Distributionelle Lösung

Eine distributionelle Lösung oder Lösung im distributionellen Sinn ist eine Distribution, die für partielle Differentialgleichungen eine gleiche Eigenschaft wie die durch eine klassische Lösung erzeugte reguläre Distribution hat. Sie verallgemeinert klassische Lösungen in dem Sinne, dass für jede klassische Lösung $u$ einer PDGL die zu $u$ gehörige Distribution $T_{u}$ eine distributionelle Lösung ist.

Definition

Sei $T$ eine Distribution, $f\in C(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ und

$L=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}$

ein linearer partieller Differentialoperator. $T$ heißt distributionelle Lösung der partiellen Differentialgleichung $Lu=f$ genau dann, wenn:

$LT=T_{f}$

Dabei wird in dieser Gleichung $L$ als ein linearer partieller Differentialoperator auf Distributionen aufgefasst.

Ist $T$ eine distributionelle Lösung von $LT=T_{f}$, und gibt es eine lokal integrierbare Funktion $u\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, sodass $T=T_{u}$ (d. h. $T$ ist eine reguläre Distribution, die von $u$ erzeugt wird), so nennt man manchmal auch die Funktion $u$ (statt $T_{u}$) eine distributionelle Lösung.

Eigenschaften

Distributionelle Lösung aus klassischer Lösung

Ist $u$ eine klassische Lösung von

$Lu=f$,

so ist die durch $u$ erzeugte reguläre Distribution $T_{u}$ immer eine distributionelle Lösung.

Klassische Lösung aus distributioneller Lösung

Sei $LT_{{\tilde {G}}(x-\xi )}=\delta _{\xi }$, d. h. ${\tilde {G}}(x-\xi )$ ist eine greensche Funktion für $Lu=f$. Wenn $f$ $m$-mal stetig differenzierbar und ${\tilde {G}}$ $n$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn dann $n+m\geq k$, wobei $k$ die Höhe der höchsten Ableitung ist, welche in $L$ vorkommt, so ist

$u(x)={\tilde {G}}*f$

eine klassische Lösung von

$Lu=f$.

Literatur

• Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).
• Werner: Funktionalanalysis, Kapitel über lokalkonvexe Räume