/2,1/2+\epsilon )=\epsilon +2+{\frac {1}{1/2+\epsilon }}+2+{\frac {1}{1/2-\epsilon }}>4\;.$

--Sigma^2 (Diskussion) 11:01, 17. Aug. 2024 (CEST)

Für die Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}=1/2+1/(2^{n+1})$ und $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $y_{n}=1/2$ gilt $\lim _{n\to \infty }d(x_{n},y_{n})=8$ und $\lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0$. Ist $d$ wirklich eine der Metriken, die „dieselbe Topologie wie die Betragsmetrik erzeugen“? --Sigma^2 (Diskussion) 11:43, 17. Aug. 2024 (CEST)

Limes-Schreibweise

Im Aufsatz wird die Schreibweise $\lim _{n\in \mathbb {N} }$ anstelle von $\lim _{n\to \infty }$ verwendet. Ist das beabsichtigt? Bedeutet es etwas anderes? Der Artikel Grenzwert (Folge) klärt dazu nichts.--Sigma^2 (Diskussion) 11:33, 17. Aug. 2024 (CEST)